3.1 Si F est une fonction dé…nie sur R

(1)

Variables à densité.

1 Prérequis :

Théorème : intégrale fonction de la borne supérieure Soit F (x) =Rx

1f(t)dt:

SiRa

1f(t)dtconverge alorsF est continue sur] 1; ; a]etF est dérivable là oùf est continue avecF⁰(x) = f(x):

Convergence : Comment prouver la convergence ? cas des fonctions positives.

Calcul : Pour primitiver, il faut d’abord savoir dériver.

Fonction continue par morceaux : Comment calcule-t-on l’intégrale ?

2 De la densité à la probabiltié.

Dé…nition de la densité : f est une densité de probabilité si

- f est dé…nie et continue et positive ou nulle, sauf en un nombre …ni de points de R, - et si R+1

1.f(t)dt converge et vaut 1

Exercice 1 : Montrer que f dé…nie par f(x) = 0 six <1

1

x² six >1 est une densité.

Exercice 2 : Déterminer 2Rpour quefdé…nie parf(x) = ^p^x si 0< x <1

0 sinon soit une densité.

Dé…nition d’une variable à densité : Soitf une densité. X est une variable aléatoire de densité f si la fonction de répartition F de X est donnée par : pour toutx réel F (x) = P (X x) = Rx

1f(t)dt

Théorème : calcul de probabilités Si X a pour densité f et pour fonction de répartition F alors

- pour tout x2R: P (X=x) = 0

- pour tout x2R: P (X x) = P (X < x) = F(x) = Rx

1f(t)dt - pour tout x2R: P (X > x) = P (X x) = 1 F (x) =R+1

x f(t)dt -sia b alorsP (a X b) = F(b) F (a) =Rb

af(t)dtetP (a X b) = 0 sia > b(idem pour des inégalités strictes ou mixtes)

Méthode : Comment calculer ces intégrales quand f est données par di¤érentes formules suivant l’intervalle ?

Exercice 3 : SoitXayant pour densité celle de l’exercice1, déterminerP (1 X 2); P ( 1 X 2); la fonction de répartition de X:

Exercice 4 : dans les mêmes conditions, calculer, suivant la valeur dex;P (x X x+ 1);P (x X x²)

(2)

3 De la probabilité à la densité.

3.1 Si F est une fonction dé…nie sur R

Théorème : F est la fonction de répartition d’une variable à densité()

- F est continue sur R et de classe C¹ sauf en un nombre …ni de points (là où la densité est continue),

- F est croissante sur R(comment le prouver ?) - lim ₁F = 0 et lim₊₁F = 1

Une densité est alorsf =F⁰ là oùF estC¹:

Exercice 5 : Soit F (x) =e^t si t 0 etF (t) = 1 si t 0:

Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable à densité et en déterminer une densité.

Soit X une telle variable. DéterminerP ( 1 X <2):

Remarque : SiX est une variable aléatoire discrète, sa fonction de répartition est alors en escalier.

X peut-elle alors être à densité ?

3.2 Si F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire

Théorème : si F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X , alors

X est à densité() F est continue sur R et de classe C¹ sauf en un nombre …ni de points (là où la densité est continue).

Une densité deX est alors f =F⁰ là où F est de classe C¹: Méthode : Comment montrer qu’une fonction est continue ?

N.B. Que peut-on dire de la fonction de répartition deX si X est à densité ? Exercice 6 type : Soit f dé…nie par f(t) =e ^t si t 0 et0 sinon.

Montrer que f est une densité de probabilité.

SoitX de densitéf: Montrer queP (X 0) = 1et en déduire queY =p

X est dé…nie presque sûrement.

Déterminer la fonction de répartition Gde Y en fonction de celleF deX:

En déduire que Y est une variable à densité et en déterminer une densité.

Méthode : Quand une V.A.Y est dé…nie à partir d’une autre Y =f(X);

- On détermine la fonction de répartitionG deY en fonction de celle F deX (comment ?) - La fonction de répartition de X véri…e les critères de fonction de répartition de variable à densité.(qui sont ?)

- On en déduit que les 2 critères des variable à densité (qui sont ?) sont véri…és.

- On en déduit alors que Y est à densité et qu’une densité est G⁰ là oùG est de classe C¹: N.B. On reste formel aussi longtemps que possible. On n’a généralement pas besoin de calculer la

fonction de répartition deX.

N.B. Quand on calcule P (a X b);il faut d’abord véri…er l’ordre des bornes.

(3)

4 Espérance

4.1 Dé…nitions

Dé…nition : Pour une variable X de densité f,X a une espérance si R+1

1.tf(t)dt converge.

On a alors E(X) =R+1

1.tf(t)dt

(la convergence simple équivaut ici à l’absolue convergence)

Exercice 7 : Soit > 1 et f dé…nie par f(x) = _x ¹ si x 1 et 0 sinon. Montrer que f est une densité.

Soit X de densité f: Pour quelle valeurs de ; X a-t-elle une espérance ? Théorème : moment d’ordre 2 X² a une espérance si et seulement siR+1

1.t²f(t)dt converge.

On a alors E(X²) =R+1

1.t²f(t)dt (appelé moment d’ordre 2) Exercice 8 : Soit f dé…nie par f(t) = ¹₂e ^2t si t 0et f(t) = 0 sinon.

Montrer que f est une densité. Soit X de densité f:

Montrer que X etX² ont une espérance et calculer les.

En déduire la variance de X:

Théorème : Variance X a une variance si et seulement si X etX² ont une espérance.

On a alors V (X) =E [X E(X)]² =E(X²) E(X)²

4.2 Opérations

Théorème de transfert : Pour une variableX de densitéf, etg une fonction continue sauf en un nombre …nis de points.

Y = g(X): a une espérance si R+1

1.g(t)f(t)dt est absolument convergente. On a alors E(g(X)) =R+1

1.g(t)f(t)dt

Linéarité : SiX a une espérance et a et b réels alors alors E(aX+b) = aE(x) +b SiX a une variance alors V (aX+b) =a²V (X)

Exercice 8 : Pour le démontrer dans le cas où a <0et que la densité de X:est continue sur R: comment déterminer la densitég de Y ?

Par un changement de variable, montrer R+1

1 t g(t)dt converge et vautaE(x) +b

Linéarité : SiXetY à densité ont une espérance alorsE(X+Y) = E(X)+E(Y)(indémontrable) Linéarité : SiX et Y à densité ont une variance et sont indépendantes alors

V (X+Y) =V (X) +V (Y)

Centrée réduite : X est centrée si E(X) = 0; elle est réduite si V (X) = 1:

Soit X ayant une espérance et une variance non nulle alors X = X E(X)

pV (X) est centrée-réduite.

(4)

5 Lois usuelles

5.1 Loi uniforme

Modèle : toutes les valeurs de l’intervalle réel [a; b] sont équiprobables.

Traduction : la densité est constantef(t) = k sur tout l’intervalle etf(t) = 0 nulle en dehors.

Comment déterminerk ?

Dé…nition : Pour a < b:X suit une loi uniforme sur [a; b] notée U^[a;b] si sa densité est f(t) =

1

b a si t2[a; b]

0 sinon.

Simulation : randomize; (une seule fois au début)... x:=random(b-a)+a;

Théorème : Si X ,! U^[a;b] alors X a une espérance et E(X) = a+b 2 : (Hors programme : V (X) = ^{(b a)}₁₂ ² )

Exercice 9 : Soit X_n de loi uniforme sur X( ) = _nⁱ = i2[[0; n 1]]

Déterminer la loi de X et sa fonction de répartition F_n sur X( ): Soit x2[0;1[:

En notant [] la partie entière, encadrer nx entre deux entiers successifs et en déduire un en- cadrement de xentre deux éléments de X_n( )

En déduire la valeur de F_n(x)puis sa limite quand n tend vers +1: On dit queX_n converge en loi vers une loi uniforme sur[0;1]

5.2 Loi exponentielle

Durée de vie : Soit X la durée de vie d’un appareil.

Comment traduire avecX

- il tombe en panne à l’instantt ? - il est en panne à l’instantt:

- il fonctionne à l’instant t ?

Modèle : On dit que la durée de vie est sans mémoire si le fait d’avoir déjà fonctionné un certain temps n’in‡ue pas sur le temps de (bon) fonctionnement ultérieur

Formalisation : X est sans mémoire si pour tout t eth 0:: P_X>t(X > t+h) = P (X > h) Dé…nition : Soit > 0: X suit une loi exponentielle de paramètre notée "( ) si sa densité est

f(t) = e ^t sit 0 0 si t <0

A remarquer : SiX ,!"( ) alors pour toutx 0 : P (X > x) = exp ( x)et P (X x) = 1 e ^x (comment calculer cette probabilité ?)

Théorème : SiX ,!"( )alorsX a une espérance et une variance etE(X) = 1= etV (X) = 1= ² Exercice 10 : Soit I_n=R+1

0 tⁿ e ^tdt:

Montrer que pour toutn 2N:tⁿe ^t=2 !0 et en déduire que I_n converge.

Exprimer I_n+1 en fonction de I_n et en déduire la valeur deI_n en fonction de n:

Retrouver alors l’espérance puis la variance d’une loi exponentielle.

(5)

Simulation : On montre que si X ,! U^[0;1] alors Y = ¹ ln (X),!"( )(comment le faire ?) writeln(’paramètre ?’);readln(alpha);

randomize; (une seule fois au début) ...

x:=random;y:=-ln(x)/alpha;

Théorème (Modèle) : Soit X variable à densité; alors

X suit une loi exponentielle() X est sans mémoire etP (X 0) = 1 Exercice 11 : Démontrer la partie directe.

Réciproque : On montre que P (X > h+t) = P (X > h) P (X > t):

On considère g(t) = P (X > t): Pourquoi g est-elle continue sur R ? Quel est son sens de variation ? Que vautg(t+h) ?

1) g(1)>0 :

Que vautg(1) siX ,!"( ) ? Pour poser = ln [g(1)]; on montre d’abord que g(1)6= 0 : On montre d’abord (par récurrence) queg(n x) =g(x)ⁿ donc avec x= _n¹ :g(1) =g _n¹ ⁿ Et par l’absurde : si g(1) = 0 alors g ¹_n = 0 ! 0 quand n ! +1: et par continuité g _n¹ !g(0) = 1:

Soit alors = ln (g(1)): 2) g ^p_q avecp et q entiers.

Quelle devrait être alors la fonction '(t) = g(t) exp ( t) surR⁺ ? a)pour les sommes : on a '(+h) ='(x) '(h)pour tout x eth 0:

b) Pour les produits par un entierp : par récurrence, 8p2N:'(px) = '(x)^p c) Pour les quotients par un entier q : avecx= ^y_q on a '(y) = ' ^y_q

q

et' ^y_q ='(y)^1=q d) Pour les rationnels ^p_q on a alors ' ^p_q ='(1)^p=q = 1

3) Pour les réels

On approche les réels x 0par des rationnels u_n :

[nx] nx <[nx] + 1 doncu_n = ^[nx]_n x < u_n+_n¹ etjx u_nj< _n¹

' est continue sur R. Et comme u_n ! x alors 1 = '(u_n) ! '(x) donc '(x) = 1 pour tout

x 0

4) On revient à la fonction de répartition et à la densité :

a) Pour toutx 0 :g(x) =e ^x donc F(x) = P (X x) = 1 e ^x pour x 0et comme la fonction de répartition est croissante, elle est nulle surR :

b) F est dérivable sur R donc une densité est F⁰(x) = 0 six <0et F⁰(x) = e ^x si x 0 c) Où l’on reconnaît une loi exponentielle de paramètre :

5.3 Loi normale (de Laplace-Gauss)

5.3.1 Loi normale centrée réduite

Modèle, théorème de la limite centrée (admis) : Quelque soit la loiL(discrète ou de densité) ayant une espérance et une variance ;

si les variables aléatoires X_i sont de même loi L et sont indépendantes alors la somme S_n=Pn

i=1X_i ou la moyenne M_n = _n¹Pn

i=1X_i centrée réduite S_n (qui vaut ?) converge en loi vers une loi normale centrée réduite (i.e. sa fonction de répartition tend vers )

Exercice 12 : Montrer que S_n=M_n

Exercice 13 : Montrer que pour toutt 1 :t t² et en déduire que R+1

1 e ^t²^dt converge.

En déduire que R ₁

1 e ^t²^dt converge également

(6)

Théorème (admis) : R+1

1 e ^t²dt=p :

Dé…nition : X suit une loi normale centrée réduite N(0;1)si sa densité est '(t) = p¹

2 e ^t²⁼²: Densité paire et in‡exion en 1et en 1:

Sa fonction de répartition est usuellement notée Exercice 14 : Montrer que R+1

1 e ^t²⁼²dt=p 2 : Exercice 15 : Montrer que Rx

0 e ^t²⁼²dt =R0

xe ^t²⁼²dt et en déduire que R0

1'(t)dt = ¹₂:

Théorème : fonction de répartition La fonction de répartition d’une loi normale centrée ré- duite véri…e :

- (0) = ¹₂

- ( x) = 1 (x)(symétrie de la courbe représentative par rapport au point de coordonnés 0;¹₂

Exercice 16 : Soit X ,! N(0;1): Calculer grâce à la table de la loi, P (X 1) ; P (X 1) ; P (X 2) ; P ( 2 X 1)

Théorème : Si X ,! N (0;1) alors X est centrée et réduite. (traduction ?) Preuve : te ^t²⁼² =o(e ^t)(le prouver) doncR+1

0 t'(t)dtconverge (on peut aussi primitiverte ^t²⁼²) Et par imparité R0

1t'(t)dt= R+1

0 t'(t)dt (comment le prouver ?) donc R+1

1 t'(t)dt= 0 et

Conclusion : X a une espéranceE(X) = 0.

On intègre par partiesRM 0

p1

2 t²e ^t²⁼²dtavecu(t) = te ^t²⁼² (letétant nécessaire comme dérivée du contenu) et on trouve que

R+1

0 t²'(t)dt =R+1

0 '(t)dt et par parité R0

1t²'(t)dt =R+1

0 t²'(t)dt:

DoncX² a une espérance et E(X²) = R+1

1 '(t)dt = 1 Conclusion : X a une varianceV (X) = 1

Simulation : On peut utiliser la limite centrée.

Si X_i ,! U^[0;1] on aE(X_i) = ¹₂ et V (X_i) = ₁₂¹ on aS_n = Pn

i=1X_i ⁿ₂ =p_n

12 centrée réduite qui converge en loi versN (0;1)

La valeurs de n pour avoir une bonne précision est discutable.

Ici, avecn = 10 :

randomize; (une seule fois au début) n:=10;...

S:=0;

for i:=1 to n do S:=S+random;

X:=(S-n/2)/sqrt(n/12);

5.3.2 Loi normale

Dé…ntion : v = ² 0et m2R:

X suit une loi normale de paramètres v etm notéeN(m; v)siX = ^{X m} suit une loi normale centrée réduite.

La densité deX est alors f(t) = ^p¹₂ exp

h t m 2

=2 i

.

La courbe représentative de la densité a un maximum en m et des points d’in‡exion enm Théorème : X ,! N(m; v) alors X a une espérance et une variance etE(X) =m etV (X) = v

(7)

6 Interprétation.

Pour les lois de min (ou inf) et max (ou sup) on procède par :

(min> t) = ( tous > t) qui se formalise par ? (max t) = ( tous 6t) qui se formalise par ?

Pour une durées de fonctionnement X

il faut interpréter : (ECRICOME 2001)

X t signi…e que la machine fonctionne (encore) à l’instant t:

X < t signi…e qu’elle est en panne à l’instantt:

Le nombre de machine en panne à un instant donné suivra souvent une loi binomiale (revoir les conditions , l’espérance et la variance)

Pour la partie entière

comme elle ne prend que des valeurs entières, elle n’est pas à densité.

On n’étudie plus la fonction de répartition mais directement la loi.

On a [X] X <[X] + 1 et ou encore ([X] =n) = (n X < n+ 1)

7 Approximation

7.1 Bienaymé & Tchebichev

Théorème : si X (à densité) a une espérancem et une v variance alorsP (jX mj ") _"^v2

Preuve : on part de V (X) =E (X E(X))² que l’on calcule par le théorème de transfert : V (X) =R+1

1 (t m)²f(t)dt que l’on découpe suivant que jt mj " ou pas (résolution ?)

V (X) =

Z m "

1

(t m)²f(t)dt+ Z m+"

m "

(t m)²f(t)dt+ Z +1

m+"

(t m)²f(t)dt Z m "

1

(t m)²f(t)dt+ Z +1

m+"

(t m)²f(t)dt

Là où(t m)² "² on a : Z m "

1

(t m)²f(t)dt

Z m "

1

"²f(t)dt="² Z m "

1

f(t)dt

et on reconnaît dans cette dernière intégrale P (X m ") et de mêmeR+1

m+"(t m)²f(t)dt "²P (X m+") Et en remettant tout bout à bout

V (X) "²[P (X m+") + P (X m ")])

"²P (jX mj ")

(8)

Utilisation : Ce théorème resservira dans l’estimation par intervalle de con…ance sous la forme P (jX mj ") v

"²

7.2 Valeur approchée

Loi normale : Si les X_i sont indépendantes et de même loi ayant une espérance et une variance alors

une valeur approchée de la fonction de répartition de la somme (ou de la moyenne) centrée réduite est donnée par :

Cas particulier : Une loi binomiale B(n; p) est somme de lois de BernouilliB(p) indépendantes.

Donc une valeur approchée deB(n; p) est donnée par N (np; npq) avecq = 1 p Loi de Poisson : Une valeur approchée de B(n; p) est donnée par P(np)

Loi binomiale : Une valeur approchée de H(N; n; p) est donnée par B(n; p) Morale : H(N; n; p)' B(n; p)' N(np; npq)