Dérivées : Applications I. Quelques rappels. 1. Nombre dérivé – Tangente. Dans toute la suite, on considère une fonction f définie sur un intervalle I. On note

Dérivées : Applications

I. Quelques rappels.

1. Nombre dérivé – Tangente.

Dans toute la suite, on considère une fonction f définie sur un intervalle I. On note 𝐶_𝑓 sa courbe représentative dans un repère (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗) .

Définition :

Si le taux d’accroissement 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ tend vers un nombre fini lorsque h tend vers zéro, on dit que la fonction f est dérivable en a.

Ce nombre est alors appelé nombre dérivé de f en a. On le note 𝑓′(𝑎) On a donc :

0

( ) ( )

'( ) lim

h

f a h f a

f a

h

+ −

=

Remarque :

Le nombre dérivé de f en a est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a admet comme équation :

𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 2. Notion de la fonction dérivée

Si une fonction est dérivable pour tout réel 𝑎 de l’intervalle 𝐼, on dit qu’elle est dérivable sur l’intervalle I.

Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de 𝑓 sur l’intervalle 𝐼 la fonction qui, à tout 𝑥 𝑑𝑒 𝐼, associe le nombre dérivé 𝑓′(𝑥) .

On note cette fonction 𝑓′(𝑥)

3. Dérivées des fonctions usuelles.

II. Opérations sur les dérivées.

1. Somme de deux fonctions dérivables.

Propriété 1 :

Soient 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Alors la fonction (𝑢 + 𝑣) est dérivable sur I et sa dérivée est 𝑢′+ 𝑣′

On note : (𝑢 + 𝑣)′=𝑢′+ 𝑣′

Exemples

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥²+¹

𝑥 En posant : 𝑢(𝑥) = 𝑥² et 𝑣(𝑥) =¹

𝑥 𝑓 = 𝑢 + 𝑣 𝑢 et 𝑣 sont dérivables sur ]0 ; +∞[, on a

𝑢′(𝑥) = 2𝑥 et 𝑣′(𝑥) = −¹

𝑥² Ainsi 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 −_𝑥²¹

2. Multiplication par une constante.

Propriété 2 : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un nombre réel.

Alors la fonction (𝑘𝑢) est dérivable sur I et sa dérivée est 𝑘𝑢′ . (𝑘𝑢)′ = 𝑘𝑢′

Exemples.

Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 4𝑥³ − 3𝑥²+ √2𝑥 − 2

Remarque : Il résulte des propriétés 1 et 2 que toute fonction polynôme est dérivable sur R . 3. Produit de fonctions dérivables

Soit 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Alors la fonction (𝑢 × 𝑣) est dérivable sur I et sa dérivée est 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ . (𝑢 × 𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

Exemples .

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 f est de la forme (𝑢 × 𝑣)avec : 𝑢(𝑥) = 𝑥 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = √𝑥 𝑢^′(𝑥) = 1 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = ¹

2√𝑥

𝑓^′(𝑥) = 𝑢^′(𝑥) × 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) × 𝑣^′(𝑥)

𝑓^′(𝑥) = 1 × √𝑥 + 𝑥 × 1 2√𝑥

𝑓^′(𝑥) = √𝑥 + 𝑥

2√𝑥= √𝑥 +√𝑥 × √𝑥

2√𝑥 = √𝑥 +√𝑥

2 =3√𝑥 2 Exercices :48,49 page 103

4. Inverse d’une fonction dérivable.

Soit 𝑣 une fonction dérivable sur I, telle que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐼 ,𝑣(𝑥) ≠ 0 Alors la fonction ¹

𝑣 est dérivable sur I et sa dérivée est : ^−𝑣

𝑣²

Et on note : : (¹

𝑣)^′=^−𝑣′

𝑣²

Exemple :

On considère la fonction f définie sur ]¹

3; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 1

3𝑥 − 1 𝑓 est de la forme : ¹

𝑣, où 𝑣(𝑥) = 3𝑥 − 1 𝑣 est dérivable sur ]¹

3; +∞[ , et ne s’annule pas sur ]¹

3; +∞[.

𝑣^′(𝑥) = 3 Conclusion : 𝑓 est dérivable sur ]¹

3; +∞[ et 𝑓^′(𝑥) = −_{(3𝑥−1)²}³

Exercice54,55,56 page 103 5. La dérivée d’un quotient.

Soit 𝒖 𝑒𝑡 𝒗 deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telle que, pour tout x de I, 𝒗 (𝒙) ≠ 0.

Alors la fonction ^𝑢

𝑣 est dérivable sur I et sa dérivée est :^{𝑢′𝑣−𝑢𝑣′}

𝑣² : On note : (^𝑢

𝑣) ′ =^{𝑢′𝑣−𝑢𝑣′}

𝑣² .

Exemple :

Soit 𝑓 la fonction définie sur ]2; +∞[ par 𝑓(𝑥) =^4𝑥+5_𝑥−2 . 𝑓 est de la forme ^𝑢

𝑣 avec 𝑢(𝑥) = 4𝑥 + 5 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑥 − 2 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 sont dérivables sur ]2; +∞[ et 𝑢^′(𝑥) = 4 et 𝑣^′(𝑥) = 1 De plus 𝑣(𝑥) ne s’annule pas 𝑠𝑢𝑟 ]2; +∞[

Conclusion :

𝑓 est dérivable sur ]2; +∞[ 𝑒𝑡 :

𝑓^′(𝑥) =4(𝑥 − 2) − 1(4𝑥 + 5)

(4𝑥 + 5)² =4𝑥 − 8 − 4𝑥 − 5

(4𝑥 + 5)² = −13 (4𝑥 + 5)² Exercices 57,58page 103

6. Composée de deux fonctions Propriété admise :

On considère deux nombres réels 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 avec 𝑎 ≠ 0.

Si 𝑔 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐽 , alors la fonction 𝑓: 𝑥 → 𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) est dérivable sur l’intervalle 𝐼 formé des nombres réels 𝑥 tels que 𝑎𝑥 + 𝑏 appartient à J et

𝑓^′(𝑥) = 𝑎 × 𝑔′(𝑎𝑥 + 𝑏) Exemple :

On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [¹

2 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

𝑥 → 2𝑥 − 1→ √2𝑥 − 1 ^√ Ainsi 𝑓(𝑥) = 𝑔(2𝑥 − 1) où 𝑔 est la fonction racine carrée.

On sait que la fonction 𝑔 est dérivable sur ]0; +∞[. Donc la fonction 𝑓: 𝑥 → 𝑔(2𝑥 − 1) est dérivable si 2𝑥 − 1 > 0 ⇔ 𝑥 >¹

2 et sa dérivée est : 𝑓^′(𝑥) = 2 × 𝑔^′(2𝑥 − 1) = 2 × ¹

2×√2𝑥−1 = ¹

√2𝑥−1

Synthèse :

III. Applications de la dérivation.

1. Dérivée et sens de variation.

Théorème fondamental (admis) :

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.

• Si pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼 , 𝑓′(𝑥) ≥ 0 alors 𝑓 est croissante sur I.

• Si pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼 , 𝑓′(𝑥 ≤ 0 alors 𝑓 est décroissante sur I.

• Si pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼 , 𝑓^′(𝑥) = 0 alors 𝑓 est constante sur I.

Remarques :

1. On a aussi : 𝑓^′(𝑥) > 0 donne 𝑓 strictement croissante, etc.

2. Pour étudier les variations d’une fonction, il suffit donc d’étudier le signe de sa dérivée.

Néanmoins, dans certains cas simples (trinôme du second degré ou fonction affine par exemple), ceci n’est pas toujours nécessaire.

Exemples :

1. 𝑓(𝑥) =¹

3𝑥³ +¹

2𝑥²+ 2𝑥 − 5.

2. 𝑔(𝑥) =^4𝑥+3

𝑥²+1.

Exercices : 60 ;61 ;62 ;63 ;64 ;65 page 129 1. 𝑓^′(𝑥) = 𝑥²+ 𝑥 + 2

2. 𝑓′ est un polynôme de second degré : pour établir son signe on calcule delta et on fait un tableau de signe .

Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = −7 donc aucune racine pour 𝑓^′(𝑥) = 0 et 𝑓^′(𝑥) est du signe de

𝑎 = 1

𝑥 −∞ +∞

𝑓′(𝑥) +

Var de 𝑓

1. 𝑔^′(𝑥) =^4×(𝑥2+1)−2𝑥×(4𝑥+3)

(𝑥²+1)² =^{−4𝑥2−6𝑥+4}

(𝑥²+1)² . 2. Le dénominateur étant au carré est toujours

positif . donc le signe de 𝑓^′(𝑥) dépend uniquement du polynome de second degré

−4𝑥²− 6𝑥 + 4.

Δ = 36 + 64 = 100 𝑥₁ = ⁶⁺¹⁰

−8 = −2 Et 𝑥₂ = ⁶⁻¹⁰

−8 = −¹

2. 𝑎 = 1 𝑥 −∞ -2 −¹

2 +∞

𝑓′(𝑥) − + − Var

de 𝑓

𝑔(−2) = −1 et 𝑔 (−¹

2) = ⁴

5

2. Extremum local.

Définition :

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et 𝑐 ∈ 𝐼.

On dit que 𝑓 (𝑐) est un maximum local (respectivement minimum local) de 𝑓 s’il existe un intervalle ouvert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐽, 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓 (𝑐) (respectivement 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑓 (𝑐)).

Remarque :

1. Un extremum local est soit un maximum local, soit un minium local.

2. On peut remarquer sur 𝑓 est dérivable et si 𝑓(𝑥₀)est un extremum local, alors 𝑓^′(𝑥₀) = 0.

Mais attention à la réciproque...

3. Propriété (admise) :

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑥₀ ∈ 𝐼, 𝑥₀ n’étant pas une extrémité de I.

Si 𝑓^′(𝑥₀) = 0 et que la fonction change de signe, alors 𝑓 (𝑥₀ ) est un extremum local de 𝑓

Exercices 33 ; 34 ;35 ;36 page 126 Exercices bilan : 81