T STG Nombre dérivé, fonction dérivée, ... 2012-2013
I Nombre dérivé
I.1 Étude d’une fonction : la fonction carrée
-4-3 -2-10123456789 1011 1213 1415 1617 1819 2021 2223 2425
x y
A
b
xA
b
1 1 O
La fonction définie surRparf(x) =x2s’appelle la fonction carrée. Sa courbe est représentée ci-contre.
On notexAl’abscisse du pointA.
Qu’est-ce quef(xA) ? ...
Qu’est-ce quef′(xA) ? ...
Calcul def′(xA)sans la représentation graphique, résultat de l’activité : Pour n’importe quel point de la courbe de la fonction carrée,
f′(xA) =...
Exemple 1 Calculerf′(−2),f′(0),f′(1)etf′3 2
Remarque 1 En définitive pour chaque valeur différente dexA correspondun nombref′(xA) coefficient directeur de la tangente enA. On peut donc parler de ...
I.2 Équation de la tangente
Une tangente est une droite donc elle possède une équation de la forme :y=f′(xA)x+b (1).
La déterminer au pointA de coordonnées (xA;f(xA)), c’est appliquer la « recette » suivante :
• Calculerf′(xA) etremplacerdans l’équation (1).
• La tangente passe par le pointA donc les coordonnées du point A vérifient l’équation de la tangente : on remplace xety par les coordonnées du point Aet on trouve l’ordonnée à l’origineb.
EXERCICE Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de la fonction carrée au point d’abscisse−2.
II Fonction dérivée
II.1 définition
Soitf une fonction définie sur un intervalleI.
Définition 1 Lorsquef admet en toutxdeI un nombre dérivé,f′(x), la fonction x7−→f′(x)
est appelée fonction dérivée de f et se notef′.
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II.2 Dérivées des fonctions de référence
Une fonctionf et sa fonction dérivéef′ forment un couple indissociable dans lequel chacun a son rôle.
On ressence les résultats suivants à connaître par cœur:
IntervalleI f(x) = f′(x) =
k ...
kx ...
x ...
x2 ...
x3 ...
xn ...
√x ...
1
x ...
1
xn ...
II.3 Recherche d’équations de tangentes
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x y
1 O 1
Exemple 2 Soit f la fonction inverse définie sur ]0; +∞[. On noteCinv sa courbe dans un repère orthonormal.
1. Calculerf′(2)etf(2); en déduire l’équation de la tangente T àCinv au point d’abscisse 2.
2. Tracer Cinv et T sur l’écran de la calculatrice ; vérifier la cohérence du résultat précédent.
D’autres exemples sur le livre : 2,5,6,7,8 page 161-162.
III Opérations et dérivées
III.1 Dérivée d’une fonction de référence multipliée par un nombre réel
Soituune fonction du tableau duparagraphe II.2définie sur un intervalle. Soitkun nombre réel.
La dérivée de la fonctionkuest donnée par la formule : (ku)′=ku′ Concrètement ....
....
Exemple 3 : Quelles sont les fonctions dérivées des fonctions définies sur]0; +∞[parf(x) = 4x3 etg(x) =−3 x?
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III.2 Dérivée d’une somme de deux fonctions
Soituetv deux fonctions définies sur un intervalle.
La dérivée de la fonctionu+vest donnée par la formule : (u+v)′=u′+v′ Concrètement ....
....
Exemple 4 : Quelles sont les fonctions dérivées des fonctions définies sur]0; +∞[parf(x) =x3+√
xetg(x) = 5x2+ 3x?
Remarque 2 :
Le procédé est le même dans le cas d’une différence (u−v)′ =u′−v′ et dans le cas où le nombre de fonctions ajoutées est supérieur à 2.
Exemple 5 Quelle est la dérivée de la fonction polynômef(x) = 2x3+1
2x2−10x−5définie sur[10; 30]?
III.3 Dérivée du produit de deux fonctions
Soituetv deux fonctions définies sur un intervalle.
La dérivée de la fonctionu×vest donnée par la formule : (uv)′=u′v+uv′ Concrètement ....
....
Exemple 6 : Quelles sont les fonctions dérivées des fonctions définies sur[1; 4]parf(x) =x2√
xetg(x) =−2x3(2x−6)?
III.4 Dérivée du quotient de deux fonctions
Soituetv deux fonctions définies sur un intervalle sur lequelv ne s’annule pas.
La dérivée de la fonction u
v est donnée par la formule :
u
v ′
= u′v−uv′ v2 Concrètement ....
....
Exemple 7 : Quelles sont les fonctions dérivées des fonctions définies sur[−1; 2]parf(x) = 4x
x2+ 1 etg(x) =2−4x 2x−7?
Remarque 3 :
Dans le cas où le quotient s’écrit 1
v alors il existe une formule « raccourci » 1
v ′
=−v′ v2
Exemple 8 Quelle est la dérivée de la fonction rationnellef(x) = 1
2x2−1 définie sur[5; 8]?
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IV Sens de variation d’une fonction
f est une fonction dont on peut calculer la dérivée sur un intervalleI. (elle est dérivable sur I)
IV.1 Dérivée et sens de variation
SoitJ un intervalle inclus dansI.
Si pour toutxappartenant àJ,
• f′(x)>0 alorsf est strictement croissante surJ;
• f′(x)<0 alorsf est strictement décroissante surJ;
Remarque 4 Il est important de rappeler quef′(x) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscissex.
Dire quef′(x)>0 pour toutxdeJ signifie que. . .
Dire quef′(x)<0 pour toutxdeJ signifie que. . .
IV.2 Dérivée et extremums locaux
Une partie de la courbe de f est représentée ci-contre.
la fonction f a un extremum local en chacun des nombresaetb.
• f(a) est un minimum local ; cela signifie . . .
• f(b) est un maximum local ; cela signifie . . .
Une fonctionf a un extremum local enx0si :
• f′(x0) = 0 ;
• etf′ change de signe enx0.
Remarque 5 Attention la première condition ne suffit pas : sur la courbe ci-contre,f′(c) = 0 mais f(c) n’est pas un extremum local.
b b b
b b b
a b c
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![f est une fonction numérique définie sur ]− ∞ ; 2[ ∪ ]2 ; + ∞[.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)