Chapitre 1
Dérivation
[. . .]
Nce qui suit risque de gravement perturber les élèves. Dans certains cas, ceux-ci ignorent totalement cette dénition et même sa signication. Parfois la seule dénition donnée au nombre dérivé de la fonctionf enaest le coecient directeur de la tangente à la courbe de f ena.
Calculer le nombre dérivé de la fonctionf enaest possible de deux manières. S'il existe, on le notef0(a)et on a :
h→0lim
f(a+h)−f(a)
h =f0(a) = lim
x→a
f(x)−f(a) x−a
→Exercice 20p169
→Exercice 23
A Tangente et nombre dérivé
Soitf une fonction ayant un nombre dérivé enx0. SoitM0 de coordonnées(x0;f(x0)). SoitM un point sur la courbe d'abscissex. On a donc M(x;f(x)).
Dessin qui montre que la sécanteM0M s'approche de la tangente(T)au fur et à mesure queM s'approche deM0
ou Dessin avec juste la tangente, et le point M(x;y)quelconque sur la tangente
Le coecient directeur de la sécanteM0M est f(x)−f(x0)
x−x0
Donc quand x→x0, le coecient directeur tend vers le nombre dérivé f0(x0), et la droite sécante s'approche de la tangente.(T)a donc pour coecient directeur de nombref0(x0). Cela nous permet de déterminer l'équation de la tangente(T).
Soit P(x;y) un point de la tangente (T). On a deux manières d'exprimer les coecient directeur de(T). Nous venons d'écrire que c'estf0(x0), mais c'est aussi y−f(xx−x00). Donc
y=f0(x0)(x−x0) +f(x0)
1
2 CHAPITRE 1. DÉRIVATION
Remarque Connaissant la courbe de la fonctionf, pour tracer la tangente à la courbe en a, il sut de connaître le nombre nombre dérivéf0(a)qui en est le coecient directeur.
→Exercice 27,29
Voir la fonction Nderiv sur calculatrice (TI) (exemple p153)
B Fonction dérivée
Quand la fonctionf admet un nombre dérivé sur un intervalleI, on peut dénir une fonction qui "dérive" def :
Dénition La fonctionf0 qui, à toutxde l'intervalleI, associef0(x), le nombre dérivé de f enx, est la fonction dérivée de f surI.
Remarque Grâce à la dénition en termes de coecient directeur de tangente, pour toute fonction constantef(x) =k(k un réel), le coecient directeur de la tangente étant nul en tout point, on obtientf0(x) = 0.
On le voit aussi simplement par le calcul du nombre dérivé : f(x)−f(x0)
x−x0
= k−k x−x0
= 0
Ainsi :
f(x) =k→f0(x) = 0 ou (moins correct) :(k)0= 0
Remarque Toujours en utilisant cette dénition en termes de doecient directeur de tan- gente, pour la fonctionf(x) =x, sa représentation graphique étant une droite de coecient directeur 1, la tangente en tout point x est cette même droite, donc le nombre dérivé en tout point est1. Par conséquent,
f(x) =x→f0(x) = 1 ou (moins correct) :(x)0= 1
Nil ne s'agit que de la dérivée dex, et pas dex2 ou de4x
Nous admettrons pour la suite que pour toutes fonctions u et v dérivables sur un même intervalleI, leur somme et leur produit sont dérivables surI et on a :
(u+v)0=u0+v0 soit pour toutx (u+v)0(x) =u0(x) +v0(x) (uv)0=u0v+uv0 soit pour toutx (uv)0(x) =u0(x)v(x) +u(x)v0(x) Exemple
Soitf(x) =x+ 3. On af =u+v avecu(x) =xetv(x) = 3. Alors f0(x) =u0(x) +v0(x) = 1 + 0 = 1 Soitf(x) = 2x. On af =uvavecu(x) = 2et v(x) =x. Alors
f0(x) = (u×v)0(x) =u0(x)×v(x) +u(x)×v0(x) = 0×x+ 2×1 = 2 Ces deux dérivées admises, nous pouvons en calculer d'autres :
B. FONCTION DÉRIVÉE 3
1. Pour 1u : Sur le domaine oùuest dérivable et non nulle :
0 = (1)0=
u×1 u
0
=u01 u+u
1 u
0
D'où 1
u 0
=−u0 u2
2. Pour un (n≥2 un entier naturel) : Sur le domaine oùuest dérivable : Pour n= 2,(u2)0= (uu)0=u0u+uu0= 2u0u
Pour n= 3,(u3)0= (uu2)0=u0u2+u(u2)0 =u0u2+u(2u0u) = 3u0u2 Pour n= 4,(u4)0= (uu3)0=u0u3+u(u3)0 =u0u3+u(3u0u2) = 4u0u3 . . .
En généralisant :
(un)0=nu0un−1
3. Pour uv : Sur le domaine oùuetv sont dérivables etv6= 0:
u v
0
=
u1 v
0
=u01 v +u
1 v
0
=u01 v −uv0
v2 D'où
u v
0
= u0v−uv0 v2 4. Pour √
u: Sur le domaine oùuest dérivable etu >0: u0=p
(u)20
= (√ u)0√
u+√ u(√
u)0= 2√ u(√
u)0
D'où
(√
u)0= u0 2√ u
5. Pour kuoùkest un réel : Sur le domaine oùuest dérivable : (ku)0=k0u+ku0= 0u+ku0 D'où
(ku)0=ku0
La formule pour(u+v)0 permet de dériver les fonctions polynomiales.
La formule pour uv0
permet de dériver les fonctions rationnelles.
→Exercices 37,39,44
