PanaMaths Avril 2012
Déterminer le développement limité à l’origine à l’ordre 3 de la fonction f définie par :
: 1 1
f x 6 + − x
Analyse
On utilise ici deux fois le développement limité en 0 de
(
1+x)
α avec 1α =2. Le premier (celui de x6 1−x) est immédiat tandis que le second requiert de factoriser au préalable pour retrouver la forme générale
(
1+X)
α.Résolution
On note que l’on a d’abord facilement : f
( )
0 = 1+ 1 0− = 2.On a ensuite :
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2
2 3 3
2 3 3
1 1
1 1 1 1 1
1 1 2
1 2 2 2 2 2
1 o
2 2! 3!
1 1 1
1 o
2 8 16
x x
x x x x
x x x x
− = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
×⎜⎝ − ⎟⎠ ×⎜⎝ − ×⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎟⎠
= − + − + − +
= − − − +
Puis :
( ) ( )
( )
2 3 3
1
2 3 3 2
1
2 3 3 2
1 1 1
1 1 1 1 o
2 8 16
1 1 1
2 o
2 8 16
1 1 1
2 1 o
4 16 32
x x x x x
x x x x
x x x x
+ − = + − − − +
⎛ ⎞
=⎜⎝ − − − + ⎟⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − − − + ⎟⎠
PanaMaths Avril 2012
En ne retenant alors que les termes de degré inférieur ou égal à 3, on obtient :
( )
( )
( )
1
2 3 3 2
2
2 3 2
3
3
2 3 2 3 3 3
1 1 1
1 1 2 1 o
4 16 32
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2
2 4 16 32 8 4 4 16
1 1
16 4 o
1 1 1 1 1 1
2 1 o
8 32 64 128 256 1024
1 5
2 1 8 1
x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x
x
⎛ ⎞
+ − = ⎜⎝ − − − + ⎟⎠
⎡ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
= ⎢⎢⎣ + ⎜⎝− − − ⎟⎠− ⎜⎜⎝⎜⎝− ⎟⎠ + × −⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝× − ⎟⎠⎟⎟⎠
⎛ ⎞ ⎤ + ⎜⎝− ⎟⎠ ⎥⎦⎥+
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − − − − − − ⎟⎠+
= − − 2 21 3 o
( )
328x 1024x x
⎛ − ⎞+
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Résultat final
Le développement limité à l’origine à l’ordre 3 de :
1
:x 1 x
f 6 + −
s’écrit :
( )
2 1 18 1285 2 102421 3 o( )
3f x = ⎛⎜⎝ − x− x − x ⎞⎟⎠+ x
