Mettre des quantités de données de plus en plus importantes sur des surfaces de plus en plus réduites, voilà un problème d'optimisation ayant conduit à la création du CD et du DVD. C'est à travers la résolution de ce problème que des chercheurs ont étudié certaines propriétés de fonctions. Dans ce chapitre, nous allons étudier les variations d'une fonction pour en déduire éventuellement un minimum ou un maximum.
1 Fonction croissante.
Définitions
1 ) Une fonction f est dite croissante sur un intervalle [ a ; b ] si lorsque x augmente de a vers b, alors f ( x ) augmente aussi.
2 ) Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle [ a ; b ] si et seulement si les réels de cet intervalle et leurs images sont rangés dans le même ordre.
Une fonction croissante conserve l'ordre.
3 ) Soit f une fonction définie sur un intervalle D.
f est strictement croissante sur D si pour tous les réels x1 et x2 de D on a : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
Exemple : trouver sur la courbe ci dessus les intervalles où la fonction f est croissante. Voir feuille annexe.
Exemple : f est la fonction définie sur par f ( x ) = 3x − 4.
Traçons la courbe représentative de f, et démontrons que f est une fonction strictement croissante sur .
E1 Savoir démontrer qu'une fonction est croissante.
N ° 1 Soit f la fonction définie par f ( x ) = 2x + 3.
a. Tracer la courbe représentative de f.
b. Démontrer que f est une fonction strictement croissante sur . N ° 2 Soit g la fonction définie par g ( x ) = x².
Démontrer que la fonction g est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
2 Fonction décroissante.
Définitions
1 ) Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle [ a ; b ] si lorsque x augmente de a vers b, alors f ( x ) diminue.
2 ) Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle [ a ; b ] si et seulement si les réels de cet intervalle et leurs images sont rangés dans l'ordre contraire.
Une fonction décroissante inverse l'ordre.
3 ) Soit f une fonction définie sur un intervalle D.
f est strictement décroissante sur D si pour tous les réels x1 et x2 de D on a : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
Exemple : trouver sur la courbe en page n ° 1 les intervalles où la fonction f est décroissante.
Exemple : soit la fonction f définie sur l'intervalle ] - ∞ ; 0 [ par f ( x ) = 1
x . Tracer une allure de la représentation graphique de f et démontrer que f est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.
E2 Savoir démontrer qu'une fonction est décroissante.
N ° 3 Soit la fonction f définie par f ( x ) = -3x + 2.
Démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur . N ° 4 Soit la fonction g définie par g ( x ) = x².
Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; 0 ].
N ° 5 Soit la fonction h définie par h ( x ) = 1 x .
Démontrer que la fonction h est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.
3 Tableau de variation.
Etudier le sens de variation d’une fonction f, c’est chercher les plus grands intervalles sur lesquels f est strictement croissante, strictement décroissante ou constante.
En première STG, le sens de variation est conjecturé sur la courbe et démontré dans les cas simples.
On peut résumer ces propriétés dans un tableau de variation.
Exemple : déterminer le sens de variation de la fonction f donnée par la courbe ci dessous puis dresser le tableau de variations de cette fonction. Voir feuille annexe.
E3 Savoir faire un tableau de variation.
N ° 6
N ° 6 Donner le domaine de définition de la fonction f dont la courbe est représentée sur la page n ° 3.
Déterminer le sens de variation de la fonction f.
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
N ° 7
Donner le domaine de définition de la fonction f dont la courbe est représentée ci dessus.
Déterminer le sens de variation de la fonction f.
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
N ° 8
Donner le domaine de définition de la fonction f dont la courbe est représentée ci dessous.
Déterminer le sens de variation de la fonction f.
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4 Recherche d'extremums.
Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
Soit a un réel de D.
f ( a ) est le maximum de f sur D signifie que pour tout x de D on a f ( x ) ≤ f ( a ).
Autrement dit : f ( a ) est le maximum de f sur D signifie que f ( a ) est la plus grande valeur de la fonction c'est à dire que le point A ( a ; f ( a ) ) est le point le plus haut de la courbe sur l'intervalle D.
Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
Soit b un réel de D.
f ( b ) est le minimum de f sur D signifie que pour tout x de D on a f ( b ) ≤ f ( x ).
Autrement dit : f ( b ) est le minimum de f sur D signifie que f ( b ) est la plus petite valeur de la fonction c'est à dire que le point B ( b ; f ( b ) ) est le point le plus bas de la courbe sur l'intervalle D.
Exemples : voir feuille annexe.
E4 Savoir déterminer des extremums.
N ° 9 Soit le tableau de variation de la fonction f donné ci dessous :
x −4 2 5
3 f
-2 -3
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Déterminer le sens de variation de f.
3. Donner les images de -4 ; 2 ; et 5.
4. Déterminer les extremums de f et les valeurs en lesquels ils sont atteints.
5. Tracer une allure de la courbe de f.
N ° 10 Soit le tableau de variation de la fonction f donné ci dessous :
x 1 3 6 7
3 1
f
0 -1
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Déterminer le sens de variation de f.
3. Donner les images de 1 ; 3 ; 6 et 7.
4. Déterminer les extremums de f et les valeurs en lesquels ils sont atteints.
5. Tracer une allure de la courbe de f.
5 Equation f ( x ) = k.
Le but de ce paragraphe est d' utiliser le tableau de variation d'une fonction monotone dans un intervalle pour en déduire l'existence et l'unicité de la solution de l'équation f ( x ) = k.
Soit f une fonction définie sur un intervalle D.
Soit k un nombre réel.
Soit I un intervalle inclus dans l'intervalle D.
Résoudre l'équation f ( x ) = k d'inconnue x consiste à déterminer l'ensemble des nombres x appartenant à l'intervalle I tels que f ( x ) = k.
Théorème :
Soit [ a ; b ] un intervalle inclus dans D.
Si la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [ a ; b ], Si le nombre k appartient à l'intervalle [ f ( a ) ; f ( b ) ],
Alors l'équation f ( x ) = k admet une solution unique dans l'intervalle [ a ; b ].
Théorème :
Soit [ a ; b ] un intervalle inclus dans D.
Si la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [ a ; b ], Si le nombre k appartient à l'intervalle [ f ( b ) ; f ( a ) ],
Alors l'équation f ( x ) = k admet une solution unique dans l'intervalle [ a ; b ].
Exemple :
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [ - 5 ; 4 ] dont on donne le tableau de variation :
x −5 - 3 0 2 4
2 3 5
f
- 2 1
Démontrons que l'équation f ( x ) = 1 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 5 ; - 3 ].
Résolution : voir feuille annexe.
E5 Savoir résoudre une équation du type f ( x ) = k.
N ° 11
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [ - 5 ; 4 ] dont on donne le tableau de variation.
x − 5 - 1 1 4
3 10
f
0 -5
Démontrer que l'équation f ( x ) = -2 admet une solution unique dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ].
N ° 12
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [ - 3 ; 7 ] dont on donne le tableau de variation.
x −3 1 7
4 5
f
- 3
Démontrer que l'équation f ( x ) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle [ 1 ; 7 ].
E6 Savoir déterminer un encadrement de la solution d'une équation du type f ( x ) = k.
Exemple guidé :
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x3 − 12x + 5.
Le tableau de variation est donné dans l'exemple du cours.
Soit α la solution de l'équation f ( x ) = 10 dans l'intervalle [ - 2 ; 2 ].
1. Donner un encadrement de α par deux entiers consécutifs.
Programmer la fonction dans la calculatrice et, à l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer l'encadrement cherché
x - 2 - 1 0 1 2
f ( x )
Ce tableau de valeurs prouve donc que la solution α est comprise entre …. et ….. Donc … < α < ….
2. Etablir un tableau de valeurs de f ( x ) avec un pas d'amplitude 0,1 pour x ∈ [ - 1 ; 0 ].
x -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0
f ( x )
Déduire un encadrement de α d'amplitude 0,1.
Ce tableau de valeurs prouve donc que la solution α est comprise entre .. et .. Donc .. < α < ..
N ° 13 Soit la fonction f définie sur par f ( x ) = x4 + 4x + 4. Le tableau de variation de f est donné :
x −2 - 1 1
12 9
f
1
On note α la solution de l'équation f ( x ) = 6 dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ].
1. Donner un encadrement de la solution par deux entiers consécutifs.
2. Etablir à la calculatrice un tableau de valeurs de f ( x ) avec un pas d'amplitude 0,1 pour x ∈ [ 0 ; 1 ].
En déduire un encadrement de α d'amplitude 0,1.
N ° 14 Soit f la fonction définie sur ] - 2 ; + ∞ [ par f ( x ) = 2 x
² x+ . 1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
x -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f ( x )
2. Tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unités graphiques 1 cm.
3. Déterminer à l'aide du graphique les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 1.
Retrouver ces résultats par le calcul après avoir développé ( x + 1 ) ( x − 2 ).
4. On note α et β les solutions de l'équation f ( x ) = 2.
En déduire un encadrement de α et de β d'amplitude 0,1.
6 Inéquations f ( x ) < k ou bien f ( x ) > k.
Soit f une fonction définie sur un intervalle D.
Soit k un nombre réel.
Résoudre graphiquement l'inéquation f ( x ) < k cela signifie rechercher les abscisses des points de la courbe de f lorsque la courbe de f se situe strictement en dessous de la droite d'équation y = k.
Soit f une fonction définie sur un intervalle D.
Soit k un nombre réel.
Résoudre graphiquement l'inéquation f ( x ) > k cela signifie rechercher les abscisses des points de la courbe de f lorsque la courbe de f se situe strictement au dessus de la droite d'équation y = k.
E7 Savoir résoudre des inéquations du type f ( x ) < k.
N ° 15
Reprendre le graphique de l'exercice n ° 6. Résoudre l'inéquation f ( x ) ≤ 1.
N ° 16
Reprendre le graphique de l'exercice n ° 7. Résoudre l'inéquation f ( x ) > 2.
N ° 17
Reprendre le graphique de l'exercice n ° 8. Résoudre l'inéquation f ( x ) > - 1.
E8 Applications économiques.
N ° 18 Un représentant de commerce vend des machines à coudre. Le bénéfice ( ou la perte ) réalisé ( e ) lors de la vente de x machines, exprimé en euros, est donné ( e ) par la formule B ( x ) = 4x² − 504
x avec 1 ≤ x ≤ 10. Le tableau de variation de B est le suivant :
x 1 10
349,6 f
- 500
1. Reproduire puis compléter le tableau de valeurs à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B ( x )
2. Tracer, à l'écran d'une calculatrice, puis sur papier millimétré, la courbe représentative de la fonction B dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
( Unités graphiques : 1 cm pour une machine en abscisse et 1 cm pour 50 € en ordonnées ).
3. Déterminer graphiquement pour quels nombres de machines à coudre vendues, le représentant réalise un bénéfice. Confirmer la réponse par un calcul.
E9 Exercice type bac CGRH.
N ° 19 Dans une petite entreprise, la fabrication journalière de x objets impose un coût de fabrication par objet en euros noté f ( x ). Cet objet étant vendu 12 €, le chiffre d'affaires en euros réalisé par l'entreprise par la vente de x objets est donc le nombre réel g ( x ) = 12x. On a tracé la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ; le nombre d'objets est placé en abscisse et le coût de fabrication en euros est porté en ordonné.
1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
a. Quel est le coût de fabrication pour une production journalière de 15 objets.
Quelle autre quantité d'objets fabriqués donne le même coût de fabrication ? b. Quelle production journalière correspond à un coût de fabrication de 525 € ?
c. Pour quelle quantité d'objets fabriqués le coût de fabrication n'excède-t-il pas 305 € ?
2. Dans le repère ci-contre, tracer la droite d'équation y = 12x et déterminer graphiquement combien l'entreprise doit fabriquer d'objets pour être bénéficiaire.
