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Propriété fondamentale Soit f une fonction définie sur un intervalle I

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths [1-2] Août 2007

Synthèse de cours (Terminale ES)

Æ Primitives

Primitives d’une fonction sur un intervalle

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

On a dira que la fonction F, définie sur I, est « une primitive de la fonction f sur l’intervalle I » si on a :

( ) ( )

I , '

x F x f x

∀ ∈ =

Propriété fondamentale

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si f admet une primitive F sur I alors f admet une infinité de primitives sur I et elles sont de la forme :

F+k

Où k est une constante réelle quelconque.

En d’autres termes, toute primitive G de la fonction f sur l’intervalle I est définie par :

( ) ( )

I ,

x G x F x k

∀ ∈ = +

Une condition suffisante d’existence de primitives

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si f est continue sur I alors f admet des primitives sur I.

Primitive prenant une valeur particulière en un point Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Soit x0 un élément de I et y0 un réel.

Si f admet des primitives sur I alors il en existe une seule, F, telle que : F x( )0 =y0.

(2)

PanaMaths [2-2] Août 2007

Calcul de primitives

Propriétés (linéarité)

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et soit α un réel.

Si F est une primitive de f sur I alors αF est une primitive de αf sur I ;

Si F et G sont des primitives respectivement de f et g sur I alors F+G est une primitive de f +g sur I.

Fonctions usuelles

f F Intervalle I (maximal)

x6k

(k\) x6kx \

x6 x 1 2

x6 2x \ x6 x2 1 3

x63x \

2

x 1

6 x 1

x6x \* ou \+* x 1

x

6 x62 x \+*

x6 xn

(n]\{ }1 ) 11 1

x xn

n

+

6 + \ (si n0)

*

\ ou \+* (si n<0)

Formulaire

Pour toute fonction u définie et dérivable sur un intervalle I (et, éventuellement, ne s’annulant pas sur I), on a :

f F

( ) ( )

' n

x6u x u x 1 ( ( )) 1

1 x u x n

n

+

6 +

( ) ( )

' x u x

u x

6 x62 u x( )

Remarques :

La première ligne du tableau ci-dessus est valable pour n entier différent de 1 ;

Avec n=1 et n= −2, on retrouve deux formules « classiques » ;

On trouvera d’autres formules incluant les fonctions logarithme népérien et exponentielle dans le formulaire de primitives pour la terminale ES.

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