DEVOIR MAISON N° 3 TERMINALE S 3 EXERCICE 1 : Le but de cet exercice est de calculer quelques limites de fonctions : 1. On veut calculer
4 3 2
5 4
1
3 2
x
x x x
lim→ x x + + −
+ − ; a) montrer qu’il s’agit d’une forme indéterminée.
b) on pose u( x ) x= 4+ + −x3 x2 3 et v( x ) x= 5+ −x4 2 ; vérifier que pour tout x ≠ 1, on a c) Que représente 1 1
1
x
u( x ) u( ) lim→ x
−
− et 1 1 1
x
v( x ) v( ) lim→ x
−
− ? Déterminer alors ces limites.
d) En déduire la limite cherchée.
e) Utiliser la même méthode pour déterminer la limite suivante : 3
0
1
x
cos( x ) lim→ x x
− + . 2. On veut calculer 2 1
xlim x x
→+∞ + − ; a) montrer qu’il s’agit d’une forme indéterminée.
b) Montrer que, pour tout x réel, on a 2 2 1
1 1
x x
x x
+ − =
+ + ; en déduire la limite cherchée.
c) Utiliser la même méthode pour déterminer la limite suivante : 0 4 2
1 1
x
lim x x
→
+ − + − .
EXERCICE 2 : On considère le repère orthonormé (O ; I, J) et le cercle trigonométrique. Pour tout point M du quart de cercle situé strictement entre I et J, la tangente au cercle en M coupe (OI) en P ; la tangente au cercle en I coupe (MP) en N. Le point H est le projeté orthogonal de M sur (OI). On pose ( OI;OM ) xuur uuuur =
. Faire une figure.
a) Déterminer l’aire S ( x )1 du triangle HMP en fonction de x b) Déterminer l’aire S ( x )du triangle NIP en fonction de x.2 c) Etudier la limite éventuelle du rapport des aires 1
2
S ( x )
S ( x ) lorsque x tend vers 0, puis lorsque x tend vers 2 π .
1 1 1 1 u( x ) u( ) u( x ) x
v( x ) v( ) v( x )
x
−
= −−
−
