B- Dérivabilité - nombre dérivé – tangente feuille n°2 Définition 1: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I.
On appelle accroissement moyen (m y x
) de f entre a et a+h, le rapport:
h ) a ( f ) h a (
f
Remarque:
L’accroissement moyen entre x0 et x0+h peut être vu comme le coefficient directeur de la droite passant par les points A (x0 ; f(x0)) et M (x0 +h ; f(x0 +h)).
Exemple :Soit f la fonction définie sur [-9 ; 9] par : f(x) = x² et Cf sa courbe représentative A et M deux points de Cf
A( 1 ;1) M( 1+h ; f(1+h)) avec f(1+h) = (1 + h)²
Définition 2 : Dérivabilité d’une fonction en a: Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle [; ] et h un réel non nul.
Dire que la fonction f est dérivable en a de ];[ signifie qu’il existe un réel A tel que
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h A ou encore que ( ) ( ) lim
x a
f x f a x a A
Le nombre A est appelée nombre dérivé de f en x0 et on note A = f ’(x0).
Résultat graphique : La courbe représentative d’une fonction dérivable sur un intervalle I est faite d’un seul morceau et sans pic, ni pointe.
Attention : + et – ne sont pas réels.
Exemple et contre-exemple :
Soit f la fonction Carré définie sur R. On veut étudier sa dérivabilité en 3.
Soit ( ) (3) 2 9
3
3
3, 3
3 3 3
x x
f x f x
x x
x x x donc
3
( ) (3)
lim 6
3
x
f x f x 6 est un nombre réel, donc f est dérivable en 3 et f’(3)= 6.
Soit f la fonction Racine carrée définie sur R+. On veut étudier sa dérivabilité en 0.
Soit ( ) (0) 0 1
0
f x f x x
x x x x donc
0
( ) (0)
lim 0
x
f x f x
+ n’est pas un nombre réel, donc f n’est pas dérivable en 0.
Définition 3 : TANGENTE À UNE COURBE :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un point de I.
Alors :
Le nombre dérivé de f en x0 est le coefficient directeur ( pente )de la tangente à la courbe de f au point de coordonnées (x0,f(x0)). f ‘(x0 ) = m
De plus on a:
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
x x
f x f x
f x x x
Sur l'exemple : f '(0)=4
Théorème 1 :
Soit M0 le point de la courbe représentative de la fonction f dans un repère
O i j, ,
.Chercher une équation de la tangente au point de coordonnées (a; f(a)) revient alors à chercher une équation de la droite de pente f ’(a) et passant par le point de coordonnées (a; f(a)).
Une équation réduite de la tangente en M0 est y = f’(x0) (x – x0) + f(x0).
Application à l’exemple : f(x) = A( 0 ; -2) f ‘( 0) = 4 f( o ) = -2 y = f’(0) (x – 0) + f(0).
Soit y = 4.x - 2 ou y = 4x - 2 Exercice :
La courbe ci-dessous représente dans un repère orthonormé une fonction f définie sur 0;. On noté f’ la dérivée de f.
La courbe C passe par les points A(1 ; – 1) et B(3 ;0) et C(5 ;3).
1. Déterminer une équation de la droite (AB).
2. Déterminer f(1), f'(1), f(3)et f'(3).
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point B.
4. Dresser le tableau de signes de f sur 0;5 . 5. Dresser le tableau de signes de f ‘ sur 0;5 .
A
B
C
Correction :
La courbe ci dessous représente dans un repère orthonormé une fonction f définie sur 0;. On note f’ la dérivée de f.
La courbe C passe par les points A(1 ; – 1) et B(3 ;0) et C(5 ;3).
1. Déterminer une équation de la droite (AB).
La droite (AB) passe par les points A et B. Une équation de la droite (AB) est : y= ax + b.
Par lecture graphique, 1
a 2 donc (AB) a pour équation 1
y2x b
A appartient à la droite (AB) donc 1
A 2 A
y x b soit 1 1 1
2 b
d’où 3
2 b
Une équation de la droite (AB) est donc : 1 3
2 2
y x
2. Déterminer f(1), f'(1), f(3)et f'(3). (1) 1
f , f(3) 0 , images de 1 et de 3 par f.
'(1) 0
f , f'(3) 1 . Coefficient directeur de la tangente en 1 et de la tangente en 3 à la courbe de f.
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point B.
D’après la question précédente, y= x + b. Or B appartient à la tangente donc yBxBb. Or
3 et 0
B B
x y . Donc yB 3
Une équation de la tangente en B est y x 3
4. Dresser le tableau de signes de f sur 0;5 . x 0 3 5
f(x) – 0 +
5. Dresser le tableau de signes de f ’ sur 0;5 . x 0 1 5
f’(x) – 0 +
A
B
C
2
4
