Terminale STG Chapitre 3 : étude des variations. Page n ° 1 2007 2008
L'expression qui définit une fonction permet elle de décrire les variations de celle ci ?
Dans le cas d'une fonction affine du type f ( x ) = ax + b, la croissance ou la décroissance se déduisent du signe de a. En revanche, comment procéder dans les autres cas ?
Imaginons une grande entreprise fabriquant des emballages pour le commerce et l'industrie. Une de leur
commande est de réaliser des boîtes en carton en forme de parallélépipède rectangle de volume intérieur 5 litres.
Quelles valeurs doit on donner à la longueur, à la largeur et à la hauteur de ces boîtes pour dépenser le moins possible de carton et réaliser cet emballage ?
Actuellement une entreprise ne peut fabriquer et commercialiser un produit sans s'intéresser au montant des coûts de production, au choix des prix de vente et à la recherche du bénéfice maximal.
L'objet de ce chapitre est d'étudier une fonction afin de répondre au mieux à ce type de questions.
E1 Activité d'approche : variations d'une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée.
N ° 1
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ -2 ; 5 ] par f ( x ) = x² − 3x − 2.
La courbe représentative de f est donnée ci contre.
A ) Déterminer graphiquement les variations de f sur [ - 2 ; 5 ].
B ) Dresser le tableau de variations de f sur [ - 2 ; 5 ].
C ) Calculer la fonction dérivée de f.
D ) Etudier le signe de f ' ( x ) sur [ - 2 ; 5 ].
E ) Dresser le tableau de signes de f ' sur [ - 2 ; 5 ].
F ) Comparer le tableau de variations de f et le tableau de signe de f '.
Que peut on conjecturer ?
1 Variations d'une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f est strictement croissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) > 0.
Si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) = 0.
Si f est strictement décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) < 0.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout x de I, f ' ( x ) > 0 alors f est strictement croissante sur I.
Si pour tout x de I, f ' ( x ) = 0 alors f est constante sur I.
Si pour tout x de I, f ' ( x ) < 0 alors f est strictement décroissante sur I.
Exemple : dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur par f ( x )= - x² + 2x + 4. Voir annexe.
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E2 Savoir déterminer les variations d'une fonction.
N ° 2
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x3 − 3x.
A ) Calculer la fonction dérivée de f.
B ) Déterminer le signe de la fonction dérivée.
C ) Déduire le sens de variation de la fonction f.
D ) Dresser le tableau de variation complet de la fonction f.
N ° 3
Soit f la fonction définie sur [ - 1 ; 5 ] par f ( x ) = 4 x 3 2x 1++ .
Reprendre les questions précédentes pour dresser le tableau de variations de f.
N ° 4
Soit f la fonction définie sur ] 3 ; + ∞ [ par f ( x ) = x − 2 + 3 x
4− .
Reprendre les questions précédentes pour dresser le tableau de variations de f.
2 Extremum local et dérivée ( minimum et maximum ).
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
Soit c ∈ [ a ; b ].
Si pour tout x de [ a ; b ], f ( x ) ≤ f ( c ) alors on dit que f ( c ) est le maximum de f sur I.
Si pour tout x de [ a ; b ], f ( x ) ≥ f ( c ) alors on dit que f ( c ) est le minimum de f sur I.
Dessin : voir feuille annexe.
Tableaux de variations : voir feuille annexe.
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f admet un extremum en c ( c étant distinct des extrémités de I ).
Alors f ’ ( c ) = 0.
Conséquence graphique : la courbe de f admet une tangente horizontale au point C ( c ; f ( c ) ).
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f ' s'annule en changeant de signe en c Alors f admet un extremum en c.
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E3 Savoir déterminer un extremum.
N ° 5
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x3 − 3x² + 1.
Déterminer s'ils existent des extremums de la fonction f.
N ° 6
Reprendre l'exercice n ° 3 et déterminer s'ils existent des extremums de la fonction f.
N ° 7
Reprendre l'exercice n ° 4 et déterminer s'ils existent des extremums de la fonction f.
3 Etude d’une fonction.
Pour étudier une fonction sur un intervalle I, 1. je calcule sa dérivée ;
2. j'étudie le signe de sa dérivée ;
3. je dresse le tableau de variation de la fonction f ; 4. je fais sa représentation graphique.
E4 Résolution de problèmes d'optimisation à une variable.
N ° 8 ( extrait du bac de Polynésie en 2005 ).
Une entreprise fabrique et commercialise des appareils.
On suppose que cette entreprise est capable de répondre à la demande des consommateurs.
Le prix de vente d'un appareil, exprimé en milliers d'euros, est noté x.
Le nombre d'appareils demandés par les consommateurs et vendus peut être exprimé, en fonction du prix de vente unitaire x, par d ( x ) = - 40x + 220 pour x appartenant à l'intervalle [ 1 ; 5 ].
1. Calculer le nombre d'appareils vendus si le prix de vente unitaire est fixé à 1,2 milliers d'euros.
Quel est alors le chiffre d'affaires réalisé ( en milliers d'euros ) ?
Remarque : le chiffre d'affaires est le produit du nombre d'appareils vendus par le prix unitaire.
2.
On note f ( x ) le chiffre d'affaires réalisé, en milliers d'euros, lorsque les appareils sont vendus au prix unitaire x.
a. Montrer que pour tout x élément de l'intervalle [ 1 ; 5 ], f ( x ) = - 40x² + 220x.
b. Calculer f ' ( x ) où f ' désigne la dérivée de la fonction f.
c. Etudier le signe de f ' ( x ). En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [ 1 ; 5 ].
d. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
f ( x )
e. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal du plan.
Unités graphiques :
axe des abscisses : 1 cm pour 0,5 milliers d'euros ; axe des ordonnées : 1 cm pour 20 milliers d'euros.
f. Pour quel prix de vente unitaire, le chiffre d'affaires est il maximal ? Quel est en milliers d'euros, le montant de ce chiffres d'affaires maximal ?
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3. Pour la fabrication de ces appareils, les coûts fixes s'élèvent à 75 milliers d'euros.
De plus, la fabrication de chaque appareil revient à 2 milliers d'euros.
On note c ( x ) le coût total de fabrication des appareils vendus, ( en milliers d'euros ) pour un prix unitaire x ( en milliers d'euros ).
a. Montrer que c ( x ) = 75 + 2 d ( x ). En déduire que c ( x ) = - 80x + 515.
b. Représenter graphiquement la fonction c dans le repère précédent.
( On indiquera les coordonnées des points utilisés pour le tracé ).
4. A l'aide du graphique, et en justifiant la réponse, déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice ( valeurs arrondies à 0,1 millier d'euros ).
N ° 9 ( extrait du bac Nouvelle Calédonie mars 2005 ).
Une entreprise qui fabrique des chaussures fait une étude sur une production journalière comprise entre 5 et 50 paires de chaussures. Le coût de production, en euros, de x paires de chaussures est C ( x ) = x² + 16x + 256.
Partie A
1. Calculer C ' ( x ) où C ' désigne la dérivée de la fonction C. La fonction C ' est la fonction coût marginal.
2. Tracer la représentation graphique D de la fonction C ' dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
2 cm pour 5 paires de chaussures sur l'axe des abscisses en commençant la graduation à 5.
1 cm pour 5 euros sur l'axe des ordonnées qui sera gradué à partir de 20.
Partie B
1. Quel est le coût de production de 40 paires de chaussures ?
2. On désigne par f ( x ) le coût unitaire moyen pour x paires de chaussures fabriquées.
a. Calculer f ( 40 ).
b. Montrer que f ( x ) = x + 16 + 256 x .
3. La fonction f est définie sur [ 5 ; 50 ]. Calculer f ' ( x ) et démontrer que f ' (x ) =
² x
) 16 x )(
16 x
( − + .
4. a. Etudier le signe de f ' ( x ) sur l'intervalle [ 5 ; 50 ].
4. b. Dresser le tableau de variations de f.
5. Reproduire et compléter le tableau suivant :
x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
f ( x ) 71,1
On arrondira les résultats au dixième.
6. Tracer la courbe représentative de f dans le repère précédent.
7. Combien de paires de chaussures l'entreprise doit elle fabriquer pour que le coût unitaire moyen soit minimal ? Indiquer ce coût.
8. a. Vérifier que f ( 16 ) = C ' ( 16 ).
8. b. Mettre en évidence cette égalité sur le graphique précédent.
