Dans ce chapitre, nous allons apprendre des cas particuliers de fonctions dérivées.
L'expression qui définit une fonction permet-elle de décrire les variations d'une fonction ?
Dans le cas d'une fonction affine du type f ( x ) = ax + b, la croissance ou la décroissance se déduisent du signe de a. En revanche, comment procéder dans les autres cas ?
La dérivation, née de la résolution de problèmes locaux ( tangente à une courbe en un point, approximation locale ) se révèle être un outil essentiel pour résoudre des problèmes globaux : sens de variation d'une fonction, recherche d'extremums. C'est ce que nous allons découvrir et apprendre dans ce chapitre.
1 Dérivée de la fonction g telle que g ( x ) = f ( ax + b ).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soient a et b deux réels avec a non nul.
Soit D l'ensemble des réels x tels que ax + b ∈ I.
Soit g la fonction définie par g ( x ) = f ( ax + b ).
Si f est dérivable sur I,
alors g est dérivable sur D et sa fonction dérivée est définie sur D par g ' ( x ) = a f ' ( ax + b )
Dans la pratique, on pourra retenir les formules suivantes : Si g ( x ) = ax + b alors g ' ( x ) =
b ax 2
a
+ avec ax + b > 0.
Si g ( x ) = sin ( ax + b ) alors g ' ( x ) = a cos ( ax + b ) Si g ( x ) = cos ( ax + b ) alors g ' ( x ) = - a sin ( ax + b )
Exemple : g ( x ) = 3 − 2x. Déterminer g ' ( x ). Voir feuille annexe.
E1 Savoir dériver des fonctions composées. P 59 n ° 35 et n ° 36.
E2 Activité d'approche.
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ -2 ; 5 ] par f ( x ) = x² − 3x − 2.
La courbe représentative de f est donnée en page n ° 2.
a ) Déterminer graphiquement les variations de f sur [ - 2 ; 5 ].
b ) Dresser le tableau de variations de f sur [ - 2 ; 5 ].
c ) Calculer la fonction dérivée de f.
d ) Etudier le signe de f ' ( x ) sur [ - 2 ; 5 ].
e ) Dresser le tableau de signes de f ' sur [ - 2 ; 5 ].
f ) Comparer le tableau de variations de f et le tableau de signes de f '. Que peut-on conjecturer ?
2 Signe de la dérivée et variations d'une fonction.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f est strictement croissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) > 0.
Si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) = 0.
Si f est strictement décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) < 0.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout x de I, f ' ( x ) > 0 alors f est strictement croissante sur I.
Si pour tout x de I, f ' ( x ) = 0 alors f est constante sur I.
Si pour tout x de I, f ' ( x ) < 0 alors f est strictement décroissante sur I.
Démonstration de cours : voir feuille annexe.
Exemple : dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur par f ( x )= - x² + 2x + 4. Voir annexe.
E3 Savoir déterminer le sens de variation d'une fonction.
P 80 n ° 10 b et c ; n ° 11 a et n ° 12 b.
3 Extremum.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit c un point de I distinct de ses extrémités.
f a un maximum local en c signifie que f ( c ) est le maximum de f restreinte à un intervalle ouvert contenant c.
Soit d un point de I distinct de ses extrémités.
f a un minimum local en d signifie que f ( d ) est le minimum de f restreinte à un intervalle ouvert contenant d.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert.
Si f admet un extremum local en c alors f ’ ( c ) = 0.
Conséquence graphique : la courbe de f admet une tangente horizontale au point C ( c ; f ( c ) ) que l'on note par une flèche au point C.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit c un point de I.
Si la dérivée s'annule et change de signe en c, alors f admet un extremum local en ce point.
Remarques :
La réciproque du théorème ci dessus est fausse.
f ( x ) = x3 . f est une fonction dérivable sur et f ' ( x ) = 3x².
f ' s'annule en 0 et pourtant f n'a pas d'extremum sur .
Une fonction non dérivable en un point peut avoir un extremum en ce point.
Exemple : la fonction valeur absolue en 0.
Exemples : voir feuille annexe.
E4 Recherche d'extremums.
P 83 n ° 50
p 80 n ° 17 et n ° 18.
4 Comparaisons de fonctions.
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I.
Si pour tout x de I, on a f ( x ) ≤ g ( x ) alors on note f ≤ g On dit que la courbe de f se situe en dessous de la courbe de g.
Soient f, g, et h trois fonctions définies sur un même intervalle I.
Si pour tout x de I, on a g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )
alors on dit que f est encadrée par les fonctions g et h sur cet intervalle I.
Exemple : démontrons que pour tout x de l'intervalle [ 0 ; 2 ] on a 1 + 3x ≤ ( 1 + x )3 . Voir feuille annexe.
E5 Savoir comparer des fonctions.
P 84 n ° 58 et n ° 59 puis n ° 82.
5 Approximation affine.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit a un point de I.
Au voisinage de a, f ( a + h ) peut s'écrire sous la forme f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ' ( a ) × h On dit que f ( a ) + h f ' ( a ) est l'approximation affine locale de f ( a + h ).
Graphiquement, au voisinage du point A d'abscisse a, la courbe de f est très proche de la tangente en A.
Exemple : trouver l'approximation affine de ( 1 + h )3. Puis donner une valeur approchée de 0,99963.
Quelques approximations affines locales particulières au voisinage de 0.
Fonctions Approximations affines Equations de la tangente
f ( x ) = ( 1 + x )² f ( x ) ≈ 1 + 2x y = 1 + 2x
f ( x ) = ( 1 + x )3 f ( x ) ≈ 1 + 3x y = 1 + 3x
f ( x ) = x 11
+ f ( x ) ≈ 1 − x y = 1 − x
f ( x ) = 1+x f ( x ) ≈ 1 + x
2 y = 1 + x
2
E6 Savoir déterminer des approximations affines.
Déterminer les approximations affines des fonctions suivantes au voisinage de 0.
1 ) f ( x ) = ( 1 + x )² 2 ) f ( x ) = ( 1 + x )3 3 ) f ( x ) =
x 1
+1 4 ) f ( x ) = 1+x
E7 Exercice utilisant la méthode d'Euler.
f est une fonction dérivable sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] telle que f ( 0 ) = 1 et pour tout réel de [ 0 ; 1 ], f ' ( t ) = 2t.
Le but de cette activité est de construire une ligne polygonale qui représente approximativement la courbe représentative de la fonction f.
1. Utiliser l'approximation affine associée à une fonction.
Notons f la fonction recherchée telle que f ' ( x ) = 2x et f ( 0 ) = 1.
On découpe l'intervalle [ 0 ; 1 ] à l'aide des nombres x0 = 0 ; x1 = 0,1 ; x2 = 0,2 ; … ; x9 = 0,9 et x10 = 1.
Démontrer à l'aide de l'approximation affine que pour tout i entier naturel compris entre 0 et 9, on a : f ( xi+1 ) ≈ f ( xi ) + 0,2xi.
2. Calcul des valeurs approchées des nombres f ( xi ) avec le tableur ou la calculatrice.
Faire un premier tableau dans lequel apparaissent les lignes i ; xi ; 0,2 × xi ; et f ( xi ).
3. A l'aide de ce tableau construire la courbe de f obtenue.
4. On démontre que f est la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f ( x ) = x² + 1.
Reprendre votre tableau et le compléter avec les valeurs réelles et l'erreur commise.
E8 Résolution numérique de y ' = g ( x ).
L'objectif de cet exercice est de proposer une méthode pour construire une solution approchée du problème suivant : " Déterminer une fonction dérivable f sur [ 1 ; 5 ] telle que f ( 1 ) = 2
3 et f ' ( x ) = x. "
Aucune des fonctions de référence ne fournit une valeur exacte. Afin de déterminer une solution approchée, on partage l'intervalle [ 1 ; 5 ] en 40 intervalles de même longueur 0,1 et on note t0 = 1 , t1 = 1,1 , etc … t40 = 5 Les points de la subdivision rangés dans l'ordre croissant. On va chercher à calculer des valeurs approchées y0 , y1 , … , y40 des nombres f ( t0 ) , f ( t1 ) , etc … f ( t40 ).
Par définition f ( t0 ) = 2
3 , on choisit donc y0 = 2 3 . 1 ) a ) Calcul de y1.
Donner l'approximation affine de f ( t0 + h ). En déduire le choix de y1. 1 ) b ) Calcul de y2.
Démontrer que l'on peut choisir pour approximation y2 ≈ y1 + 0,1 t1
2 )En réitérant le processus mis en place ci-dessus, on arrive de proche en proche à choisir yk+1 = yk + 0,1 tk pour k entier entre 0 et 39. Cet algorithme de calcul permet d'obtenir les valeurs yk à l'aide d'un tableur.
On obtient alors une courbe d'une solution approchée du problème à l'aide de l'assistant graphique.
3 ) Comparaison avec la solution exacte
a ) Vérifier que la fonction f définie sur [ 1 ; 5 ] par f ( x ) = 2
3 x x répond au problème.
b ) Compléter alors votre feuille de calcul en créant une autre colonne qui contient les différences f ( tk ) − yk. Constatez les erreurs commises.
