Correction du devoir de préparation fonction linéaire et affine Exercice n°1 ( 6 points ) :
Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = 3x et g la fonction affine définie par g(x) = -2x + 5.
1) Déterminer les images de 1, 0 et -1 par les fonctions f et g.
f(-1) = 3 × (-1) f(-1) = -3
L’image de -1 est -3
f(0) = 3 × 0 f(0) = 0
L’image de 0 est 0
f(1) = 3 × 1 f(1) = 3
L’image de 1 est 3 g(-1) = -2 × (-1) + 5
g(-1) = 2 + 5 g(-1) = 7
L’image de -1 est 7
g(0) = -2 × 0 + 5 g(0) = 0 + 5 g(0) = 5
L’image de 0 est 5
g(1) = -2 × 1 + 5 g(1) = -2 + 5 g(1) = 3
L’image de 1 est 3 2) Déterminer l’antécédent de 27 par les fonctions f et g.
Pour déterminer l’antécédent de 27 par la fonction f, il faut résoudre l’équation f(x) = 27 c’est-à-dire l’équation 3x = 27.
3x = 27 => x = = 9.
L’antécédent de 27 par la fonction f est 9.
Pour déterminer l’antécédent de 27 par la fonction g, il faut résoudre l’équation g(x) = 27 c’est-à-dire l’équation -2x + 5 = 27.
-2x + 5 = 27 => -2x = 27 – 5 => -2x = 22 => x = = -11.
L’antécédent de 27 par la fonction g est -11.
3) Représenter graphiquement les fonctions f et g.
On utilise pour cela les images des nombres -1 , 0 et 1 déterminées à la question 1.
On en déduit le tableau des points suivant :
A B C D E F
x -1 0 1 x -1 0 1
y = f(x) -3 0 3 y = g(x) 7 5 3
La droite représentant la fonction f est tracée en bleu.
La droite représentant la fonction g est tracée en rouge.
Exercice n°2 ( 4 points ) :
Soit f la fonction affine définie par f(x) = -5x + 2 et (d) la représentation graphique de f.
1) Le point A(-1 ; 6) appartient-il à la droite (d) ? Justifier.
Déterminons l’image de l’abscisse du point A par la fonction f.
f(-1) = -5 × (-1) + 2 f(-1) = 5 + 2
f(-1) = 7
Comme 7 est différent de l’ordonnée du point A, à savoir 6, on en déduit que le point A n’appartient pas à la droite (d).
2) Le point B(3 ; -13) appartient-il à la droite (d) ? Justifier.
Déterminons l’image de l’abscisse du point B par la fonction f.
f(3) = -5 × 3 + 2 f(3) = -15 + 2 f(3) = -13
Comme -13 est égal à l’ordonnée du point B, à savoir -13, on en déduit que le point B appartient à la droite (d).
3) Le point C(5 ; y) appartient à la droite (d). Déterminer la valeur de y.
L’ordonnée y du point C est égale à l’image de son abscisse : y = f(5) = -5 × 5 + 2
= -25 + 2 = -23
Les coordonnée du point C sont C(5 ; -23)
4) Le point D(x ; 17) appartient à la droite (d). Déterminer la valeur de x.
L’abscisse du point D est égale à l’antécédent de son ordonnée 17 : f(x) = 17 -5x + 2 = 17
-5x = 17 – 2 -5x = 15 x = x = -3
Les coordonnée du point D sont C(-3 ; 17)
Exercice n°3 ( 3 points ) :
Déterminer les fonctions affines représentées graphiquement par les droites ci-contre.
Fonction affine représentée par la droite rouge :
On applique la méthode vue en classe : on choisit deux points à coordonnées entières sur la droite et on les relie par un chemin horizontal et vertical.
Le coefficient de la fonction affine est alors égal au quotient de la longueur du chemin vertical par la longueur du chemin horizontal soit ici a = c’est-à-dire a = 2.
La valeur de b correspond à l’ordonnée du point d’intersection de la droite et de l’axe des ordonnées, soit ici b = 1.
La fonction affine f représentée par la droite rouge est f(x) = 2x + 1.
Fonction affine représentée par la droite bleue :
En appliquant la même méthode, on obtient : a = c’est-à-dire a = 1.
Comme la droite « descend », la valeur de a est négative, c’est-à-dire a = -1.
La valeur de b correspond à l’ordonnée du point d’intersection de la droite et de l’axe des ordonnées, soit ici b = 2.
La fonction affine g représentée par la droite bleue est g(x) = -x + 2.
Fonction affine représentée par la droite verte :
En appliquant la même méthode, on obtient : a = c’est-à-dire a = 1,5.
Comme la droite « descend », la valeur de a est négative, c’est-à-dire a = -1,5.
La valeur de b correspond à l’ordonnée du point d’intersection de la droite et de l’axe des ordonnées, soit ici b = 0.
La fonction affine h représentée par la droite verte est h(x) = -1,5x ( il s’agit en fait d’une fonction linéaire ici, car la droite passe par l’origine du repère )
Exercice n°4 ( 7 points ) :
Un cinéma propose deux tarifs :
• Tarif A : 8 € l’entrée.
• Tarif B : 4 € l’entrée avec une carte d’abonnement qui coûte 50 €.
1) Combien va-t-on payer pour 5 entrées avec le tarif A et le tarif B ? Tarif A : 5 × 8 = 40 €.
Tarif B : 5 × 4 + 50 = 20 + 50 = 70 €.
Pour 5 entrées, on paiera 40 € avec le tarif A et 70 € avec le tarif B.
2) Claude souhaite aller 2 fois par mois au cinéma toute l’année. Quel tarif lui conseillez-vous ?
Si Claude va 2 fois par mois au cinéma toute l’année, il ira 2 × 12 = 24 fois.
Déterminons le prix à payer pour 24 entrées pour les tarifs A et B.
Tarif A : 24 × 8 = 192 €.
Tarif B : 24 × 4 + 50 = 96 + 50 = 146 €.
Pour 24 entrées, on paiera 192 € avec le tarif A et 146 € avec le tarif B : Claude a donc intérêt à choisir le tarif B s’il va deux fois par mois au cinéma toute l’année.
3) On note PA(x) et PB(x) les prix des tarifs A et B pour x entrées. Donner l’expression de PA(x) et PB(x).
PA(x) = 8x et PB(x) = 4x + 50.
4) Déterminer par le calcul le nombre d’entrées à partir duquel il est souhaitable d’acheter la carte d’abonnement.
Cela revient à résoudre l’inéquation PB(x) < PA(x) c’est-à-dire 4x + 50 < 8x.
4x + 50 < 8x 4x – 8x < -50 -4x < - 50 x >
x > 12,5
Ainsi, il est préférable de choisir le tarif B à partir de 13 entrées.
