DÉRIVATION( faire Ex 1 – 2 ) feuille n°1I ) NOMBRE DÉRIVÉ1) Nombre dérivé Définition :Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a. f est dérivable en a

(1)

DÉRIVATION

( faire Ex 1 – 2 ) feuille n°1 I ) NOMBRE DÉRIVÉ

1) Nombre dérivé Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a.

f est dérivable en a ⇔ lim

h→0

f(a+h)– f(a)

h existe et est un réel L.

⇔ ^lim

xa

fx– fa

x – a existe et est un réel L.

Ce réel L s’appelle nombre dérivé en a est se note f ’(a).

Remarque : En posant x = a + h si h 0 alors x a   Exemples : pour f(x) = x² et a = 3 on a ^f^a^h^{– f}^a^

h = (3+h)²−9

h = …... = 6 + h donc lim

h0

fah– fa

h = 6 est un réel donc f dérivable en 3 et f ' (3 ) = 6.

2) Interprétation graphique du nombre dérivé Soit C_f la courbe représentative de f et A le point de C_f d’abscisse a et M le point de C_f d'abscisse a + h.

Pour h ≠0 f(a+h)– f(a)

h est le coefficient de la droite (AM).

Or si h 0 M A donc plus la droite (AM) se rapproche de la  tangente à C_f en A donc:

Propriété :

Si f dérivable en a, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à C_f en A ( a ; f(a) ).

Propriété :

Si f dérivable en a alors l’équation de la tangente à C_f au point d’abscisse A ( a ; f(a) ) est : y = f ‘(a) ( x - a ) + f (a)

Remarque : La fonction x f ‘(a) ( x - a ) + f (a) s’appelle l’approximation affine de f(x) au voisinage de a.

La fonction h f ‘(a) h + f (a) s’appelle l’approximation affine de f( a + h) au voisinage de 0.

IV ) FONCTION DÉRIVÉE

1) Définitions Soit f une fonction définie sur I.

Définition 1 :

Définition 2 :

Soit f dérivable sur I. On appelle fonction dérivée de f sur I, la fonction qui à tout x associe son nombre dérivé.

notation : f ' : I  ℝ ou f 'x=df dx (x) x f^'(x)

On dit que f est dérivable sur I si elle l’est en tout a de I.

(2)

Exemple 1: f : x x² a et h≠0 ∀ ∈ℝ Th=ah²– a²

h =2 ah donc lim

h0Th = 2a est un réel pour tout a donc f est dérivable sur et x on a f ‘(x) = 2x.ℝ ∀ ∈ℝ

Exemple 2: g : x x³

2) Dérivées des fonctions de référence

f(x) ensemble de définition ensemble de dérivabilité f ‘(x)

k (constante réelle) ℝ ℝ 0

a x + b a et b réels ℝ ℝ a

xⁿ n ∈ℕ* ℝ ℝ n x^n-1

xⁿ n ∈ℤ^-^∗ ℝ^+∗ ou ℝ^-∗ ℝ^+∗ ou ℝ^-∗ n x^n-1

1

x ℝ^+∗ouℝ^-∗ ℝ^+∗ou ℝ^-∗ – 1

x²



^x ℝ⁺ ℝ^+∗ 1

2



x 3) Dérivées d’une somme, d’un produit et d’un quotient.

Propriété :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur I, alors u + v et u.v sont dérivables sur I et x I ( u + v ) ‘(x) = u ‘(x) + v ‘(x) et (u.v) ‘(x) = u ‘(x) . v (x)+ u (x) . v ‘(x)

∀ ∈

Démonstration :uvah–uva

h =uah×vah– uah×vauah×va– ua×va h

= uah×vah– va

h va×uah– ua h

Propriété :

Si f est dérivable sur I et k un réel alors kf est dérivable sur I et (kf) ‘ = k f ’

Propriété :

Soient u et v deux fonctions dérivables sur I telles que pour tout x de I v(x) ≠0 alors 1 v et u

v sont dérivables sur I et



¹v



^'^{= –} ^{v '}^v² ^et



^uv



^'⁼^{u '×}^{v – u×}_v² ^{v '}

Démonstration

1

vah– 1 va

h =va– vah

h × 1

vah×va et



^uv



^'⁼



^u^×¹v



^' ...

Propriété :

- Tout polynôme est dérivable sur .ℝ

- Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

(3)

V ) DÉRIVÉE ET VARIATION

Th admis :

Soit f dérivable sur I.

Si f ’ > 0 sur I ou nulle en un nombre fini de valeurs alors f est strictement croissante sur I.

Si f ’ < 0 sur I ou nulle en un nombre fini de valeurs alors f est strictement décroissante sur I Si f ‘ = 0 sur I alors f est constante sur I.

Th :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J= ] a ; b [.

Si f ‘ s’annule en un réel c de J en changeant de signe alors f admet un extremum local en c.

( faire Ex 1- 2 - 3 – 4) feuille exercices

VI ) COMPLÉMENTS SUR LES DÉRIVÉES.

Propriété :

Soit I et J deux intervalles et m et p deux réels.

Si f est dérivable sur I et pour tout x de J, mx+p I alors la fonction g définie ∈ par g(x) = f(mx+p) est dérivable sur J et pour tout x J , g'(x) = m f ' (mx+p)∈ Exemples :

1) x ∈ [-10;-5] gx=



– 3 x6

si -10 x  -5 alors 21 -3x+6 30 donc -3x+6   ∈ℝ^+∗ et



est dérivable sur ℝ^+∗ donc g est dérivable sur [-10;-5] et pour tout x de [-10;-5] , g 'x=– 3

2



– 3 x6

2) g(x)= 4 x – 1⁵ I=J=ℝ et fx=x⁵ donc g 'x=4×5×4 x – 1⁴ Démonstration : Soit a ∈ J et

T(h)=g(a+h)– g(a)

h = f(m(a+h)+p)– f(ma+p)

h = f(ma+mh+p)– f(ma+p) h

donc en posant A = m a + p et H = m h on a S(h) = f(A+H)– f(A)

h = mf(A+H)– f(A) H

or quand h  0 alors H 0 donc T(h)   m×f '(A) = m×f '(ma+p) Propriété :

- Si u dérivable sur I alors n ∀ ∈ ℕ^* uⁿ est dérivable sur I et (uⁿ)’ = n u ‘ u^n-1 - Si u dérivable sur I et u > 0 sur I alors

√

u est dérivable sur I et (

√

u)'= u '

2

√

^u

Exemples : jx=



^x²^1

x x² + 1 est dérivable sur et pour tout x de , xℝ ℝ ² + 1 > 0 x



x est dérivable sur ℝ^+∗

donc j est dérivable sur et pour tout x de j ‘(x) = ℝ ℝ 2 x× 1 2



^x²^1

(4)

Démonstrations :

- Pour uⁿ on utilise la récurrence - pour

√

u

Soit a I ∈ T(h)=

√

^u^(a+^h)−

√

^u^(a)

h = u(a+h)−u(a) h

1

√

^u^(a+^h)+

√

^u^(a⁾

Donc lim_h_→0 T(h) = u '(a)× 1 2

√

^u⁽^a)

On peut généraliser : 1° exemple :

Soit u définie sur [-2;2] par u(x)=x²+1 et f définie sur ^{[0 ;+∞[} par f(x)=

√

x

Comme si x ∈ [-2;2] alors u(x) ∈ [0 ;+∞[ alors on appelle fonction composée de u suivie de f la fonction g définie sur [-2;2] par g(x) = f(u(x)) notée fou(x) =

√

^x²⁺¹^.

2° exemple : u définie sur [-10;3] par u(x)=3 x+4 et f définie sur ℝ par f(x)=x³+2 x+1 alors comme si x ∈[-10;3] on a u(x) ∈ donc pour tout x ℝ ∈[-10;3] fou(x)=(3 x+4)³+2(3 x+4)+1

Propriété :

Si f est dérivable sur I et u dérivable sur I avec u(I) ⊂ J

alors la fonction g définie sur J par g(x) = f(u(x)) = fou(x) est dérivable sur J et pour tout x ∈ J on a g '(x)=u '(x)×f '(u(x))

( faire Ex 5 )

(5)

EXERCICE 1 :

La courbe C ci-contre représente, dans un repère orthogonal, la fonction f dérivable sur .ℝ On a représenté les tangentes à C aux points d'abscisses – 4 ; - 2 ; 0 et 4.

A l'aide du graphique compléter le tableau :

x -4 -2 0 4

f(x) f '(x)

EXERCICE 2 :

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x²−3 x+4 . On note C sa courbe représentative.

1) Pour h ≠ 0, calculer f(3+h)−f(3)

h .

2) En déduire f '(3) et une équation de la tangente à C au point d'abscisse 3.

3) En déduire une valeur approchée, sans utiliser la calculatrice, de f(3,005) et f (2,9997).

EXERCICE 1 :

La courbe C ci-contre représente, dans un repère orthogonal, la fonction f dérivable sur .ℝ On a représenté les tangentes à C aux points d'abscisses – 4 ; - 2 ; 0 et 4.

A l'aide du graphique compléter le tableau :

x -4 -2 0 4

f(x) f '(x)

EXERCICE 2 :

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x²−3 x+4 . On note C sa courbe représentative.

1) Pour h ≠ 0, calculer f(3+h)−f(3)

h .

2) En déduire f '(3) et une équation de la tangente à C au point d'abscisse 3.

3) En déduire une valeur approchée, sans utiliser la calculatrice, de f(3,005) et f (2,9997).

(6)

EXERCICES

Ex 1 :

Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction x _x² au point d’abscisse 3.

Ex 2 : Etudier les variations des fonctions suivantes définies par :

f(x) = x³ - 6 x² + 9 x + 3 x ∈ ℝ g(x) = 2 x – 1

– x6 x ≠6 h(x) = x

2x – 2

– x2 x ≠ 2 i(x) = x



^x ^{x > 0}

Ex 3 :

Soit la fonction f définie sur ℝ par fx= x

x²1 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Déterminer les variations de f.

2) Déterminer une équation de la tangente (T) à C au point d'abscisse 0.

3) Déterminer la position de C par rapport à T.

Ex 4 :

Soit la fonction f définie sur ℝ par fx=x²5 x1 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Déterminer les points de C où la tangente est parallèle à la droite D d'équation y = 3 x + 4.

2) Déterminer les points de C où la tangente est orthogonale à la droite D' d'équation y = 1

5 x + 4.

Ex 5 : Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies par :

f(x) = (−5 x+8)

√

x et x > 0 g(x) =



– 2 x8 et x ∈ ] –∞ ; 4 [

h(x) = (−2 x²+3 x+4)⁷ i(x) =

√

3 x²+x+5

j(x) = ( -3x + 2)⁴(2x + 7)³ h(x) = (2 x+3)

√

^{5 x}+10 et x > -2 j(x) =



^{– 2 x3}x – 2



⁴ et x ≠ 2 k(x) = 2 x5³

– 3 x6² et x ≠ 2

l(x) =



^x1^{x – 2} et x > 2 m(x) = 1

x²1⁴ Ex 6 :

Pour réaliser une boîte en carton on dispose d'une plaque carrée de côté 30 cm. On enlève à chaque coin un carré et on relève les les bords selon les pointillés pour obtenir une boîte sans couvercle.

Déterminer la boîte de volume maximal que l'on peut construire.