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On dit qu’une fonction F : R d → R est coercive si

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Academic year: 2022

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(1)

TD3 : Fonctions à plusieurs variables.

MNO, L3, Dauphine, 2020-2021 D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr

Existence de minimiseurs

Exercice 1.

On dit qu’une fonction F : R d → R est coercive si

∀A ∈ R , ∃R > 0, ∀x ∈ R d , kxk > R = ⇒ F(x) > A.

Montrer que si F est coercive et continue, alors F atteint son minimum.

Exercice 2. (Condition de Palais-Smale)

Soit F : R d → R une fonction de classe C 1 et c ∈ R . On dit que F vérifie la condition de Palais-Smale en c s’il existe une suite (x n ) de R d telle que

n→∞ lim F (x n ) = c et lim

n→∞ ∇F (x n ) = 0, (PS)

et si, pour toute suite (x n ) vérifiant (PS), (x n ) admet une sous-suite convergente. On note S λ :=

x ∈ R d , F (x) ≤ λ . a/ Montrer que si F vérifie la condition de Palais-Smale en c, alors il existe un point critique x ∈ R d de F tel que F (x ) = c.

b/ Les fonctions suivantes vérifient-elles la condition de Palais-Smale en c = 0 ? F 1 (x) = x 2 , F 2 (x) = exp(x), F 3 (x) = sin 2 (x).

c/ On suppose que F est bornée inférieurement et on note m := inf F.

1. Montrer que si (x n ) est une suite telle que F(x n ) → m (suite minimisante), et que ∇F(x n ) 9 0, alors (x n ) ne converge pas.

2. Montrer que s’il existe λ > m tel que S λ est compacte, alors m est un minimum de F , et F vérifie la condition de Palais-Smale en m.

Exercice 3. (Fonctions convexes) On dit que F : R d → R est convexe si

∀x, y ∈ R d , ∀t ∈ (0, 1), F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y).

a/ Montrer que si F est coercive, continue et strictement convexe, alors F admet un unique minimiseur.

b/ Montrer que si F est convexe alors les ensembles S λ (F ) :=

x ∈ R d , F (x) ≤ λ sont convexes.

c/ On suppose F continue et strictement convexe. Soit B la boule unité fermée de R d . On considère le problème de maximisation suivant :

max {F(x), x ∈ B} .

Montrer que l’ensemble des maximiseurs est non vide, et que si x est un maximiseur de F, alors kx k = 1.

Autour du gradient et des courbes de niveaux

Exercice 4.

a/ Calculer le gradient des fonctions suivantes (on suppose que A ∈ M d ( R ) et b ∈ R d ) F 1 (x) := 1

2 x T Ax − b T x, F 2 (x) := Tr(xx T ), F 3 (x) := (1 + x 1 )(1 + x 2 ) · · · (1 + x d ).

b/ Soit g : R → R une fonction de classe C 1 , et soit F : R 2 → R définie par F(x) := g(kxk). Calculer le gradient de F et représenter les courbes de niveau et le gradient de F .

Exercice 5.

On considère un pendule de masse m accroché à un fil (rigide) de longueur L.

a/ Soit θ l’angle par rapport à la verticale. Montrer (brièvement) que l’énergie du pendule est E(θ, θ) := ˙ 1

2 m(L θ) ˙ 2 − mgL cos(θ).

(2)

b/ Tracer les courbes de niveau de la fonction E(x, v) := v 2 − cos(x).

c/ Sans action extérieure, un pendule garde une énergie constante. Comment interpréter les courbes de niveaux ? Exercice 6.

Soit a > 0, F : x 7→ ax 2 et τ ∈ R . On pose x 0 = 1 puis x n+1 = x n − τ F 0 (x n ).

a/ Comment se comporte la suite (x n ) pour les différentes valeurs de τ ?

b/ On pose maintenant x n+1 = x n − τ 1 ε [F (x n + ε) − F (x n )] (différence finie). Que se passe-t-il maintenant ? Indice : On pourra chercher c ∈ R tel que la suite y n := x n + c soit facile à calculer.

c/ Que se passe-t-il avec des différences finies centrées ? Exercice 7.

Soit F : x 7→ x 21 2 x 4 , soit τ > 0 et soit (x n ) la suite définie par x 0 ∈ R et x n+1 = x n − τ F 0 (x n ).

a/ Montrer que x := 0 est un minimum local de F .

b/ Montrer que si x 0 > 1, alors pour tout τ > 0, la suite (x n ) est croissante et diverge vers +∞.

c/ Dans la suite, on suppose |x 0 | < 1. Montrer que pour tout 0 < τ < 1, la suite (|x n |) est décroissante, et converge vers x .

d/ Montrer que dans ce cas, la vitesse de convergence est linéaire à taux au moins α pour tout |1 − 2τ | < α < 1.

e/ Dans le cas τ = 1 2 , montrer que (x n ) converge vers x à l’ordre 3.

f/ Dans le cas τ = 1. Montrer que la suite (|x n |) est décroissante, converge vers 0, et qu’on a 1

x 2 n+1 − 1

x 2 n = 4 1 − x 2 n (1 − 2x 2 n ) 2 . En déduire que la suite

1 x

2n+1

x 1

2

n

converge vers 4, puis que la suite √

n|x n | converge vers 1 2 (on pourra utiliser le théorème de Césàro). Combien d’itérations faut-il faire pour avoir une précision de 10 −6 ?

Exercice 8. (Produit scalaire de Frobenius)

On définit sur M d ( R ) le produit scalaire de Frobenius hA, Bi F := Tr A T B . a/ Montrer que c’est effectivement un produit scalaire.

b/ Montrer que si A ∈ S d ( R ) est une matrice symétrique réelle, avec valeurs propres λ 1 (A), λ 2 (A), · · · , λ d (A) alors

kAk 2 F =

d

X

i,j=1

|a ij | 2 =

d

X

i=1

|λ i (A)| 2 .

b/ Calculer le gradient des fonctions suivantes, de M d → R , pour le produit scalaire de Frobenius (on suppose x, b ∈ R d et P ∈ R [X] sont fixés) :

F 1 (A) := Tr (A T A), F 2 (A) := 1

2 x T Ax − b T x, F 3 (A) := Tr (P (A)), F 4 (A) := det(A) (pour A inversible) Indice : Pour F 3 , on pourra montrer que Tr ([A + tH] k ) = Tr (A k ) + tTr (kA k−1 H) + o(t).

Méthodes d’accélération

Exercice 9. (Accélération d’Aitken, Partiel 2019)

Soit Φ : R → R de classe C 2 telle que Φ(0) = 0, et 0 < Φ 0 (0) < 1. Soit α tel que Φ 0 (0) < α < 1.

a/ Montrer qu’il existe ε > 0 tel que, pour tout x ∈ (−ε, ε), on a |Φ 0 (x)| < α.

b/ Montrer que la suite définie par x n+1 = Φ(x n ) avec x 0 ∈ (−ε, ε) converge linéairement vers 0, à taux au plus α.

c/ Montrer que 0 est l’unique point fixe de Φ dans (−ε, ε).

On pose maintenant

Ψ(x) := x − [Φ(x) − x] 2 x − 2Φ(x) + Φ(Φ(x)) . d/ Dans le cas où Φ(x) = αx, que vaut Ψ(x) ?

e/ Dans le cas général, en utilisant le développement limité de Φ, calculer celui de Ψ à l’ordre 1. En déduire que Ψ(0) = 0 et Ψ 0 (0) = 0.

f/ On suppose Ψ de classe C 2 , et Ψ 00 (0) 6= 0. Montrer que la suite définie par x n+1 = Ψ(x n ) avec x 0 suffisamment proche de 0 converge quadratiquement vers 0.

Exercice 10.

On pose x n := n+1 n n

et y n :=

n n−1

n .

a/ Montrer que les suites (x n ) et (y n ) convergent. Quelle sont les limites, et les vitesse de convergence ?

b/ On pose w n = 1 2 (x n + y n ). Montrer que (w n ) converge. Quelle est la vitesse de convergence ?

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