g est la fonction dé…nie par: g(x

L-Mateur Devoir de contrôle n 1 Prof: Talbi Rachid

Classe:4sc1 Durée : 2h Le 05=11=2015

EXERCICE 1(7pts)

Soit f une fonction dé…nie sur R,dont on donne la courbe C_f dans un repère orthonormé.

g est la fonction dé…nie par: g(x) = 1 f(x)

1. Lire graphiquement : (a) f(1) ; f( 1) et f⁰(0) (b) lim

x! 1f(x) et lim

x!+1f(x) Interpréter graphiquement les résultats précédents (c) f(R)

2. (a) DéterminerD_g

(b) Déterminer les limites de g aux bornes deD_g: (c) En déduire l’existence d’asymtotes à C_g: 3. (a) Montrer que l’équationf(x) = 1

2 admet une solution unique 2[0;1]

(b) Dresser le tableau de variation de g:

EXERCICE 2(6pts)

Soit (un) la suite réelle dé…nie surN par: u0=1 un+1=p

3u_n+ 4 ;8n 2N 1. (a) Montrer que la suite (u_n)est majorée par 4:

(b) Montrer que la suite (u_n)est strictement croissante.

(c) En déduire que (un) est convergente et déterminer sa limitel:

2. (a) Montrer que (4 u_n+1)4 1

2(4 u_n);8n2N (b) En déduire que (4 u_n)43 1

2

n

;8n 2N: (c) Retrouver alors lim

n!+1u_n

3. Etudier la convergence de la suite(v_n)dé…nie surNpar : v_n=n²(4 u_n): (On admet que lim

n!+1

n² 2ⁿ = 0)

1

EXERCICE 3(7pts)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;!u ;!v): soient les pointsA; B etC d’a¢ xes respectives a= 2p

3 ; b=p

3 3i et c= 2i 1. (a) Ecrire b sous forme exponentielle.

(b) Montrer que b²⁰¹⁶ 2R:

2. (a) Les pointsA et C sont représentés sur la …gure jointe suivante.Construire le point B:

(b) Déterminer une mesure en radian de l’angle orienté AB;! AC :!

3. Les points E etF ont pour a¢ xes respectives e= p3

2 +3

2i et f = p 3 i

(a) Montrer que les pointsA; E et C d’une part, et les points A; F et B d’autre part sont alignés.

(b) Montrer que e c e b =

p3

9 i

(c) Interpréter géométriquement ce résultat.

4. (a) Montrer que BCF est un triangle rectangle enF:

(b) Placer les pointsE et F sur la …gure.

5. Déterminer les ensembles suivants:

E₁ = M(z);jz 2ij= z+ 2p

3 et E₂ =n

M(z); arg(z 2i)

4 [2 ]o

2

3