Imaginez un surfeur à différents moments de son parcours sur la montagne et le profil de ce parcours.
En chacun des points de ce parcours, sa planche reste en contact avec la " courbe " c'est à dire qu'elle est tangente à la courbe en chacun de ses points : ainsi la pente de sa planche varie lorsque le point de contact se déplace sur la " courbe ".
On sait tracer la tangente en un cercle de centre O en un point A de ce cercle.
Dans ce chapitre, on va apprendre à tracer la tangente à une courbe quelconque en un point de cette courbe.
Au XVII e siècle, le mathématicien Fermat appelait " touchante " une telle droite.
Au baccalauréat, les sujets traitent davantage de problèmes concrets du type : un fabricant de matériels informatiques produit, par jour q appareils d'un certain modèle. Un gestionnaire de l'entreprise a établi que le coût total de production de q matériels est, en euros : C ( q ) = 0,002q² + 50q + 300. Quel est le coût
supplémentaire engendré par la fabrication d'un appareil de plus, le ( q + 1 ) e ? En économie, ce coût s'appelle le
" coût marginal " . Nous allons découvrir cette année, comment obtenir simplement une valeur approchée de ce coût marginal.
1 Tangente et nombre dérivé.
C est un cercle de centre O et de rayon OA.
La droite d perpendiculaire à la droite ( OA ) et passant par le point A s’appelle la tangente au cercle C au point A.
A est le point de contact entre la tangente et le cercle.
Il existe une et une seule tangente en A au cercle C.
Traçons en rouge la courbe représentative de la fonction f représentée ci contre.
Traçons en vert la tangente à la courbe de f au point origine.
Soit f une fonction définie sur .
Soit C sa courbe représentative dans un repère.
Soit A ( a ; f ( a ) ) un point de la courbe C.
Alors il existe une unique tangente à C passant par le point A.
On appelle nombre dérivé de la fonction f en a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point A d’abscisse a.
On note ce nombre f ’ ( a ).
Si une fonction f admet en a un nombre dérivé, on dit que f est dérivable en a.
Soit f une fonction définie et dérivable en un point a.
Soit C la courbe représentative de f dans un repère.
Une équation de la tangente à C en A ( a ; f ( a ) ) est y = f ’ ( a ) x + b.
On détermine b en remplaçant x et y par les coordonnées de A.
Exemple : f ( x ) = x² − 2x − 3. A ( 2 ; - 3 ). f ' ( 2 ) = 2.
Trouvons l'équation de la tangente à la courbe en A.
Voir feuille annexe.
E1 Nombre dérivé et tangente.
N ° 1
Soit f la fonction représentée par la courbe ci dessous.
A ) Tracer en bleu la tangente à la courbe représentative de f en A ( 5 ; 437,5 ).
B ) Tracer en vert la tangente à la courbe représentative de f en B ( 12 ; 266 ).
C ) Tracer en rouge la tangente à la courbe représentative de f en C ( 1 ; 205,5 ).
D ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en A.
E ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en B.
F ) Le nombre dérivé de la fonction f en C est f ' ( 1 ) = 132.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en C.
2 Fonctions dérivées.
Soit I un intervalle.
Soit f une fonction définie sur I.
f est une fonction dérivable sur I si et seulement si f admet en tout point de I un nombre dérivé.
La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f. On la note f '.
Tableau à apprendre par cœur ( dérivées des fonctions de référence ).
f ( x ) f ’ ( x )
a ( constante ) 0
x 1
x² 2x
x3 3x²
x4 4x3
xn avec n un entier non nul nxn-1
mx + p m
ax² + bx + c 2ax + b
1
x avec x ≠ 0
² x1
− avec x ≠ 0
x avec x ≥ 0
x 2
1 avec x > 0
Remarques
Lorsque l'on peut tracer en chacun des points d'un intervalle une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées alors la fonction est dérivable sur cet intervalle.
Si f ' est la fonction dérivée de la fonction f sur un intervalle I
Alors on dit que la fonction f est une primitive de la fonction f ' sur l'intervalle I.
Exemples
La fonction f définie sur par f ( x ) = x² − x admet pour fonction dérivée la fonction f ' définie sur par f ' ( x ) = 2x − 1.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² − x
alors la fonction f est une fonction primitive de la fonction g définie sur par g ( x ) = 1 3 x3 − 1
2 x².
E2 Savoir dériver des fonctions usuelles.
N ° 2 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f ( x ) = 2007
g ( x ) = x h ( x ) = x² i ( x ) = x6 j ( x ) = -6x + 7 k ( x ) = 3x² − 2x + 5
3 Opérations sur les fonctions dérivables.
Dérivée d’une somme
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I Alors la fonction u + v est dérivable sur I et ( u + v )’ = u’ + v’.
Autrement dit : la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées.
Exemple : f ( x ) = x 3 + x². Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
Dérivée de k × u ( k est une constante )
Soit u une fonction dérivable sur I.
Soit k une constante c'est à dire un nombre réel.
Alors la fonction k u est dérivable sur I et ( k u )’ = k × u ’.
Autrement dit : la dérivée du produit d’une fonction par une constante est égale au produit de la constante par la dérivée de la fonction.
Exemples : f ( x ) = 5x. Déterminer f ' ( x ).
f ( x ) = 1
2 x3. Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe.
E3 Savoir calculer la dérivée d'un polynôme.
N ° 3 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a ) f ( x ) = - 1
2 b ) f ( x ) = -x
c ) f ( x ) = 1
2 x² d ) f ( x ) = - 1
3 x3 e ) f ( x ) = x4 + x3 + x² + x f ) f ( x ) = 1 − x² g ) f ( x ) = 2x3 − 6x² + 8x − 1 h ) f ( x ) = -x3 + 1
4 x² − 9x + 1 2 4 Dérivée d’un produit.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction u v est dérivable sur I et ( u v )’ = u’ × v + v ’ × u.
Exemple : f ( x ) = ( 3x + 5 ) × ( - 2x + 7 ). Déterminer f ' la fonction dérivée de f. Voir feuille annexe.
E4 Savoir dériver un produit.
N ° 4 Déterminer la fonction dérivée des produits suivants : f ( x ) = 2x ( 3x − 4 ) g ( x ) = - 3
4 x ( 1 − x ) h ( x ) = 4 ( x3 + 2x − 1 ) i ( x ) = ( 5x − 2 ) ( 3x − 4 ) j ( x ) = ( 1 − 3x ) ( 5 − 2x ) k ( x ) = ( x² + x ) ( x² − 4 ) N ° 5 Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x² + 3 ) ( 2x − 5 ).
1 ° Déterminer la fonction dérivée de la fonction f en utilisant le produit de deux fonctions.
2 ° a ) Développer l'expression ( x² + 3 ) ( 2x − 5 ).
b ) Calculer la dérivée de l'expression développée et conclure.
5 Dérivée de l’inverse d’une fonction.
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I.
On suppose v ( x ) non nul sur I.
Alors la fonction v
1est dérivable sur I et
² v
' v v
1 '
−
=
Exemple : Calculer la dérivée de f ( x ) = 3 x 2
1
+ sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ . Voir feuille annexe.
E5 Savoir calculer la dérivée de l'inverse d'une fonction.
N ° 6 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f ( x ) =
1 x
1+ I = [ 0 ; + ∞ [. g ( x ) =
3 x
−2
− = - 2 × 3 x
1− I = [ 5 ; + ∞ [.
h ( x ) =
² x
1 I = [ 5 ; + ∞ [. i ( x ) = - 3
x
1 I = [ 5 ; + ∞ [.
j ( x ) = 1 − 3 x
2+ I = [ 0 ; + ∞ [. k ( x ) = - 1 2 + 1
2x I = [ 5 ; + ∞ [.
l ( x ) = x² + 1 x 2
1+ I = [ 0 ; + ∞ [. m ( x ) = 2x − 1 − 3 x
1+ I = [ 0 ; + ∞ [.
6 Quotient de deux fonctions.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que v ( x ) soit non nul sur I.
La fonction v
uest dérivable sur I et
² v
u ' v v ' u v
u' = −
.
Exemple : Calculer la dérivée de f ( x ) = x 5 7
2 x 3
−
+ avec I = [ 5 ; + ∞ [. Voir feuille annexe.
E6 Savoir dériver un quotient.
N ° 7 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f ( x ) =
2 x
1
x++ I = [ 0 ; + ∞ [.
f ( x ) = 2 x
1
x−− I = [ 3 ; + ∞ [.
f ( x ) = 4 x
3 x
2−+ I = [ 5 ; + ∞ [.
f ( x ) = 4 x 3
5 x
2 +− I = [ 0 ; + ∞ [.
f ( x ) = 1 x
²
x+ I = [ 0 ; + ∞ [.
f ( x ) = 1
² x
²
x+ I = [ 2 ; + ∞ [.
f ( x ) = 3 x
6 x
²
x++− I = [ 0 ; + ∞ [.
f ( x ) = 1 x 2
3 x 7
² x
2 −−+ I = [ 1 ; + ∞ [.
7 Une composée de deux fonctions.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle contenant u ( I ).
Soit f la fonction définie sur I par f ( x ) = v [ u ( x ) ].
Alors la fonction f est dérivable sur I et pour tout x de I, on a : f ' ( x ) = v ' [ u ( x ) ] × u ' ( x ).
Remarque : application aux fonctions de la forme f ( x ) = v ( ax + b ).
Soient a et b deux nombres réels avec a ≠ 0.
Soit v une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Soit f la fonction définie sur D ( son ensemble de définition ) par f ( x ) = v ( ax + b ).
Alors f est dérivable sur D et f ' ( x ) = a × v ' ( ax + b ).
Remarque : application aux fonctions de la forme f ( x ) = [ u ( x ) ]n. Soit n un entier relatif non nul.
Soit u une fonction dérivable et sur un intervalle I ( non nulle sur I si n < 0 ).
Soit f la fonction définie sur I par f ( x ) = [ u ( x ) ]n.
Alors f est dérivable sur I et on a : f ' ( x ) = n × u ' ( x ) × [ u ( x ) ]n-1.
Exemples :
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( 6x − 7 )5. Déterminer la fonction dérivée de f.
Soit f la fonction définie sur ] 4
3 ; + ∞ [ par f ( x ) = 3x−4. Déterminer la fonction dérivée de f.
Voir feuille annexe.
E7 Savoir dériver une composée de deux fonctions.
N ° 8 Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
f ( x ) = ( 3x + 2 )4 I = g ( x ) = ( - x + 5 )3 I =
h ( x ) = 1
2 ( -2x + 6 )5 I = i ( x ) = ( 5x − 7 )6 I =
N ° 9 Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
f ( x ) = 2x−3 I = ] 1,5 ; + ∞ [ g ( x ) = −x+5 I = ] - ∞ ; 5 [ h ( x ) = −3x+7 I = ] - ∞ ; 7
3 [ i ( x ) = 5x+2 I = ] - 2 5 ; + ∞ [
