f est une fonction définie sur un intervalle I .

Introduction : La notion de nombre dérivé (vue en classe de première) a fait l'objet d'une activité.Il convient malgré tout de rappeler:

f est une fonction définie sur un intervalle I .

On appelle nombre dérivé (s'il existe) de f en x

, le

coefficient directeur de la tangente en A à la courbe représentative de f notée C

.

1. Nombre dérivé des fonctions usuelles.

Fonction carrée Pour tout point A d'abscisse x

_{de la} courbe, la tangente en

A a une pente qui vaut:

f '  x

=2 x

Fonction inverse

Pour tout point A d'abscisse x

de la courbe, la tangente en A a une pente qui vaut:

f '  x

= −1 x

Fonction racine carrée

Pour tout point A , d'abscisse x

de la courbe, la tangente en A a une pente qui vaut:

f '  x

= 1 2  ^x

Fonction cube Pour tout point A d'abscisse x

_{de la} courbe, la tangente en A a une pente qui vaut:

f '  x

=3 x

Nombre dérivé d'une fonction affine:

Nombre dérivé d'une fonction affine:

Si f est une fonction affine de la forme x axb . Pour tout point A , d'abscisse x

de la courbe, la tangente en A a une pente qui vaut: f ' x

= a ( nombre dérivé constant ) Si f est une fonction constante x b , pour tout A d'abscisse x

, f '  x

=0 . Nombre dérivé d'une fonction puissance:

Nombre dérivé d'une fonction puissance:

Si f est une fonction puissance de la forme x _x

où n est un entier supérieur ou égal à 1 . Pour tout point A , d'abscisse x

de la courbe de f , la tangente en A a une pente qui vaut:

f '  x

=nx

Exercice:

Exercice: Remplir le tableau suivant

Nombre dérivée en

F o n c t i o n 2 – 1,5 4

9  ³

Cube Inverse Carrée

Racine carrée

Affine de coefficient directeur – 2

Équation de la tangente en

Équation de la tangente en A à la courbe à la courbe C

représentative d'une fonction représentative d'une fonction f définie sur un définie sur un intervalle.

intervalle.

La tangente, si elle existe, en un point A de la courbe C

est une droite ; elle admet donc une équation de la forme y= axb . Comme le coefficient directeur vaut f '  x

 , on retiendra que :

équation de la tangente en A : y= f '  x

 x – x

 f  x

 Exercice:

Exercice: Quelle est l'équation de la tangente en A d'abscisse – 1 à la courbe représentative de la fonction inverse ?

2. Fonction dérivée

Définition : Soit f une fonction définie sur l'intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si le nombre dérivé f '  x existe pour tous les nombres x de I.

La fonction dérivée de f est la fonction notée f ' qui, à tout x de I, fait correspondre son nombre dérivé f '  x .

Plus schématiquement, f ' : x f '  x

Fonctions dérivées des fonctions de référence :

Fonction x b x 1

Fonction dérivée de la somme de deux fonctions :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si f  x =u  x v  x , alors f est dérivable sur I et f '  x=u '  x v '  x  .

En d'autres termes, uv ' =u ' v '

Exemple: I =[ 0 ;∞[ , u  x =  x et v  x= x

. On pose f x =u  x v  x . Calculer f ' 2 .

Fonction dérivée du produit d'une fonction par un réel :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel . Si f  x =k× u  x , alors f est dérivable sur I et f '  x=k ×u '  x  .

En d'autres termes, k ×u ' = k ×u '

Exemple: I =] 0 ;∞[ , f est définie sur I par f x = −3

x 4 x

. Calculer f ' −2 .

Fonction dérivée du produit de deux fonctions :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si f  x =u  x ×v  x , alors f est dérivable sur I et f '  x=u '  x ×v  x u  x×v '  x .

En d'autres termes, u×v ' =u '× vu× v '

Exemple: I =ℝ , f est définie sur I par f x =x

−3 x 4 . Calculer f '  2 3  _.

Fonction dérivée du quotient de deux fonctions :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v ne s'annule pas sur I . Si f  x = u  x

v  x ^{, alors} f est dérivable sur I et f '  x= u '  x ×v  x −u  x ×v '  x 

v  x

^.

En d'autres termes,  u

v  ' = u ' × v− u× v ' v

Exemple: I =[ 2 ; 10] , f est définie sur I par f  x = 3 x−2

3 x

. Calculer f '  x pour tout x d e I .

Cas particulier : f = 1

v ^{( v} dérivable et ne s'annule pas sur l'intervalle de déf.) alors f ' = 1

v '= – v ' v

exemple : g définie sur [0;3] par g  x= 1

6 x5 , calculer g '  x  pour tout x de [0;3].

3. Signe de la fonction dérivée f ' et sens de variation de la fonction de f . Théorème :

Théorème : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I . Si f '  x est positif pour tout x de I , alors f est croissante sur I .

Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur positif, c'est à dire que tous les nombres f '  x sont positifs : la courbe « monte » donc la fonction est croissante sur I .

Si f '  x est négatif pour tout x de I , alors f est décroissante sur I .

Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur négatif, c'est à dire que tous les nombres

f '  x sont négatifs : la courbe « descend » donc la

fonction est décroissante sur I .

Exemple d'étude de variations d'une fonction : Exemple d'étude de variations d'une fonction :

Soit f définie sur [ – 2 ;5 ] par f  x =– x

2 x . Déterminer les variations de f sur [ – 2 ;5 ] .

D'autres fonctions dérivées : D'autres fonctions dérivées :

Fonction dérivée de u

avec n entier naturel supérieur à 1 et u fonction dérivable sur I :

Si f  x =[ u x ]

avec u fonction dérivable sur I alors f est dérivable sur I et:

f '  x=n× u '  x ×[ u  x ]

En d'autres termes, f ' =nu ' u

^.

Exemple : I =[ 0 ;∞[ , f définie sur I par : f x =3 x – 4

. Calculer f '  x pour x0 .

Fonction dérivée de  ^{u avec u} fonction dérivable sur I et u(x)>0 sur I:

Si f  x =  ^{u  x  avec u} fonction dérivable sur I et u x 0 sur I alors f est dérivable sur I et:

f '  x= u '  x

2  ^{u x}

En d'autres termes, f ' = u ' 2  ^{u .}

Exemple: I =[ 0 ;2 ] , f est définie sur I par f  x =  8 – 3 x . Calculer f '  x pour x

appartenant à I .