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A/- Soit g :fonction définie sur ]0, par g (x)=

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Academic year: 2022

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(1)

A/- Soit g :fonction définie sur ]0, par g (x)=

1/- calculer et .

2/-Montrer que g est dérivable sur ]0,+ puis calculer g’(x) . 3/- Dresser le tableau de variations de g .

4/-Montrer que g réalise une bijection de ]0,+ sur un intervalle I que l’on précisera . 5/-a- En déduire que g(x)=0 admet une unique solution α sur +0,+ .

b- Vérifier que αЄ *1,2+.

c- En déduire un encadrement de α d’amplitude 0.1 . 6/- Déduire alors le signe de g .

B/- soit f : la fonction définie sur ]0, par f(x)=

1/- calculer et .

2/- Etudier les variations de f.

3/-a- Vérifier que f(α) = .

b-En déduire un encadrement de f(α).

4/- Tracer C :la courbe représentative de f dans un repère orthonormé direct .

C/- Le but de cette partie est l’étude de la convergence de la suite réelle S définie par : = pour tout n >0 .

1/- soit ф définie sur [ ,- ф(x)= sin x .

Montrer que ф est une bijection de * ,- sur un intervalle J que l’on précisera . 2/- soit la réciproque de ф . Démontrer que est dérivable sur ]-1,1[

Et que ( )’(x)= .

3/- On pose h(x)= pour x appartenant à [0,1[

Montrer que = n >0 .

4/- En utilisant la croissance de h sur [0,1[ (et sachant qu’elle est intégrable au voisinage de 1)

Démontrer que

(2)

h( )

. 5/- En déduire alors que :

6/- En s’inspirant des résultats précédents : Déterminer

.

Problème crée par : Khalil Waghlani

( la partie C est extraite d’un autre problème avec des remaniements.)

Bonne chance.

Références

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