PanaMaths Novembre 2008
Déterminer les primitives sur \ de la fonction f définie par :
( ) cos3
f x = x
On utilisera : cos
2x = − 1 sin
2x .
Analyse
L’indication fournie permet de simplifier l’expression en faisant apparaître une différence dont on sait intégrer chaque terme.
Résolution
On a, pour tout réel x réel :
( )
cos3 cos cos2 cos(
1 sin2)
cos cos sin2f x = x= x× x= x× − x = x− x x
Le premier terme de cette différence s’intègre sans difficulté. Quant à la fonction cos sin2
x6 x x, elle est de la forme x6u x'
( )
×un( )
x avec :u x6sinx et n=2. On adonc, en notant F une primitive quelconque de f sur \ :
( )
sin 1sin3F x = x−3 x C+ Où C est une constante réelle quelconque.
Résultat final
La fonction f x: 6cos3x admet pour primitives sur \ les fonctions définies par :
1 3
sin sin
x6 x−3 x C+ où C est une constante réelle quelconque.
