Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s’il existe un réel k tel que :

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2018-2019

1 CORRIGÉ du DM

Fonctions lipschitziennes

Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s’il existe un réel k tel que :

∀(x, y) ∈ I

²

, |f(x) − f(y)| 6 k|x − y|.

On dit aussi que f est k-lipschitzienne.

Ce propblème propose une découverte des fonctions lipschitziennes.

1 Interprétation graphique

Question préliminaire : ça ressemble à quoi la courbe d’une fonction lipschitzienne ? Soit f une fonction k-lipschitzienne sur I dont la courbe représentative dans un repère orthonormé direct est notée C. Soit A un point de C fixé d’abscisse a .

1. Soit x ∈ I ∩ [ a, +∞[. On a | x − a | = x − a . De plus

|f (x) − f (a)| 6 k(x − a) ⇐⇒ −k(x − a) 6 f (x) − f (a) 6 k(x − a).

Ainsi pour tout x ∈ I ∩ [a, +∞[, on a :

− k ( x − a ) + f ( a ) 6 f ( x ) 6 k ( x − a ) + f ( a )

Cela signifie que la courbe est comprise en-dessous de la demi-droite d’équation y = k ( x − a ) + f ( a ) et au-dessus de la demi-droite d’équation y = − k ( x − a ) + f ( a ) 2. La courbe de f est donc à l’intérieur du cône de sommet le point A et dont les

droites génératrices ont pour coefficient directeur k et − k .

2 Exemples et contre-exemples

3. On considère la fonction affine f : x 7→ ax + b.

Pour x, y ∈ R , on a f (y) − f(x) = ay + b − (ax + b) = a(y − x). Donc f est

|a|-lipschitzienne.

4. Démontrer que la fonction x 7→ x

²

est 10-LIP sur [1 , 5], mais qu’elle n’est pas 3-LIP sur [1, 5].

Soit y > x dans, on a

f(y)−f(x) y−x

= | y + x | = y + x . Ainsi si x, y ∈ [1 , 5], on a x + y 6 10, donc f est 10-LIP.

Mais avec y = 5 et x = 1, on a x + y = 6 > 3, donc f n’est pas 3-LIP.

5. Le problème vient de la branche parabolique à l’infini. Elle va sortir de tout cône

centré en l’origine ! Si f est k-lipschitzienne, alors pour y = 0 et x > 0 on a |f(x) −

f (0)| = x

²

6 k | x − 0| = kx donc x < k ce qui est faux dès que x dépasse k . La

fonction x 7→ x

²

n’est donc pas lipschitzienne sur R .

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2 6. Si f est une fonction 0-lipschitzienne, alors pour x et y, on a |f (x) − f(y)| 6 0 donc f ( x ) = f ( y ) et donc f est constante. Réciproquement une fonction constante est bien 0-lipschitzienne.

7. Cas des fonctions dérivables (a) Soit f dérivable sur I.

Si sa dérivée est bornée par k, alors d’après l’inégalité des accroissements finis (IAF), on obtient que f est k-lipschitzienne.

Réciproquement, supposons que f est k-lipschitzienne sur I. Soit a ∈ I. Pour x ∈ I et x 6= a, on a

f ( x ) − f ( a ) x − a

6 k.

Comme f est dérivable en a , on obtient en faisant tendre x vers a que | f

^′

( a )| 6 k et ceci pour tout a ∈ I. Ceci démontre que f

^′

est bornée sur I .

(b) La fonction ln est dérivable sur ]0, +∞, de dérivée la fonction inverse qui n’est pas bornée sur ]0, +∞[, mais qui l’est sur [1, +∞[. Donc ln n’est pas lipschit- zienne sur ]0 , +∞[, mais elle l’est sur [1 , +∞[.

(c) Les fonctions cos et sin par exemple, ont des dérivées bornées par 1 sur R , elles sont donc 1-lipschitziennes sur R .

(d) La fonction valeur absolue est 1-lipschitzienne sur R (évidence graphique) mais n’est pas dérivable en 0.

8. (a) Si f est de classe C

¹

sur [a, b], alors sa dérivée f

^′

est continue sur le segment [a, b] donc y est bornée d’après le théorème des bornes atteintes. On en déduit que f est lipschitzienne sur [ a, b ].

(b) La fonction inverse notée f est de classe C

¹

sur ]0, 1] mais n’y est pas lipschit- zienne (graphiquement l’obstruction vient de l’asymptote verticale). En effet pour x ∈]0, 1[, on a

f ( x ) − f (1) x − 1

=

1 x

− 1 x − 1

=

1 − x x(x − 1)

= 1 x .

En particulier cette quantité n’est pas bornée car elle tend vers +∞ quand x tend vers 0, ce qui empêche f d’être lipschitzienne.

9. «Lipschitzienne Vs continue»

(a) On suppose f k-lipschitzienne avec k > 0. Soit a ∈ I.

On a |f(x) − f (a)| 6 k |x − a|. On en déduit que si x tend vers a, f (x) tend vers f(a), donc f est continue en a.

(b) La fonction inverse est continue sur ]0, 1] mais n’est pas lipschizienne.

(c) La fonction partie entière n’est pas lipschizienne sur R puisque non continue.

3 Étude collective

On note Lip(I) l’ensemble des fonctions lipschiziennes sur I.

(3)

3 10. Soit f et g dans Lip(I) et λ un réel. On suppose que f est k-lipschitzienne et que g

est k

^′

-lipschitzienne.

Soit x et y dans I . On a

|λf(x) + g(x) − (λf (y) + g(y))| = |λ(f(x) − f (y)) + g(x) − g(y)|

6 | λ || f ( x ) − f ( y )| + | g ( x ) − g ( y )|

6 | λ | k | x − y | + k

^′

| x − y |

= (|λ|k + k

^′

)|x − y|

Ceci montre que la fonction λf +g est (|λ|k +k

^′

)-lipschitzienne donc λf +g ∈ Lip(I ).

Ainsi Lip(I) est bien un sous-espace vectoriel de C(I, R ).

11. (a) Soit f et g dans Lip(I). On suppose que f est k-lipschitzienne et que g est k

^′

-lipschitzienne. On suppose aussi que f est bornée par M et g par M

^′

. Soit x et y dans I. On a

|f(x)g(x) − f (y)g(y)| = |f(x)(g(x) − g(y)) + g(y)(f (x) − f (y))|

6 |f(x)||g(x) − g(y)| + |g(y)||f(x) − f(y)|

6 M k

^′

|x − y| + M

^′

k|x − y|

= (M k

^′

+ M

^′

k)|x − y|

La fonction f g est donc (M k

^′

+ M

^′

k)-lipschitzienne.

Remarque : cette astuce de majoration avait déjà été utilisée pour montrer que le produit de deux suites convergentes est encore une suite convergente.

(b) On prend pour f et g la même fonction, la fonction identité. Elle est 1- lipschitzienne sur R (car affine) mais la fonction f g est égale à la fonction carrée dont on a vu qu’elle n’était lipschitzienne sur R .

4 Bonus

12. Démontrer qu’une fonction lipschitzienne, peut s’écrire comme une différence de deux fonctions croissantes. En déduire à l’aide d’«Internet» qu’une fonction lip- schitzienne est dérivable presque-partout.

Une fonction k-lipschitzienne est même dérivable presque partout car elle est la diffé- rence de deux fonctions croissantes. En effet, la fonction φ : x 7→ kx + f ( x ) est croissante car pour x 6= x