Exercice 1 - Soit Id : R −→ R la fonction telle Id (t) = t, ∀t ∈ R. Soit D

INTERACTIONS MATHÉMATIQUES—PHYSIQUE

1

Exercice 1 - Soit Id : R −→ R la fonction telle Id (t) = t, ∀t ∈ R. Soit D

t0

: C

¹

(R) −→ R une application linéaire, qui satisfait

(1) ∀f, g ∈ C

¹

(I), D

t0

(f g) = (D

t0

f )g(t

0

) + g(t

0

)D

t0

g et telle que D

t0

( Id ) = 1.

(1) Montrer que D

t0

(1) = 1, où 1 désigne la fonction constante égale à 1 (indi- cation : 1

²

= 1...) ;

(2) Montrer que, pour tout polynôme P (t) = P

N

n=0

a

n

t

ⁿ

, on a D

t0

P =

N

X

n=1

na

n

t

ⁿ⁻¹₀

(3) Montrer que, si f ∈ C

¹

(R) est telle que f (t

0

) 6= 0, D

t0

1 f

= − D

t0

f (f (t

0

))

²

. Exercice 2 - Soit γ : R −→ R

²

l’application définie par :

— γ(t) = (0, t

²

) si t ∈] − ∞, 0[ ;

— γ(0) = (0, 0) ;

— γ(t) = (t

²

, 0) si t ∈]0, +∞[ ;

Montrer que γ est de classe C

¹

sur R. Dessiner le graphe des fonctions composantes γ

1

et γ

2

. Enfin déterminer et dessiner l’image γ(R) = {γ(t); t ∈ R} de γ.

Exercice 3 - Soit g > 0 une constante positive (l’accélération gravitationnelle à la surface de la terre) et m > 0 une autre constante (la masse d’un corps). Soit F =



 0 0

−mg



 ∈ R

³

un vecteur constant. Soit γ ∈ C

²

(R, R

³

) une application décrivant le mouvement d’un corps de masse m On suppose que ce corps est soumis à la force constante égale à F .

(1) écrire l’équation différentielle vérifiée par les composantes de γ, à partir de la deuxième loi de Newton ;

(2) déterminer γ(t) en fonction de la position initiale γ(0) = x

0

et de la vitesse initiale γ(0) = ˙ v

0

.

Exercice 4 - Soit m, M, G des constantes positives. On considère le mouvement dans l’espace de dimension 3 d’un point matériel dont la position à l’instant t ∈ R (dans un référentiel inertiel) est donnée par une application γ = (γ

¹

, γ

²

, γ

³

) ∈ C

²

(R, R

³

\ {0}). On suppose que γ est solution de

(2) m¨ γ = − GM mγ

kγk

³

On rappelle que kγk

²

= hγ, γi = (γ

¹

)

²

+ (γ

²

)

²

+ (γ

³

)

²

.

(1) montrer que

_dt^d

kγk

²

= 2hγ, γi ˙ et

_dt^d

k γk ˙

²

= 2h γ, ˙ γi ¨ ;

1

(2) montrer que

d dt

k γk ˙

²

− GM kγk

= 0

et en déduire l’existence d’une quantité, associée à γ, qui est conservée au cours du temps.

Exercice 5 - Soit A et B deux corps matériels qui évoluent dans l’espace et soit m

A

la masse de A et m

B

la masse de B. On suppose que la seule force subie par A est celle exercée par B sur A et que, réciproquement, la seule force subie par B est celle exercée par A sur B. Montrer que, si on admet les loi de Newton, alors

(3) d

dt (m

A

γ ˙

A

+ m

B

γ ˙

B

) = 0.

Exercice 6 - Suite de l’exercice précédent : on suppose en plus que ( m

A

γ ¨

A

= −Gm

A

m

B (γA−γB)

kγA−γBk³

m

B

γ ¨

B

= −Gm

A

m

B (γB−γA) kγB−γAk³

On pose

c := m

A

γ

A

+ m

B

γ

B

m

A

+ m

B

, m := m

A

m

B

m

A

+ m

B

et x := γ

B

− γ

A

Montrer que le système précédent est équivalent à (m

A

+ m

B

)¨ c = 0

m¨ x = −G(m

A

+ m

B

)m

_kxk^x3

Exercice 7 - Soit γ ∈ C

²

(I, R

ⁿ

). On suppose que ∀t ∈ I, γ(t) ˙ 6= 0 et on pose τ := ˙ γ/k γk. Montrer que, pour tout ˙ t ∈ I, on peut décomposer de façon unique (4) γ(t) = ¨ ¨ γ

T

(t) + ¨ γ

N

(t),

où ¨ γ

T

(t) est collinaire à τ(t) et ¨ γ

N

(t) est perpendiculaire à τ(t). Expliciter ces deux vecteurs en fonction de γ(t) ¨ et τ(t).

Exercice 8 - Soit γ ∈ C

¹

(I, R

ⁿ

) une application telle que ∀t ∈ I, γ(t) ˙ 6= 0 et t

0

∈ I. Soit

σ(t) = Z

t

t0

k γ(t ˙

^′

)kdt

^′

.

Démontrer que σ est une bijection de I vers son image σ(I). On note J := σ(I).

Montrer que la bijection réciproque σ

⁻¹

: J −→ I est de classe C

¹

.

Exercice 9 - Soit u ∈ C

²

(J, R

ⁿ

) une paramétrisation normale et t :=

^du_ds

. Dériver les deux membres de l’identité

du ds (s)

2

= 1, ∀s ∈ J, et en déduire que

^d_ds^t

(s) est perpendiculaire à t(s).

Exercice 10 - En utilisant le résultat de l’exercice précédent dans le cas où n = 2 et en notant (n

¹

, n

²

) = (−t

²

, t

¹

), montrer que, si u ∈ C

²

(J, R

²

) une immersion normale, alors

(5) d

²

u

ds

²

(s) = k(s)n(s), ∀s ∈ J.

Exercice 11 - Dessiner les courbes image des applications γ ∈ C

²

(I, R

²

) suivantes.

— I = [−1, 1] et γ(t) = (a+t cos α, b+t sin α), où a, b, α ∈ R sont des constantes ;

— I = [0, 2π] et γ(t) = (a + R cos t, b + R sin t), où a, b ∈ R et R ∈]0, +∞[ sont des constantes.

2

Exercice 12 - Soit γ ∈ C

²

(I, R

ⁿ

). Montrer la relation

¨

γ = k(σ) ˙ σ

²

n(σ) + ¨ σt(σ)

pour une application γ ∈ C

²

(I, R

³

) décrivant un mouvement dans l’espace.

Exercice 13 - En utilisant la formule

(6) κ =

q

k¨ γk

²

k γk ˙

²

− h¨ γ, γi ˙

²

k γk ˙

³

.

déterminer la courbure des courbes images des applications γ ∈ C

²

(R, R

²

) sui- vantes.

(1) γ(t) = (a + t cos α, b + t sin α), où a, b, α ∈ R sont des constantes ;

(2) γ(t) = (a+R cos t, b+R sin t), où a, b ∈ R et R ∈]0, +∞[ sont des constantes.

(3) γ(t) = (t,

¹₂

t

²

).

(4) γ(t) = (a cos t, b sin t), où a, b > 0.

(Vérifier que le résultat est bien homogène à l’inverse d’une longueur).

Exercice 14 - (Force de Laplace) Le champ magnétique est décrit par une appli- cation B ∈ C

¹

(R

³

, R

³

), s’il est statique, ou plus généralement par une application B ∈ C

¹

(R × R

³

, R

³

), s’il dépend du temps. Une particule chargée de charge q dont le mouvement est décrit par une application γ ∈ C

²

(R, R

³

) et qui interagit uniquement avec un champ magnétique est soumise à la force de Laplace :

F = q γ ˙ ∧ B,

où ∧ est le produit vectoriel dans R

³

. On suppose dans la suite que B est constant et est de la forme B(x) = (0, 0, b), où b ∈ R est une constante.

(1) Calculer

^d2hB,γi_dt2

;

(2) en déduire que, si hB, γ i(0) = 0 et

^d2hB,γi_dt2

(0) = 0, alors hB, γi(t) est nul

∀t ∈ R ;

(3) on suppose que hB, γ i(0) = 0 et

^d2hB,γi_dt2

(0) = 0. Montrer que γ reste dans un plan que l’on déterminera et calculer la trajectoire γ ;

(4) montrer que, d’une manière générale, l’énergie cinétique E(t) =

¹₂

mk γk ˙

²

est une quantité conservée.

Exercice 15 - Pour x ∈ R

³

, on note r := kxk = p

(x

¹

)

²

+ (x

²

)

²

+ (x

³

)

²

. On considère les fonctions F

1

, F

2

, F

3

∈ C

^∞

(R

³

\ {0}) définies par

F

i

(x) = − x

ⁱ

r

Montrer que, pour toute paire d’indices i, j telle que 1 ≤ i, j ≤ 3,

(7) ∂F

j

∂x

ⁱ

(x) = ∂F

i

∂x

^j

(x)

Exercice 16 - Montrer que les fonctions suivantes admettent des dérivées partielles en tout point et les calculer.

(1) f

0

: R

²

−→ R, avec f (x

¹

, x

²

) =

_1+(x¹₎¹²_+(x²₎²

;

(2) f

1

: R

²

−→ R, avec f

1

(x

¹

, x

²

) = 2x

¹

cos x

²

;

(3) f

2

: R

²

−→ R, avec f

1

(x

¹

, x

²

) = −(x

¹

)

²

sin x

²

;

(4) qu’observe-t-on à propos de

_∂x^∂f21

et

_∂x^∂f12

?

Exercice 17 - Soit f ∈ C

¹

(R

²

, R) une fonction telle que

_∂x^∂f1

=

_∂x^∂f2

= 0 partout.

Montrer que f est constante.

Exercice 18 - Soit V ∈ C

¹

(R

³

, R) et H ∈ C

¹

(R

⁶

, R) définie par H(q, p) :=

1

2m

kpk

²

+ V (q), ∀(q, p) ∈ R

³

× R

³

= R

⁶

(où kpk

²

:= (p

1

)

²

+ (p

2

)

²

+ (p

3

)

²

). Pour chacune des fonctions F ∈ C

^∞

(R

⁶

, R) suivantes, calculer {H, F } et interpréter l’équation

^d(F_dt^◦γ)

= {H, F } (γ) :

(1) F = q

1

(première coordonnée de (q, p)) ; (2) F = p

1

(quatrième coordonnée de (q, p)) ;

(3) F = q

2

p

3

− q

3

p

2

(première coordonnée du produit vectoriel q × p, égal au moment cinétique angulaire par rapport à l’orgine) ;

(4) dans le dernier cas, que se passe-t-il quand V (q) = v(r), où v ∈ C

¹

([0, +∞[, R) et r := kqk ?

Exercice 19 - Calculer les crochets de Poisson suivants : (1) {f (q), g(q)}, pour f, g ∈ C

¹

(R

³

, R) ;

(2) {f (p), g(p)}, pour f, g ∈ C

¹

(R

³

, R) ;

(3) {p

i

, q

j

} (des fonctions p

i

et q

j

), pour 1 ≤ i, j ≤ 3 ; (4) {p

i

, f (q)}, pour 1 ≤ i ≤ 3 et f ∈ C

¹

(R

³

, R) ; (5) {q

j

, g(p)}, pour 1 ≤ j ≤ 3 et g ∈ C

¹

(R

³

, R).

Exercice 20 - On rappelle que, si X ∈ C

¹

(R

³

, R

³

), le rotationnel rotX ∈ C

⁰

(R

³

, R

³

) et la divergence divX ∈ C

⁰

(R

³

, R) sont définis respectivement par :

rotX = ∇ ∧ X =





∂

1

∂

2

∂

3



 ∧



 X

1

X

2

X

3



 =





∂

2

X

3

− ∂

3

X

2

∂

3

X

1

− ∂

1

X

3

∂

1

X

2

− ∂

2

X

1





(en notant ∂

j

=

_∂x^∂

j

pour alléger les notations) et divX = h∇, Xi = ∂X

1

∂x

1

+ ∂X

2

∂x

2

+ ∂X

3

∂x

3

(1) montrer que, si X ∈ C

²

(R

³

, R

³

), alors div(rotX) = 0 ;

Une version du lemme de Poincaré dit que, réciproquement, si X ∈ C

¹

(R

³

, R

³

) est tel que divX = 0, alors ∃A ∈ C

¹

(R

³

, R

³

) tel que X = rotA. Nous allons montrer ce résultat dans le cas particulier où

X(x

1

, x

2

, x

3

) =





X

1

(x

1

, x

2

) X

2

(x

1

, x

2

)

0





(2) Soit Y ∈ C

¹

(R

²

, R

²

) défini par Y = Y

1

Y

2

, avec Y

1

= −X

2

et Y

2

= X

1

. Montrer en utilisant la version du lemme de Poincaré dans le cours qu’il existe V ∈ C

²

(R

²

, R) tel que Y = gradV , i.e. Y

1

=

_∂x^∂V₁

et Y

2

=

_∂x^∂V₂

; (3) en déduire qu’il existe A ∈ C

²

(R

³

, R

³

) tel que rotA = X (on pourra expli-

citer les composantes de A en fonction de V ).

Exercice 21 - Soient E, B ∈ C

¹

(R × R

³

, R

³

) tels que (8)

rotE +

^∂B_∂t

= 0

divB = 0

(une moitié des équations de Maxwell).

4

(1) En utilisant (8) et le lemme de Poincaré énoncé dans l’exercice précédent, montrer que, pour tout t ∈ R, il existe A(t) ∈ C

¹

(R

³

, R

³

) tel

¹

que, ∀x ∈ R

³

, B (t, x) = (rotA(t))(x).

Dans la suite on admettra que

R × R

³

−→ R

³

(t, x) 7−→ A(t)(x)

est C

¹

en les quatre variables (t, x

1

, x

2

, x

3

) et on notera A(t, x) = A(t)(x). On supposera que A ∈ C

²

(R

⁴

, R

³

).

(2) On pose X := E +

^∂A_∂t

. Montrer que rotX = 0 et en déduire que, pour tout t ∈ R, il existe V (t) ∈ C

¹

(R

³

, R) tel

²

que,

∀x ∈ R

³

, E(t, x) = −(gradV (t))(x) − ∂A

∂t (t, x).

En conclusion, en définissant V : R × R

³

−→ R par V (t, x) = (V (t))(x), ∀(t, x) ∈ R × R

³

, on a :

B = rotA et E = −gradV − ∂A

∂t .

Exercice 22 - (Calcul des variations) On considère deux fonctions α

1

, α

2

∈ C

¹

(R

²

, R) telles que

∂α

2

∂x

1

(x) − ∂α

1

∂x

2

(x) = 1, ∀x ∈ R

²

et on définit sur E := {y ∈ C

²

([0, π], R

²

)| y(0) = (−1, 0), y(π) = (1, 0)} l’action A (y) :=

Z

π 0

( ˙ y

1

)

²

+ ( ˙ y

2

)

²

2 + α

1

(y) ˙ y

1

+ α

2

(y) ˙ y

2

dt

(1) Calculer l’équation d’Euler–Lagrange de cette action, c’est à dire l’équation différente différentielle satisfaite par les y ∈ E qui sont points critiques de l’action A .

(2) En posant z(t) = y

1

(t) + iy

2

(t), déterminer les solutions de cette équation.

Exercice 23 - (Calcul des variations) On fixe deux points M

0

= (a

0

, b

0

) et M

1

= (a

1

, b

1

) dans R

²

. On définit sur E := {y ∈ C

²

([0, 1], R

²

)| y(0) = M

0

, y(1) = M

1

} l’action

A (y) :=

Z

1 0

p ( ˙ y

1

)

²

+ ( ˙ y

2

)

²

dt

(1) Calculer l’équation d’Euler–Lagrange de cette action.

(2) Déterminer la forme des solutions de cette équation.

Exercice 24 - (Transformée de Legendre) On considère deux fonctions α

1

, α

2

∈ C

¹

(R

²

, R) et on considère à nouveau l’action sur E := {y ∈ C

²

([0, π], R

²

)| y(0) = (−1, 0), y(π) = (1, 0)}, définie par :

A (y) :=

Z

π 0

( ˙ y

1

)

²

+ ( ˙ y

2

)

²

2 + α

1

(y) ˙ y

1

+ α

2

(y) ˙ y

2

dt

Déterminer la transformée de Legendre pour le lagrangien associé à cette action et calculer l’hamiltonien.

1. il y avait une erreur dans la première version de cet exercice dans laquelle il était demandé de montrer queA(t)∈C¹(R×R³,R³), ce qui est vrai, mais est hors de portée de ce cours.

2. même remarque

Exercice 25 - (Transformée de Legendre) On considère à nouveau l’action sur E := {y ∈ C

²

([0, 1], R

²

)| y(0) = M

0

, y(1) = M

1

}, définie par :

A (y) :=

Z

1 0

p ( ˙ y

1

)

²

+ ( ˙ y

2

)

²

dt

(1) montrer que

_∂v^∂L₁

(x, v) et

_∂v^∂L₂

(x, v) satisfont une relation du type f

∂L

∂v

1

(x, v), ∂L

∂v

2

(x, v)

= 1,

pour une fonction f ∈ C

^∞

(R

²

, R) que l’on déterminera.

(2) en déduire que l’hypothèse de Legendre n’est pas satisfaite pour ce lagran- gien.

6