T.ST GD La dérivée II Fonction dérivée.
Fonctions et Dérivées.
II La fonction dérivée
Soitf une fonction définie sur un intervalle I.
2.1 Définition
Définition 2.1 On dit que f est dérivablesur I si en tout point xde I, elle admet un nombre dérivé f0(x). Dans ce cas, la fonction, définie sur I, qui à tout point xde I associe f0x), le nombre dérivé de f en x, est appelé fonction dérivéedef. On notef0 cette fonction.
Remarque 2.1
• f0 :x7→f0(x) : cette fonction dérivée est très utilisée, que ce soit en météo (variations du temps), en imagerie médicale (variations suspectes dans un électroencéphalogramme, dans une échographie...), en astronomie, en économie (variation du cours de la bourse...), en physique (la vitesse est la dérivée de la position, l’accélération la dérivée de la vitesse), etc...
• Elle mesure lesvariationsdef : plusf croît vite, plus sa dérivée devient grande, et inversement...
Exemples :
• Fonction dérivée d’une fonction affinef :x7→ax+b.
• Calcul du nombre dérivé de g :x7→x2 pour différents points de[−3; 3], à l’aide de la calculatrice. Essayez de deviner à l’aide de ces valeurs quelle est la dérivéeg0 de la fonctiong.
2.2 Dérivées des fonctions de référence
f(x) = f0(x) = f dérivable sur :
k(constante) 0 IR
x 1 IR
x2 2x IR
x3 3x2 IR
1
x −x12 ]− ∞; 0[∪]0; +∞[
xn nxn−1 IRsin≥0; ]− ∞; 0[∪]0; +∞[sin <0
√x 2√1x ]0; +∞[
2.3 Opérations sur les fonctions dérivables
Ici,f est définie sur un intervalle I, etuet v sont des fonctions dérivables sur I. Dans tous les cas ci-dessousf est dérivable sur I et pour calculer sa dérivée on utilise la formule :
f(x) = f(0x) =
f est unesomme f(x) =u(x) +v(x) f0(x) =u0(x) +v0(x) de deux fonctionsuet v
f est unedifférence f(x) =u(x)−v(x) f0(x) =u0(x)−v0(x) de deux fonctionsuet v
f est unproduitd’un f(x) =ku(x) f0(x) =ku0(x) réelket d’une fonctionu
f est unproduit f(x) =u(x)×v(x) f0(x) =u0(x)v(x) +v0(x)u(x) de deux fonctionsuet v
f est l’inverse f(x) =v(x)1 f0(x) =−[v(x)]v0(x)2
d’une fonction v
f est unquotient f(x) = u(x)v(x) f0(x) =u0(x)v(x)−u(x)v0(x) [v(x)]2
de deux fonctionsuet v
