Soit g la fonction définie par g(x

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Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 2007/08

Licence première année - LM110 PCME12

Contrôle n^o1

Aucune calculatrice ni aucun document ne sont autorisés. Chaque résultat ou calcul devra être justifié.

Exercice 1. Calculer, si elles existent, les limites suivantes.

1) lim

x→0

√1 +x−√ 1 +x² x

2) lim

x→0

ln(3x+ 1) 2x 3) lim

x→0

x 2 + sin¹_x

Exercice 2. Soit g la fonction définie par

g(x) =







0 six= 1

1 +x−2xlnx

x−1 six >1.

1) Montrer que, pour toutx≥0,

x− x²

2 ≤ln(1 +x)≤x.

2) En déduire queg est continue en1.

Exercice 3. Soit f la fonction définie par : f(x) = x

x²+x+ 1.

1) Déterminer son ensemble de définitionD_f. Montrer quef est continue sur D_f. 2) Montrer que f est dérivable surD_f et calculer sa dérivée.

3) Etudier les variations de f ainsi que ses limites en −∞ et +∞. Tracer la courbe représentative C_f de f.

4) Montrer que f réalise une bĳection de[−1; 1] sur un intervalle[a;b]que l’on détermi- nera. On note f⁻¹ sa bĳection réciproque.

5) Vérifier que f⁻¹ est dérivable sur]a;b[.Est-elle dérivable en a? enb?

6) Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative C_f−1 de f⁻¹ au point d’abscisse −²₃.

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