Terminale STG Chapitre 2 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Tangente et nombre dérivé.
Exemple : f ( x ) = x² − 2x − 3. A ( 2 ; - 3 ). f ' ( 2 ) = 2.
Trouvons l'équation de la tangente à la courbe en A.
Une équation de la tangente à la courbe en A est du type y = f ' ( 2 ) x + p avec p qui vérifie f ( 2 ) = 2 × 2 + p.
Or f ' ( 2 ) = 2 donc y = 2x + p et f ( 2 ) = 2² − 2 × 2 − 3 = - 3
donc p vérifie - 3 = 2 × 2 + p ⇔ p = - 3 − 4 = -7.
Ainsi une équation de la tangente à la courbe en A est y = 2x − 7.
3 Opérations sur les fonctions dérivables.
Dérivée d’une somme
Exemple : f ( x ) = x 3 + x². Déterminons f ' ( x ).
f ' ( x ) = 3x² + 2x.
Dérivée de k × u ( k est une constante )
Exemple : f ( x ) = 5x. Déterminons f ' ( x ).
f ' ( x ) = 5 × 1 = 5.
f ( x ) = 1
2 x3. Déterminons f ' ( x ).
Je pose k = 1
2 et u ( x ) = x3. Alors u ' ( x ) = 3x².
J'applique la formule ( k u ) ' = k u'.
Ainsi f ' ( x ) = 1
2 × 3x² = 3 2 x².
4 Dérivée d’un produit.
Exemple : f ( x ) = ( 3x + 5 ) × ( - 2x + 7 ). Déterminons f ' la fonction dérivée de f.
Je pose u ( x ) = 3x + 5 et v ( x ) = -2x + 7 Je dérive u ' ( x ) = 3 et v ' ( x ) = -2
J'applique la formule ( u v )’ = u’ × v + v ’ × u.
Ainsi f ' ( x ) = 3 × ( -2x + 7 ) + ( - 2 ) × ( 3x + 5 ) = -6x + 21 - 6x − 10 = - 12x + 11.
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5 Dérivée de l’inverse d’une fonction.
Exemple : Calculer la dérivée de f ( x ) = 3 x 2
1
+ sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ . Je pose v ( x ) = 2x + 3 alors v ( x ) ≠ 0 sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
Et v ' ( x ) = 2 J'applique la formule
² v
' v v
1 '
−
=
Ainsi f ' ( x ) =
)² 3 x 2 (
+2
− 6 Quotient de deux fonctions.
Exemple : Calculer la dérivée de f ( x ) = x 5 7
2 x 3
−
+ avec I = [ 5 ; + ∞ [.
Je pose u ( x ) = 3x + 2 et v ( x ) = 7 − 5x Je dérive : u ' ( x ) = 3 et v ' ( x ) = - 5
J'applique la formule :
² v
u ' v v ' u v
u' = −
Ainsi f ' ( x ) =
)² x 5 7 (
) 2 x 3 )(
5 ( ) x 5 7 ( 3
−− +
−
− =
)² x 5 7 (
10 x 15 x 15
21− −+ + = )² x 5 7 (
−31 .
7 Une composée de deux fonctions.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( 6x − 7 )5. Déterminons la fonction dérivée de f.
Je pose u ( x ) = 6x − 7 et n = 5.
Alors u ' ( x ) = 6
Alors f est dérivable sur I et on a : f ' ( x ) = n × u ' ( x ) × [ u ( x ) ]n-1 = 5 × 6 × ( 6x − 7 )4.
Soit f la fonction définie sur ] 4
3 ; + ∞ [ par f ( x ) = 3x−4. Déterminons la fonction dérivée de f.
Je pose a = 3 et b = - 4 et v ( x ) = x Ainsi v ' ( x ) =
x 2
1
Alors f ( x ) = v [ u ( x ) ] = 3x−4
Alors f est dérivable sur I et f ' ( x ) = a × v ' ( ax + b ) = 3 ×
4 x 3 2
1
− = 3 2 ×
4 x 3
1
−
Remarque :
Lorsque f ( x ) = ax+b pour ax + b > 0.
Alors f ' ( x ) = a ×
b ax 2
1 +
