TD3 : Fonctions à plusieurs variables.
MNO, L3, Dauphine, 2020-2021 D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr
Existence de minimiseurs
Exercice 1.
On dit qu’une fonction F : R d → R est coercive si
∀A ∈ R , ∃R > 0, ∀x ∈ R d , kxk > R = ⇒ F(x) > A.
Montrer que si F est coercive et continue, alors F atteint son minimum.
Exercice 2. (Condition de Palais-Smale)
Soit F : R d → R une fonction de classe C 1 et c ∈ R . On dit que F vérifie la condition de Palais-Smale en c s’il existe une suite (x n ) de R d telle que
n→∞ lim F (x n ) = c et lim
n→∞ ∇F (x n ) = 0, (PS)
et si, pour toute suite (x n ) vérifiant (PS), (x n ) admet une sous-suite convergente. On note S λ :=
x ∈ R d , F (x) ≤ λ . a/ Montrer que si F vérifie la condition de Palais-Smale en c, alors il existe un point critique x ∗ ∈ R d de F tel que F (x ∗ ) = c.
b/ Les fonctions suivantes vérifient-elles la condition de Palais-Smale en c = 0 ? F 1 (x) = x 2 , F 2 (x) = exp(x), F 3 (x) = sin 2 (x).
c/ On suppose que F est bornée inférieurement et on note m := inf F.
1. Montrer que si (x n ) est une suite telle que F(x n ) → m (suite minimisante), et que ∇F(x n ) 9 0, alors (x n ) ne converge pas.
2. Montrer que s’il existe λ > m tel que S λ est compacte, alors m est un minimum de F , et F vérifie la condition de Palais-Smale en m.
Exercice 3. (Fonctions convexes) On dit que F : R d → R est convexe si
∀x, y ∈ R d , ∀t ∈ (0, 1), F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y).
a/ Montrer que si F est coercive, continue et strictement convexe, alors F admet un unique minimiseur.
b/ Montrer que si F est convexe alors les ensembles S λ (F ) :=
x ∈ R d , F (x) ≤ λ sont convexes.
c/ On suppose F continue et strictement convexe. Soit B la boule unité fermée de R d . On considère le problème de maximisation suivant :
max {F(x), x ∈ B} .
Montrer que l’ensemble des maximiseurs est non vide, et que si x ∗ est un maximiseur de F, alors kx ∗ k = 1.
Autour du gradient et des courbes de niveaux
Exercice 4.
a/ Calculer le gradient des fonctions suivantes (on suppose que A ∈ M d ( R ) et b ∈ R d ) F 1 (x) := 1
2 x T Ax − b T x, F 2 (x) := Tr(xx T ), F 3 (x) := (1 + x 1 )(1 + x 2 ) · · · (1 + x d ).
b/ Soit g : R → R une fonction de classe C 1 , et soit F : R 2 → R définie par F(x) := g(kxk). Calculer le gradient de F et représenter les courbes de niveau et le gradient de F .
Exercice 5.
On considère un pendule de masse m accroché à un fil (rigide) de longueur L.
a/ Soit θ l’angle par rapport à la verticale. Montrer (brièvement) que l’énergie du pendule est E(θ, θ) := ˙ 1
2 m(L θ) ˙ 2 − mgL cos(θ).
b/ Tracer les courbes de niveau de la fonction E(x, v) := v 2 − cos(x).
c/ Sans action extérieure, un pendule garde une énergie constante. Comment interpréter les courbes de niveaux ? Exercice 6.
Soit a > 0, F : x 7→ ax 2 et τ ∈ R . On pose x 0 = 1 puis x n+1 = x n − τ F 0 (x n ).
a/ Comment se comporte la suite (x n ) pour les différentes valeurs de τ ?
b/ On pose maintenant x n+1 = x n − τ 1 ε [F (x n + ε) − F (x n )] (différence finie). Que se passe-t-il maintenant ? Indice : On pourra chercher c ∈ R tel que la suite y n := x n + c soit facile à calculer.
c/ Que se passe-t-il avec des différences finies centrées ? Exercice 7.
Soit F : x 7→ x 2 − 1 2 x 4 , soit τ > 0 et soit (x n ) la suite définie par x 0 ∈ R et x n+1 = x n − τ F 0 (x n ).
a/ Montrer que x ∗ := 0 est un minimum local de F .
b/ Montrer que si x 0 > 1, alors pour tout τ > 0, la suite (x n ) est croissante et diverge vers +∞.
c/ Dans la suite, on suppose |x 0 | < 1. Montrer que pour tout 0 < τ < 1, la suite (|x n |) est décroissante, et converge vers x ∗ .
d/ Montrer que dans ce cas, la vitesse de convergence est linéaire à taux au moins α pour tout |1 − 2τ | < α < 1.
e/ Dans le cas τ = 1 2 , montrer que (x n ) converge vers x ∗ à l’ordre 3.
f/ Dans le cas τ = 1. Montrer que la suite (|x n |) est décroissante, converge vers 0, et qu’on a 1
x 2 n+1 − 1
x 2 n = 4 1 − x 2 n (1 − 2x 2 n ) 2 . En déduire que la suite
1 x
2n+1− x 1
2n