Chapitre 5 : Dérivation.
I Généralités.
A Un peu d’histoire.
Le célèbre mathématicien grec Archimède de Syracuse (-287 ; -212) le premier semble s’intéresser à la notion de tangente. Il énonce des propriétés concernant notamment les tangentes à la spirale qui porte son nom.
Des siècles plus tard, le mathématicien italien Torricelli (1608-1646) et le français Roberval (1602-1675) pro- longent la méthode d’Archimède et apportent les premières pierres à un édifice majeur des mathématiques, le calcul infinitésimal.
La notion de dérivée a vu le jour au XV IIième siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».
C’est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié duXV IIièmesiècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait « touchantes » ; le marquis de l’Hospital participera aussi à la fin duXV IIième siècle à étoffer cette nouvelle théorie, notamment en utilisant la dérivée pour calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières.
C’est au XV IIIième siècle que ’Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d’accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours.
Cependant, à l’époque de d’Alembert, c’est la notion de limite qui pose problème : n’est pas encore construit formellement. C’est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu duXIXième siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé. C’est à Lagrange (fin du XV IIIième siècle) que l’on doit la notation f1pxq, aujourd’hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé def en x.
B Attendus
• Connaître la définition du nombre dérivé comme limite du taux d’accroissement.
• Déterminer le nombre dérivé comme limite du taux d’accroissement.1-2 page 115
• Déterminer l’équation et savoir tracer la tangente en connaissant le nombre dérivé. 3 page 117
• Savoir retrouver la majeure partie des dérivées des fonctions usuelles en utilisant la limite du taux d’ac- croissement.1-2 page 147
• Savoir déterminer par lecture, le coefficient directeur de la tangente en un point à une courbe et ainsi le nombre dérivé.1 page 117
• Déterminer la fonction dérivée d’une fonction à partir des tableaux sur les "dérivées des fonctions usuelles" et "opérations sur les foncions".2 page 147
• Déterminer l’équation d’une tangente en un point.
• Savoir étudier les variations d’une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée.1 page 149
• Déterminer les extrema d’une fonction à partir du signe de la fonction dérivée. 1 page 149
• Savoir dresser un tableau de variations.1 page 149
• Savoir analyser ses erreurs à partir de la lecture d’un tableau de variation.
• Savoir relier le graphique au tableau pour vérifier ces résultats.
• Déterminer le nombre de solutions d’une équation à partir de la lecture d’un tableau de variation.
• Déterminer les extrema locaux à partir du tableau de variations.
• Résoudre des inégalités à l’aide d’une étude de fonction.
II Nombre dérivé en a d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• Pour tout nombre réelaPI non nul et tel que pa`hq PI, on appelle taux d’accroissement de la fonction f en a, le nombre
τaphq “ fpa`hq ´fpaq h
• On dit que la fonction f est dérivable en a, lorsque le taux d’accroissement τaphq tend vers un nombre Llorsqueh tend vers 0.
• Ce nombreL, lorsqu’il existe, est appeléle nombre dérivé de f en a, et est notéf1paq : f1paq “ lim
hÑ0τaphq “ lim
hÑ0
fpa`hq ´fpaq
h “L
• Le nombre dérivé f1paq, lorsqu’il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.
Définition 1
Pour déterminer graphiquement le nombre dérivé de la fonction représentée ci-dessous :
Par lecture graphique, le coefficient directeur de la tangente en 1 est 4. Donc f1p1q “4.
Méthode-exemple 1
Plus tard dans ce chapitre nous verrons d’autres méthodes de détermination du nombre dérivé plus efficaces.
Pour déterminer par le calcul, le nombre dérivé en 1 de la fonction fpxq “2x2´1
On détermine le taux d’accroissement de f en 1 : τphq “ fp1`hq ´fp1q
h “ 2p1`hq2´1´ p2ˆ12´1q
h “ 2h2`4h
h “2h`4 Puis on détermine le nombre dérivé en déterminant la limite de taux d’accroissement :
f1p1q “ lim
hÑ0τphq “ lim
hÑ02h`4“4 Le nombre dérivée de f en 1 estf1p1q “4.
Méthode-exemple 2
Exercice 1. Dans chaque cas, montrer quef est dérivable au point aindiqué, et donnerf1paq.
• fpxq “ 1
x;a“1
• fpxq “ 1
1´x;a“2
• fpxq “x2´2x;a“2
• fpxq “x2´2x;aPR
• fpxq “x3´3x;a“2
• fpxq “x3´3x;aPR
Démontrer qu’une fonction est dérivable en un point.
Ou bien Vidéo 1
Ex 9-22 page 74
III Fonctions dérivées
A Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• On dit que f est dérivable surI si f admet un nombre dérivé en tout point de I, c’est-à-dire si pour tout aPI,f1paqexiste.
• notée f1 qui, à tout xde I associe le nombref1pxq.
Définition 2
B Dérivées des fonctions usuelles
Toute fonction affine définie par fpxq “mx`p est dérivable sur R. Sa fonction dérivée est définie surR parf1pxq “m.
Proposition 1
Démonstration 1. Pour toutaPRet h“0, τphq “ fpa`hq ´fpaq
h “ pmpa`hq `pq ´ pma`pq
h “ mh
h “m Ainsi, pour tout réela, lim
hÑ0τphq “f1paq “m.
La fonction dérivée de f est donc la fonction définie surRparf1pxq “m.
Exemple 1. Soit la fonction affine f définie surRpar fpxq “ ´3x`12, alors pour tout réel x,f1pxq “ ´3.
La fonction carré, définie par fpxq “x2, est dérivable sur R. Sa fonction dérivée est définie surR parf1pxq “2x.
Proposition 2
Démonstration 2. Pour toutaPRet h“0, τphq “ fpa`hq ´fpaq
h “ pa`hq2´a2
h “ 2ah`h2
h “2a`h Ainsi, pour tout réela, lim
hÑ0τphq “f1paq “2a.
La fonction dérivée de f est donc la fonction définie surRparf1pxq “2x.
Pour tout entier naturel non nuln, la fonction f définie surRpar fpxq “xnest dérivable sur R. Sa fonction dérivée est définie surR parf1pxq “nxn´1.
Proposition 3
Exemple 2. fpxq “x127 alors f1pxq “127x126 fpxq “x3 alorsf1pxq “3x2 fpxq “x2, alorsf1pxq “2x.
La fonction inverse f, définie sur R˚ parfpxq “ 1
x est dérivable sur R˚. Sa fonction dérivée est définie surR˚ parf1pxq “ ´1
x2. Proposition 4
Démonstration 3. Pour toutaPR˚ et h“0,
τphq “ fpa`hq ´fpaq
h “
1 a`h ´ 1
a
h “
a
apa`hq ´ a`h apa`hq
h “
´ h
apa`hq
h “ ´ 1
apa`hq Ainsi, pour tout réela, lim
hÑ0τphq “f1paq “ ´ 1 a2.
La fonction dérivée de f est donc la fonction définie surR˚ parf1pxq “ ´ 1 x2.
La fonction racine carrée, définie sur R` “ r0;`8rparfpxq “?
x, est dérivable surR˚`“s0;`8r.
Sa fonction dérivée est définie surR˚` par f1pxq “ 1 2?
x. Proposition 5
Démonstration 4. Pour toutaą0 et h tel quea`hą0, τphq “ fpa`hq ´fpaq
h “
?a`h´? a
h “
`?a`h´? a˘ `?
a`h`? a˘ h`?
a`h`? a˘
τphq “ pa`hq ´a h`?
a`h`?
a˘ “ h
h`?
a`h`?
a˘ “ 1
?a`h`? a Ainsi, pour tout réelaą0, lim
hÑ0τphq “f1paq “ 1 2?
a.
La fonction dérivée de f est donc la fonction définie surR˚` parf1pxq “ 1 2?
x. Ex 23 à 27 page 75
C Opérations sur les dérivées
Soit u une fonction dérivable sur I et k P R, alors la fonction f “ ku est dérivable sur I, avec, f1 “ku1.
Proposition 6
Démonstration 5. Pour toutaPI eth“0 tel que pa`hq PI, τphq “ fpa`hq ´fpaq
h “ kupa`hq ´kupaq
h “kupa`hq ´upaq h
Or, commeu est dérivable ena, on a lim
hÑ0
upa`hq ´upaq
h “u1paq, et donc lim
hÑ0τphq “f1paq “ku1paq. Exemple 3. Soit f définie surRpar fpxq “3x2.
Alors, f “3u, où u est la fonction carré, dérivable surRavec, pour tout xPR,u1pxq “2x.
Ainsi, f est dérivable sur R, avec,f1 “3u1, soit, pour toutxPR,f1pxq “3ˆ2x“6x.
Soit u etv deux fonctions dérivables surI, alors la sommeu`v est dérivable surI avec pu`vq1 “ u1`v1.
Proposition 7
Démonstration 6. Pour toutaPI eth“0 tel que pa`hq PI, Ainsi, lim
hÑ0τphq “u1paq `v1paq.
Exemple 4. Soit f définie surR˚ par fpxq “x2` 1 x. Alors f “u`v, où upxq “x2 etvpxq “ 1
x sont dérivable surR˚ avec u1pxq “2xet v1pxq “ ´ 1 x2. Ainsi, pour toutxPR˚,f1pxq “u1pxq `v1pxq “2x´ 1
x2.
Soit u et v deux fonctions dérivables sur I, alors la fonction produit uv est dérivable sur I, avec puvq1 “u1v`uv1.
Proposition 8
Démonstration 7. Pour tout a P I et h “ 0 tel que pa`hq P I, Or, comme u et v sont dérivables en a, lim
hÑ0
upa`hq ´upaq
h “u1paq, et lim
hÑ0
vpa`hq ´vpaq
h “v1paq, et on a donc lim
hÑ0τphq “u1aqvpaq `upaqv1paq.
Exemple 5. Soit f la fonction définie sur Rparfpxq “ p2x`1qp´x`3q. Calculer de deux manières différentes f1.
Pour tout entier naturel non nuln, la fonction f définie surRpar fpxq “xnest dérivable sur R. Sa fonction dérivée est définie surR parf1pxq “nxn´1.
Proposition 9
Démonstration 8. On cherche à démontrer que la propriété est vraie pourtous les entiers naturels n.
On sait déjà que cette propriété est vraie pour
‚ n“1 : fpxq “x1 “x a pour dérivée f1pxq “1“1x0 “1x1´1.
‚ n“2 : fpxq “x2 a pour dérivéef1pxq “2x“2x1 “2x2´1.
Pour n “ 3, on peut écrire fpxq “ x3 comme un produit fpxq “ x3 “ x ˆx2, et on a alors f1pxq “ 1ˆx2`xˆ p2xq “3x2 “3x3´1 et la formule est encore vraie.
De même, pour n“4,fpxq “x4“xˆx3, et donc, f1pxq “1ˆx3`xˆ p3x2q “4x3“4x4´1.
On cherche à généraliser et montrer que cette formule est vraie pour tous les entiers non nuls. Supposons que cette formule soit vraie pour un certain entier naturel non nul n, c’est-à-dire que la dérivée defpxq “xn soitf1pxq “nxn´1.
Alors pour l’entier suivant pn`1q, fpxq “ xn`1 “xˆxn a pour dérivée f1pxq “ 1ˆxn`xˆ pnxn´1q “ xn`nxn“ pn`1qxn“ pn`1qxpn`1q´1.
Ainsi, si la formule est vraie pour un certain entier n, elle est encore vraie pour l’entier suivantpn`1q.
Or, on a vu que cette formule est vraie pour l’entier n“1, elle est donc encore vraie pour l’entier suivant n“2, et donc aussi pour l’entier suivant n“3, puis aussi pourn“4,n“5,n“6, . . .
Finalement cette formule est vraie pour tous les entiers naturels à partir de 1.
Cette démonstration s’appelle une démonstration parrécurrence.
Soit une fonction u dérivable surI telle que upxq “0 pour tout xPI.
Alors la fonction 1
u est dérivable sur I avec ˆ1
u
˙1
“ ´u1 u2. Proposition 10
Démonstration 9. Pour toutaPI eth“0 tel que pa`hq PI,
τphq “ 1
upa`hq´ 1 upaq
h “
upaq ´upa`hq upa`hqupaq
h “ upaq ´upa`hq
h ˆ 1
upa`hqupaq Or, commeu est dérivable ena, lim
hÑ0
upa`hq ´upaq
h “u1paq, et donc, lim
hÑ0τphq “ ´u1paq ˆ 1 pupaqq2. Exemple 6. Calculer la dérivée de la fonction f définie surRz
"
´1 2
*
parfpxq “ 1 2x`1.
Soit uetv deux fonctions dérivables sur I, telles que pour tout xPI,vpxq “0.
Alors la fonction u
v est dérivable sur I, avec
´u v
¯1
“ u1v´uv1 v2 . Proposition 11
Démonstration 10. On peut écrire u
v “uˆ1
v, et on a donc, en utilisant la dérivée d’un produit, et la dérivée de l’inverse d’une fonction :
´u v
¯1
“ ˆ
uˆ 1 v
˙1
“u1ˆ1 v `uˆ
ˆ1 v
˙1
“ u1 v `uˆ
ˆ
´v1 v2
˙
“ u1v v2 ´uv1
v2 “ u1v´uv1 v2 Exemple 7. Calculer la dérivée def définie sur Rz t2uparfpxq “ 2x`3
x´2
D Tableau récapitulatif : Formules usuelles.
1. Dérivées des fonctions usuelles
Fonctionf Dérivéef1 f est dérivable sur
k(constante) 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (nPN) nxn´1 R 1
x ´1
x2 R˚
?x 1
2?
x R˚`“s0;`8r
.
2. Opérations sur les dérivées
u et v désignent deux fonctions quelconques, définies et dérivables sur un intervalle I.
Fonction Dérivée ku,kPR ku1
u`v u1`v1 uv u1v`uv1
u v
u1v´uv1 v2 u2 2u1u
1
u ´u1
u2 un (nPZ˚) nu1un´1
?u u1
2? u upvpxqq v1pxq ˆu1pvpxqq
Pour déterminer la fonction dérivée d’une fonction donnée :
• Veillez à n’appliquer aucune autre formule (sortie de votre imagination) autre que celles préci- sées ci-dessus ! ! !
• Il s’agit de trouver la décomposition de votre fonction permettant l’utilisation d’une des for- mules ci-dessous. Ce travail est proche de ce que l’on fait lors de décompositions en fonctions de référence.
• Pensez enfin que si la forme obtenue est factorisée, ne surtout pas la développer avant d’être sûr que ce soit nécessaire.
Méthode 3
Si l’on a la fonction polynôme :
fpxq “4x3´2x
Étape du calcul de la dérivé Formule utilisée . f1pxq “ p4x3´2xq1 pu`vq1 “u1`v1
f1pxq “ p4x3q1´ p2xq1 pkuq1“ku1 f1pxq “4px3q1´2pxq1 pxnq1“nxn´1 etx1 “1 f1pxq “4ˆ3x2´2ˆ1
f1pxq “12x2´2 Rédaction de ce type de calcul à terme :
f1pxq “4ˆ3x2´2ˆ1“12x2´2 Méthode-exemple 4
Exemple 1 ; Exemple 2 ; Exemple 3 ; Exemple 4 ; Exemple 5 et enfin Exemple 6 Vidéo 2
Exercice 2. Déterminer la fonction dérivéef1 de la fonctionf dans chacun des cas : a)fpxq “3 b) fpxq “3x c)fpxq “ 5
2x d) fpxq “x2 e)fpxq “x7 f) fpxq “2x3 g)fpxq “3x`2 h) fpxq “x` 1
x i) fpxq “ ´x2`x´7
2 j) fpxq “ 2x
x`1 k)fpxq “ ´x2´x`1
x`1 l)fpxq “ 4 x m) fpxq “ 1
x4 n) fpxq “2x5`?
x o)fpxq “ p3x`2qx2 p) fpxq “ p´2x`1qpx`1q 1 à 15 page 160
E Équation de la tangente
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, etaPI.
Alors, l’équation réduite de la tangente à la courbe représentativeCf de f au point d’abscisseαest : y“f1paqpx´aq `fpaq .
Proposition 12
Démonstration 11. Commef est dérivable enα, la tangente à Cf a une équation réduite de la forme : y “f1pαqx`p
De plus, cette tangente passe par le pointApα;fpαqqet donc :
fpαq “f1pαqα`p ðñ p“fpαq ´f1pαqα Ainsi la tangente a pour équation :
y “f1pαqx`fpαq ´f1pαqα“f1pαq px´αq `fpαq
Pour déterminer l’équation de la tangente en 1 de la représentation graphique de la fonction définie sur Rpar :
fpxq “2x2´1 On commence par déterminer la fonction dérivée :
f1pxq “4x2 Ensuite on détermine les valeurs :
fp1q “2ˆ12´1“1 et f1p1q “4ˆ1“4 Puis l’on applique la forme précédente :
T1 :y“f1p1qpx´1q `fp1q “4px´1q `1“4x´3 Méthode-exemple 5
Déterminer le coefficient directeur d’une tangente.
Équation d’une tangente 1 et Équation d’une tangente 2 Vidéo 3
Exercice 3. Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente àCf au point adonné : a) fpxq “3x2`5x´2 eta“ ´2
b) fpxq “ 1
2p´3`x`x2q eta“4.
c) fpxq “ p2x`1q2 eta“0.
Exercice 4. f est la fonction définie surRpar fpxq “ ´2x2`4x, etCf est sa courbe représentative.
1. Donner une équation de la tangenteT àCf au point A d’abscisse 3.
2. a) Etudier le signe defpxq ´ p´8x`18q.
b) En déduire la position relative deCf par rapport à T.
Exercice 5. 1. Soitf une fonction définie et dérivable surRetCf sa courbe représentative.
Montrer que la tangente à Cf au point A d’abscisse a passe par l’origine du repère si et seulement si fpaq “af1paq.
2. Soitf définie surRparfpxq “2x2´3x`1.
Quels sont les points deCf en lesquels la tangente passe par l’origine.
IV Applications de la dérivation
A Sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si pour toutxPI,f1pxq ą0, alorsf est strictement croissante surI.
• Si pour toutxPI,f1pxq ă0, alorsf est strictement décroissante surI.
• Si pour toutxPI,f1pxq “0, alorsf est constante surI.
Proposition 13
Ex 8 à 24 page 96-97
Une étude de fonction.
Vidéo 4
Exercice 6. Dresser le tableau de variation des fonctions de l’exercice 5 et des fonctions suivantes : q) fpxq “2x2`4x´3 r)fpxq “2x3`3x2´36x`4 s)fpxq “ ´2x`1
x`1 t) fpxq “ 3
x`3 ´ 2 x`2 Exercice 7. f est la fonction définie par l’expression fpxq “ 1
´2x2`4x´3. 1. On définit la fonctiong surR par l’expressiongpxq “ ´2x2`4x´3.
Etudier les variations deg.
2. En déduire les variations def puis le minimum def surR. 16 à 28 page 162
B Éxtrema d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• Un extremumest un minimum ou un maximum.
• f présente un maximum local m “fpx0q si il existe un intervalle J ĂI tel que pour tout xPJ,fpxq ďfpx0q.
• f présente un minimum local m “fpx0q si il existe un intervalle J Ă I tel que pour tout xPJ,fpxq ěfpx0q.
• L’extremum est ditglobal lorsqueJ “I. Définition 3
Sifpx0q est un extremum local sur l’intervallesa;br, alorsf1px0q “0.
La courbeCf représentative de la fonctionf admet une tangente horizontale au point px0 ; fpx0qq.
Proposition 14
Recherche d’un extrémum Vidéo 5
Exercice à partir du 29 page 162
Remarque 1. Ce théorème dit que : fpx0qextremum local ùñ f1px0q “0.
La réciproque : f1px0q “0 ùñfpx0q extremum local est FAUSSE.
Par exemple, soit fpxq “ x3. Alors f1pxq “ 3x2 et f1pxq “ 0 ðñ x “ 0. Ainsi, f1p0q “ 0. Néanmoins fp0q n’est ni un minimum ni un maximum local de f car pour x ă 0, fpxq “ x3 ă 0 “ fp0q et pour x ą0, fpxq “x3ą0“fp0q.
Exercice 8. f est la fonction définie surRpar fpxq “ x2`2x`3 4x2`1 .
2. Vérifier par le calcul s’il s’agit bien d’un maximum def.
Exercice 9. Soitf la fonction définie surr´10; 10sparfpxq “ ´x3`6x2´10.
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de f.
Exercice 10. Soit la fonctionf définie surR parfpxq “ax2`bx`c,a“0.
Déterminer les coordonnées de l’extremum de f. Est-ce un minimum ou un maximum ? Exercice 11. Soitf une fonction définie et dérivable sur l’intervaller´6; 4s.
On donne le tableau de variation de la fonction f1 : Préciser les éventuels extrema locaux de f.
Exercice 12. Soitf une fonction définie et dérivable sur l’intervaller´4; 4s. On donne le tableau de variation de la fonction f1 :
Préciser les éventuels extrema locaux de f.
Exercice 13. La consommation C d’un véhicule peut s’exprimer en fonction de la vitessev, pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, par l’expression
Cpvq “0,06v`150 v .
A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale ?
C Résolution d’équations
Exercice 14. Soitf une fonction définie et dérivable surr´2; 5set dont le tableau de variation est le suivant :
x ´2 1 4 5
4 10
f
Õ Œ Õ
1 -3
Déterminer le nombre de solutions, et l’intervalle où elles se situent, de l’équation a)fpxq “0 b) fpxq “2 c)fpxq “ ´5
Exercice 15. On considère la fonction définie sur Rparfpxq “x3`x`1.
Montrer que l’équationfpxq “0 admet une unique solution surr´3; 2s. Déterminer un encadrement plus précis de cette solution.
Exercice 16. On considère la fonction définie sur Rparfpxq “x3´3x´1.
Montrer que l’équation fpxq “ 0 admet exactement trois solutions, respectivement dans les intervalles s ´2;´1r,s ´1; 1rets1; 2r.
Donner un encadrement d’amplitude 10´2 de la plus grande de ces solutions.
V Exercices
Exercice 17. La trajectoire d’un mobile est portée par la courbeC d’équation y “ 1
t dans un repère ortho- normé.
On admet que lorsqu’il quitte sa trajectoire enM, le mobile poursuit son mouvement en ligne droite sur la tangente àC en M.
A quel endroit doit-il quitter sa trajectoire pour passer par le point Ap4; 0q? Exercice 18. f est la fonction définie surRpar fpxq “4x2´6x`2.
Montrer que la courbe Cf représentative def est toujours au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.
Exercice 19. On dit que deux paraboles sont tangentes entre elles lorsqu’elles ont un point communAet une tangente commune en A.
A tout nombre m“0, on associe la parabolePm d’équation y“mx2` p1´2mqx`m.
