Chapitre : Dérivation
v
I. Du nombre dérivé à la fonction dérivée
~ Activité : 1pp60-61 : a.b.c.e.f. (rappels sur le nombre dérivé et la tangente)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I etC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
Définition Si la courbe C admet au point d’abscisse a une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées, on définit le nombre dérivé de f ena, noté f0(a), comme étant le coefficient directeur de cette tangente.
Par suite, l’équation de la tangente est de la forme : y=f0(a)x+p où p est un réel à déterminer.
On a la formule suivante :
y=f0(a)(x−a) +f(a)
Exemple On suppose que f(3) = 5 et f0(3) = −2. L’équation de la tangente de la courbe C au point d’abscisse 3a pour équation :
y=f0(3)(x−3) +f(3) Or
f0(3)(x−3) +f(3) =−2(x−3) + 5 =−2x+ 6 + 5 =−2x+ 11 Donc l’équation réduite est :
y=−2x+ 11
I Exercice : 2p85 (lecture graphique de nombres dérivés)
~ Activité : 2pp61-62 (fonction dérivée à l’aide de la calculatrice)
Définition Si f admet un nombre dérivé pour tout réel x de I, on dit que f est dérivable sur I.
On définit alors la fonction dérivée def, notée f0, qui à tout xdeI associe le nombre dérivé def en x, autrement dit f0(x).
Définition Si f0 est la fonction dérivée def surI, on dit que f est une primitive de f0 sur I.
Pour déterminer la fonction dérivéef0d’une fonctionf, on utilise des formules (qui seront ici admises).
Pour les fonctions usuelles on utilise le tableau suivant :
Fonction Dérivée
f(x) =k (constante) sur R f0(x) = 0 surR f(x) =x sur R f0(x) = 1 surR f(x) =xn surR f0(x) =nxn−1 sur R
f(x) = 1
x surR? f0(x) =− 1
x2 surR?
f(x) = 1
xn sur R? f0(x) =− n
xn+1 sur R?
f(x) =√
x sur [0; +∞[ f0(x) = 1 2√
x sur ]0; +∞[
Exemple Dérivation def :x7→x7 etg :x7→ 1 x3 I Exercices : 6p85
Pour les opérations sur les fonctions on utilise la propriété suivante :
Propriété Soit u et v deux fonctions dérivables, et soit k un nombre réel. Alors : – ku est dérivable et(ku)0 =ku0.
– (u+v)est dérivable et (u+v)0 =u0+v0. – uv est dérivable et (uv)0 =u0v+uv0. – Si une s’annule pas, alors 1
u est dérivable et
1
u 0
= −u0 u2 . – Si v ne s’annule pas, alors u
v est dérivable et u v
0
= u0v−uv0 v2 .
En pratique, pour la rédaction, on ne détaille que l’utilisation des trois dernières formules.
Autrement dit, pour la somme et la multiplication par une constante, les formules étant simples on dérive « directement », en particulier les fonctions polynomiales.
Exemple Dérivation de :
• f :x7→3x3+ 2x2+ 4x+ 7
• g :x7→ 2x 5x+ 1
• h:x7→√
x(3x2−4x)
I Exercices : 8,9,10,11,12p86
I Exercices : 14,15p86 (réécriture de la dérivée) I Exercices : 19p86 (équation de tangente)
II. Signe de f 0 et variations de f
~ Activité : 3p62 (études des différentes fonctions par groupes) Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
– Si f est croissante surI, alors pour tout x∈I, f0(x)>0.
– Si f est décroissante sur I, alors pour tout x∈I, f0(x)60.
– Si f est constante surI, alors pour tout x∈I,f0(x) = 0.
La réciproque est vraie, et permet de déterminer les variations d’une fonction : Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
– Si pour tout x∈I, f0(x)>0, alors f est croissante surI. – Si pour tout x∈I, f0(x)60, alors f est décroissante sur I.
– Si pour tout x∈I, f0(x) = 0, alorsf est constante surI.
Exemple Étude des variations de f :x7→4x2−2x+ 3 I Exercices : 27,28(c)p87 (graphique)
I Exercices : 29,30p88 (graphique, trouver la courbe de la dérivée) I Exercices : 32,33(c)p88 (calculs)
I Exercice : 39,40 (sauf c)p89 (tracer une fonction) I Exercice : (type bac) 54p92 (question 1)
III. Extremum
Propriété Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI. Sif admet un extremum en un point x0 à l’intérieur de I, alors f0(x0) = 0.
La réciproque n’est pas vraie : il faut préciser davantage :
Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f0 s’annule en un point x0 à l’intérieur de I en changeant de signe en x0, alors f admet un extremum en x0.
Exemple Revoir l’exemple précédent.
I Exercices : 35,37,38p89
