• Aucun résultat trouvé

f est une fonction définie sur un intervalle I .

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "f est une fonction définie sur un intervalle I ."

Copied!
5
0
0

Texte intégral

(1)

Introduction : La notion de nombre dérivé (vue en classe de première) a fait l'objet d'une activité.Il convient malgré tout de rappeler:

f est une fonction définie sur un intervalle I .

On appelle nombre dérivé (s'il existe) de f en x

A

, le

coefficient directeur de la tangente en A à la courbe représentative de f notée C

f

.

1. Nombre dérivé des fonctions usuelles.

Fonction carrée Pour tout point A d'abscisse x

A

de la courbe, la tangente en

A a une pente qui vaut:

f 'x

A

=2 x

A

Fonction inverse

Pour tout point A d'abscisse x

A

de la courbe, la tangente en A a une pente qui vaut:

f 'x

A

= −1 x

2A

Fonction racine carrée

Pour tout point A , d'abscisse x

A

de la courbe, la tangente en A a une pente qui vaut:

f 'x

A

= 1 2  x

A

Fonction cube Pour tout point A d'abscisse x

A

de la courbe, la tangente en A a une pente qui vaut:

f 'x

A

=3 x

2A

(2)

Nombre dérivé d'une fonction affine:

Nombre dérivé d'une fonction affine:

Si f est une fonction affine de la forme x axb . Pour tout point A , d'abscisse x

A

de la courbe, la tangente en A a une pente qui vaut: f ' x

A

= a ( nombre dérivé constant ) Si f est une fonction constante x b , pour tout A d'abscisse x

A

, f 'x

A

=0 . Nombre dérivé d'une fonction puissance:

Nombre dérivé d'une fonction puissance:

Si f est une fonction puissance de la forme x x

n

n est un entier supérieur ou égal à 1 . Pour tout point A , d'abscisse x

A

de la courbe de f , la tangente en A a une pente qui vaut:

f 'x

A

=nx

An−1

Exercice:

Exercice: Remplir le tableau suivant

Nombre dérivée en

F o n c t i o n 2 1,5 4

9  3

Cube Inverse Carrée

Racine carrée

Affine de coefficient directeur 2

Équation de la tangente en

Équation de la tangente en A à la courbe à la courbe C

f

représentative d'une fonction représentative d'une fonction f définie sur un définie sur un intervalle.

intervalle.

La tangente, si elle existe, en un point A de la courbe C

f

est une droite ; elle admet donc une équation de la forme y= axb . Comme le coefficient directeur vaut f 'x

A

 , on retiendra que :

équation de la tangente en A : y= f 'x

A

 x – x

A

 fx

A

Exercice:

Exercice: Quelle est l'équation de la tangente en A d'abscisse 1 à la courbe représentative de la fonction inverse ?

2. Fonction dérivée

Définition : Soit f une fonction définie sur l'intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si le nombre dérivé f 'x existe pour tous les nombres x de I.

La fonction dérivée de f est la fonction notée f ' qui, à tout x de I, fait correspondre son nombre dérivé f 'x .

Plus schématiquement, f ' : x f 'x

Fonctions dérivées des fonctions de référence :

Fonction x b x 1

(3)

Fonction dérivée de la somme de deux fonctions :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si fx =u  x v  x , alors f est dérivable sur I et f 'x=u 'x v '  x  .

En d'autres termes, uv ' =u ' v '

Exemple: I =[ 0 ;∞[ , ux =  x et vx= x

3

. On pose f x =u  x v  x . Calculer f ' 2 .

Fonction dérivée du produit d'une fonction par un réel :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel . Si fx =k× ux , alors f est dérivable sur I et f 'x=k ×u '  x  .

En d'autres termes, k ×u ' = k ×u '

Exemple: I =] 0 ;∞[ , f est définie sur I par f x = −3

x 4 x

2

. Calculer f ' −2 .

Fonction dérivée du produit de deux fonctions :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si fx =u  x ×v  x , alors f est dérivable sur I et f 'x=u 'x ×v  x ux×v 'x .

En d'autres termes, u×v ' =u '× vu× v '

Exemple: I =ℝ , f est définie sur I par f x =x

2

−3 x 4 . Calculer f '  2 3  .

Fonction dérivée du quotient de deux fonctions :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v ne s'annule pas sur I . Si fx = ux

vx , alors f est dérivable sur I et f 'x= u 'x ×v  x −u  x ×v '  x

vx

2

.

En d'autres termes,  u

v' = u ' × v− v ' v

2

Exemple: I =[ 2 ; 10] , f est définie sur I par fx = 3 x−2

3 x

2

. Calculer f 'x pour tout x d e I .

(4)

Cas particulier : f = 1

v ( v dérivable et ne s'annule pas sur l'intervalle de déf.) alors f ' = 1

v '= – v ' v

2

exemple : g définie sur [0;3] par gx= 1

6 x5 , calculer g 'x  pour tout x de [0;3].

3. Signe de la fonction dérivée f ' et sens de variation de la fonction de f . Théorème :

Théorème : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I . Si f 'x est positif pour tout x de I , alors f est croissante sur I .

Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur positif, c'est à dire que tous les nombres f 'x sont positifs : la courbe « monte » donc la fonction est croissante sur I .

Si f 'x est négatif pour tout x de I , alors f est décroissante sur I .

Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur négatif, c'est à dire que tous les nombres

f 'x sont négatifs : la courbe « descend » donc la

fonction est décroissante sur I .

(5)

Exemple d'étude de variations d'une fonction : Exemple d'étude de variations d'une fonction :

Soit f définie sur [ 2 ;5 ] par fx =– x

2

2 x . Déterminer les variations de f sur [ 2 ;5 ] .

D'autres fonctions dérivées : D'autres fonctions dérivées :

Fonction dérivée de u

n

avec n entier naturel supérieur à 1 et u fonction dérivable sur I :

Si fx =[ u x ]

n

avec u fonction dérivable sur I alors f est dérivable sur I et:

f 'x=n× u 'x ×[ ux ]

n –1

En d'autres termes, f ' =nu ' u

n –1

.

Exemple : I =[ 0 ;∞[ , f définie sur I par : f x =3 x – 4

3

. Calculer f 'x pour x0 .

Fonction dérivée de  u avec u fonction dérivable sur I et u(x)>0 sur I:

Si fx =  u x avec u fonction dérivable sur I et u x 0 sur I alors f est dérivable sur I et:

f 'x= u 'x

2  u x

En d'autres termes, f ' = u ' 2  u .

Exemple: I =[ 0 ;2 ] , f est définie sur I par fx =  8 3 x . Calculer f 'x pour x

appartenant à I .

Références

Documents relatifs

On enlève à chaque coin un carré et on relève les les bords selon les pointillés pour obtenir une boîte sans couvercle. Déterminer la boîte de volume maximal que l'on

Dire qu’une fonction est dérivable signifie qu’il existe des tangentes à tout point de la courbe la représentant.. Par contre, la fonction dérivée n’a plus de lien avec

Dans ce cas, on appelle fonction dérivée

Dans le chapitre précédent, nous nous somme intéressé au coefficient directeur de la tangente à la courbe d’une fonction. Nous avons ensuite défini le nombre dérivé de la

En latin, toucher se dit tangere. Les mathématiciens en ont fait le mot tangente. 2°) Déterminer l’équation réduite de T.. 1°) Tracer T sur le graphique. 2°)

- Dans tous les exercices de ce chapitre, on donne la courbe d’une fonction et la tangente en un ou plusieurs points à la courbe. - Plus tard, on apprendra à tracer nous-même

La dérivation, née de la résolution de problèmes locaux ( tangente à une courbe en un point, approximation locale ) se révèle être un outil essentiel pour

Exemple : déterminer le sens de variation de la fonction f donnée par la courbe ci dessous puis dresser le tableau de variations de cette fonction... N ° 6 Donner le domaine