Dérivabilité en un point d'une fonction
Si f est dérivable en x0 alors lim
x →→→→ x0
f(x) −−−− f(x0) x −−−− x0
= lim
h →→→ 0→
f(x0 + h) −−−− f(x0)
h = f '(x0) exemple 1 calculer les limites
1) lim
x→0
cos x − 1
x ; 2) lim
x→0
sin x
x ; 3) lim
x→+∞ x sin 1
x ; 4) lim
x → 3
x + 6 − 3 x − 3
Indications :
-
pour 1) poser f(x) = cos x et calculer f '(x)
-écrire cos x − 1
x = f(x) − f(0)
x − 0 donc lim
x→0cos x − 1
x = lim
x→0f(x) − f(0)
x − 0 = f '(0)
-conclure
-
adapter pour les autres exemples
Si lim
x →→→ x→ 0
f(x) −−−− f(x0)
x −−−− x0 = lim
h →→→→ 0
f(x0 + h) −−−− f(x0)
h est finie alors f est dérivable en x0 exemple 2
Soit f la fonction définie par
f(0) = 0 f(x) = x²sin
1 x
a. f est-elle continue en 0 ? b. f est-elle dérivable en 0 ?
Indications
-
pour a) , montrer que lim
x→0f(x) = f(0)
-
pour b) , montrer que f(x) − f(0)
x − 0 admet une limite finie en 0
Si f est dérivable en x0 , la courbe de f admet en M0(x0,f(x0)) une tangente de coefficient directeur f '(x0) et d'équation y = f(x0) + f '(x0)(x −−−− x0) .
exemple 3
Soit f la fonction définie par f(x) = 3x3 − 4x² + 1 .Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2 .Déterminer l'approximation affine de f au voisinage de 2. En déduire une valeur approchée de f(2,01) et de f(1,99).
Indications
la formule en x
0= 2 donne y = f(2) + f '(2)(x − 2)
exemple 4
Soit f définie par f(x) = x² + 1
x − 1 . La courbe représentative de f a-t-elle des tangentes parallèles à la droite d'équation y = − x + 1 ? Si oui , en quels points ?
