Travail maison de synthèse de l'année 1ES La courbe ci-dessous est celle d'une fonction

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Travail maison de synthèse de l'année 1ES

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur ]–2;∞[.

1.a. Donner le tableau de variations de la fonction f, en précisant le signe de la dérivée f 'x. 1.b. La droite  est asymptote à la courbe C_f. Donner son équation.

1.c. Lire f '0 et f '2.

Préciser les asymptotes à la courbe C_f_. 1.d. Donner le signe de la fonction f.

2. On considère la fonction g inverse de f ( c'est à dire que g=1 f ⁾ 2.a. préciser son ensemble de définition.

Déterminer les limites de g en –2, en ∞, puis aux valeurs annulant fx.

2.b. A l'aide des nombres dérivés de f en 0 et en 2, indiquer les nombres dérivés de g en 0 et en 2.

2.c. A l'aide des variations de la fonction f, étudier les variations de la fonction g.

Dresser le tableau complet des variations de g, en notant toutes les informations obtenues.

2.d. Donner l'allure de la courbe représentative de g.

3. On admet que la fonction f est de la forme fx=ax²bxc

x2 ^.

3.a. A l'aide des points A, B et C, déterminer les réels a, b et c, et donner l'écriture de fx. 3.b. En déduire l'écriture de gx.

3.c. Démontrer que g 'x= – xx4

x²– x –2²

Retrouver le sens de variation de la fonction g.