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FONCTIONS
I. DEFINITIONS
D est une partie de l’ensemble des réels.
Définir une fonction sur D, c’est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul, appelé l’image de x.
D est appelé l’ensemble (ou domaine) de définition de la fonction : c’est l’ensemble des nombres pour lesquels la fonction existe.
Exercice n°1:
Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer si c’est celle d’une fonction et, dans ce cas, préciser son ensemble de définition.
a) b) c)
d) e) f)
Remarque :
Au niveau première, les seules fonctions qui ne sont pas définies sur sont les fonctions inverse et racine carrée :
f(X) = 1
X est définie pour X ≠ 0, soit sur ] – ; 0 [ ∪ ] 0 ; + [ g(X) = X est définie pour X positif, soit sur [ 0 ; + [
Exercice n°2 :
Dans chacun des cas suivants, donner l’ensemble de définition de f.
a) f(x) = 2x² + 1 b) f(x) = 12x + 3x c) f(x) = 1x – 1 d) f(x) = 2 x + 1 e) f(x) = 1
(x – 4)(x + 1) f) f(x) = x (x – 1)² g) f(x) = -2x² + 1 h) f(x) = xx² – 1
0 1 1
0 1 1 0 1
1
0 1 1
0 1
1 0 1
1
Notations :
• Une fonction est généralement désignée par l’une des lettres f, g, h …
• L’image d’un réel x de D par la fonction f est noté f(x), on lit: « f de x ».
• Au lieu d’écrire « f est la fonction qui à x associe f(x) », on peut écrire : f : x f(x) . Exemple :
f est la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; +∞ [ par f(x) = x – 2 x.
L’ensemble de définition de cette fonction est [ 0 ; +∞ [ et pour calculer l’image d’un nombre de cet ensemble, on procède ainsi :
• image de 0 : f(0) = 0 – 2 × 0 = 0
• image de 74 : f 7 4 = 7
4 – 2 × 7 4 = 7
4 – 2 × 72 = 7 4 – 7.
Exercice n°3 :
Déterminer, lorsque c’est possible, les images des nombres suivants par les fonction f (a, b, c) définies dans l’exercice précédent.
0 ; 1 ; 12 ; – 2 ; – 4
II. COURBE REPRESENTATIVE D’UNE FONCTION
I. Définition
f est une fonction définie sur D.
Dans un repère (O, i , j ), la courbe représentative C de la fonction f, est l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) telles que :
x∈D et y = f(x).
On dit que la courbe C a pour équation y = f(x) dans ce repère.
Remarque :
Dire qu’un point M de coordonnées (a ; b) appartient à C revient à dire a est dans D et f(a) = b Exemple :
La courbe représentative C d’une fonction f définie sur a pour équation : y = x² – 2x + 3.
M est le point de C d’abscisse –1. Quelle est son ordonnée ? Même question pour le point d’abscisse 2.
- 3/6 - Exercice n°4 :
Soit f, la fonction définie sur I = [-1 ; 2] par f(x) = x – x².
Tracer la courbe C sur l’intervalle I.
On souhaite tracer la courbe représentative Cf de f. Pour cela, on construit tout d’abord un tableau de valeurs :
x -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 x − x2 -2 - 0,75 0 0,25 0 - 0,75 -2 Puis l’on construit la courbe point par point :
-2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1
II. Lecture graphique Recherche d’image :
f est une fonction définie sur D,
C est la représentation graphique de f, a est un élément de D.
Si A est le point d’abscisse a, alors f(a) est l’ordonnée de A.
Exemple :
La courbe C ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [-2 ; 2].
Pour lire graphiquement l’image de -1,5 c’est à dire f(-1,5), on peut procéder ainsi :
• on repère -1,5 sur l’axe des abscisses et on trace, par ce point, la parallèle à l’axe des ordonnées ;
• cette droite rencontre C en A ;
• on cherche ensuite l’ordonnée de A en traçant par ce point la parallèle à l’axe des abscisses.
On obtient f(–1,5) = –1 Recherche d’antécédents :
f est une fonction définie sur D, C est la représentation graphique de f, b est un nombre réel On trace les droite d horizontale d’ordonnée b
1er cas : d ne rencontre pas C : cela signifie que b n’a pas d’antécédent par f dans D 2ème cas : d rencontre C en A(a ; b), alors f(a) = b et a est un antécédent de b par f.
Exemple :
Reprenons la fonction précédente. Pour lire graphiquement les antécédents de 1 par f :
• on repère 1 sur l’axe des ordonnées et on trace la droite d d’équation y = 1 ;
• elle rencontre C en E et F dont les abscisses sont respectivement -1 et 1 Donc : -1 et 1 sont les antécédents de 1. (on peut noter f(−1) = 1et f(1) = 1)
O -2
4 u v f(v)
f(u) Exercice n°5 :
Soit f la fonction représentée ci-contre.
1. Donner l’ensemble de définition.
2. a) Lire l’image de 3 par f b) Liref(1) ; f(-4) ; f(-2) et f(5).
c) Lire les antécédents de 7 par f.
d) Résoudre f(x) = 0.
III. CROISSANCE DECROISSANCE
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :
si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b).
Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :
si a ≤ b alors f(a) ≥ f(b).
Exemples :
Les courbes C1 et C2 représentent respectivement des fonctions
f et g définie sur [-2 ; 4].
• D’après l’allure de la courbe C1, pour tous réels u et v de [-2 ; 4], si u ≤ v alors f(u) ≤ f(v).
on dit que f est croissante sur [-2 ; 4]
graphiquement : « La courbe monte ».
• D’après l’allure de la courbe C2, pour tous réels u et v de [-2 ; 4], si u ≤ v alors g(u) ≥ g(v).
g est décroissante sur [-2 ; 4].
graphiquement : « la courbe descend ».
IV. EXTREMUM
f est une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine de définition et a un réel de I.
• Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) ≥ f(a).
• Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) ≤ f(a).
Exemple :
• Le minimum sur l’intervalle [-5 ; 6] de la fonction f représentée ci-contre est -2. Il est obtenu lorsque x = 32.
En effet, A est le point le plus « bas » de la courbe.
• Le maximum sur l’intervalle [-5 ; 6] est 4. Il est obtenu lorsque x = -3. En effet, B est le point le plus « haut » de la courbe.
Oj
-5 i 3 5
5
-5 O B
-3
4
3 2
6 3
- 5/6 - V. TABLEAU DE VARIATION
Soit la fonction f définie sur [-5 ; 3] par sa courbe :
O 1 1 -5
-4
-1 3
-1
3
Cette fonction est
- décroissante sur [ –5 ; –4 ] et sur [ –1 ; 3 ].
- croissante sur [ –4 ; –1 ] ;
On résume ainsi les informations dans un tableau de variations : x -5 -4 -1 3 f(x) 4 3
-1 -1
Exercice n°6 :
Dans chacun des cas, la fonction est donnée par sa courbe.
Dresser son tableau de variation.
a) b) c)
VI. FONCTIONS USUELLES
Courbe représentative Tableau de variations Variations
f (x) = x² Df =
O 1
1
x – 0 +
f(x) f est décroissante sur ] – ; 0 ]
et croissante sur [ 0 ; + [
f (x) = x3
Df = O
1 1
x – +
f(x) f est croissante sur
f (x) = 1x Df =
1
O 1
x – 0 +
f(x) f est décroissante sur ] – ; 0 [
et sur ] 0 ; + [
f (x) = x
Df = O
1 1
x 0 +
f(x) f est croissante sur [ 0 ; + [
