Déterminer le développement limité en 1 à l’ordre 3 de la fonction f définie par :

(1)

PanaMaths Avril 2013 Déterminer le développement limité en 1 à l’ordre 3 de la fonction f définie par :

1

: e

2^x

f x x

Analyse

On va classiquement se ramener à un développement limité à l’origine en posant x 1 h. On peut cependant remarquer que x ¹₂

x est, au signe près, la dérivée de

1

x ex.

Résolution

On a :

   

1

2 2

1 '

x

e x

f x e g x

x x

 

      

  où ^{g x}

 

^^e¹^x^.

On pose donc : x 1 h et on va déterminer le développement limité à l’origine à l’ordre 4 de la fonction

1 1 h

h e^ .

On développe d’abord ¹ h 1

h à l’ordre 4 : ¹



¹



¹ ¹ ² ³ ⁴ ^o

 

⁴

1 h h h h h h

h

        

 .

On a alors :

   

   

     

         

1

2 3 4 4

1

1 2 3 4 4

2 3 4 2 3 4 2

3 4

2 3 4 2 3 4 4

2 3 4 2 4 3 4 3 4 4 4

2

exp 1 o

exp o

1 1 ...

2

1 1

... o

6 24

1 1 1

1 2 2 3 o

2 6 24

3 13

1 2 6

e h h h h h h

e h h h h h

e h h h h h h h h

h h h h h h h h h

e h h h h h h h h h h h h

e h h h

      

      

            

           

 

                

     ³ ⁷³ ⁴ ^o

 

⁴

24h h

   

 

 

(2)

PanaMaths Avril 2013

On a donc : ^{g x}

 

^^e¹^x ^{    }^e ^¹



^x ¹



³₂



^x^¹



²^¹³₆



^x^¹



³^⁷³₂₄



^x^¹



⁴^^o

 

^x^¹



⁴



^. En dérivant, on obtient alors :

 

¹² ¹

 

¹³

 

² ⁷³

 

³

  

³



' 1 3 1 1 1 o 1

2 6

g x ex e x x x x

x

 

              

Finalement :

 

^'

 

^{1 3}



¹



¹³₂



¹



² ⁷³₆



¹



³ ^o

 

¹



³



f x  g x   e  x  x  x  x 

Résultat final

Le développement limité en 1 à l’ordre 3 de :

1

: 2

ex

f x x

s’écrit :

 

^{1 3}



¹



¹³₂



¹



² ⁷³₆



¹



³ ^o

 

¹



³



f x   e  x  x  x  x 