Soit f une fonction définie et dérivable sur . On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

CONTROLE N°6 TS3.

Mardi 31 mars 2015.

1 heure.

Soit f une fonction définie et dérivable sur . On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

Partie A

Sur les graphiques suivants, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C

, C

, C

avec la tangente en leur point d’abscisse 0.

1. Donner par lecture graphique, le signe de f( x) selon les valeurs de x.

2. On désigne par F une primitive de la fonction f sur . a. À l’aide de la courbe C, déterminer F (0) et F ( 2).

b. L’une des courbes C

, C

, C

est la courbe représentative de la fonction F. Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres.

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur par f( x) (x 2) e

1 2x

.

1. L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.

a. Démontrer que pour tout réel x, f (x ) 1

2 ( x 4) e

1 2x

b. En déduire une validation de la conjecture précédente.

2. On pose I  

0

1

f( x)dx.

a. Interpréter géométriquement le réel I. Justifier brièvement.

b. Soient u et v les fonctions définies sur par u (x ) x et v(x ) e

1 2x

. Vérifier que f 2( u v u v ).

c. En déduire la valeur exacte de l’intégrale I.

3. On donne l’algorithme ci-dessous :

Variables : k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n.

Initialisation : Affecter à s la valeur 0.

Traitement : Pour k allant de 0 à n – 1 Affecter à s la valeur s 1

n f

 

  k n Fin de boucle.

Sortie : Afficher s.

On note s

le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n.

a. Justifier que s

représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.

b. Que dire de la valeur de s

fournie par l’algorithme lorsque n devient grand ? Expliquer.

C

CORRECTION DU CONTROLE N°6 TS3.

Partie A

1. Il semble que le signe de f soit donné par le tableau suivant : x 2 +

f( x) +

2. On désigne par F une primitive de la fonction f sur .

a. F est une primitive de f donc F f. Alors F (0) f (0) 2 et F ( 2) f( 2) 0.

b. F ( 2) 0 donc la tangente à la courbe de F au point d abscisse 2 est horizontale.

Les courbes C

et C

ne conviennent pas.

Remarque : F (0) 2 donc la tangente à la courbe au point d abscisse 0 a pour coefficient directeur 2 : la courbe C

ne convient pas car d

a pour coefficient directeur 1,5 environ.

La courbe de F est donc C

. Partie B

1.

a. f est dérivable sur . Pour tout réel x : f ( x) 1e

1 2x

(x 2) 1 2 e

1 2x

e

1 2x

 

 

1 ^x

2 1 e

1 2x

 

  2 ¹

2 x 1

2 ( x 4) e

1 2x

b. On peut alors construire le tableau de variation suivant : x 4 +

f ( 4) 2e

= 2 e ²

x + 4 +

1 2 e

1

2x

+

f ( x) +

f(x) 2

e²

La fonction f admet un minimum sur . Ce minimum est 2

e² et il est atteint pour x 4.

2.

a. f (0) 2 0 et f est croissante sur [0 ; 1] donc f est positive sur [0 ; 1]. De plus, la fonction f est continue sur [0 ; 1]. Alors I est l aire du domaine délimité par la courbe C, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x 1.

b. u et v sont dérivable sur . Soit x un réel.

2(u ( x)v ( x) u( x) v ( x)) 2

 

  1e

1 2x

x  

  1 2 e

1 2x

2 e

1 2x

 

  1 ¹

2 x e

1 2x

(2 x) f (x ).

On a donc bien f 2(u v u v ).

c. u v uv ( u v) donc f (2 uv ) . Une primitive de f est donc 2 u v.

Alors I

 

  2xe

1 2x

0 1

2 e

1 2)

. 3.

a. On "fait tourner" l algorithme pour n 3 :

n k s

3 0

0 1

3 f (0)

1 1

3 f (0) 1 3 f

 

  1 3

2 1

3 f (0) 1 3 f

 

  1 3

1 3 f

 

  2 3 On a donc s

1

3 f(0) 1 3 f

 

  1 3

1 3 f

 

  2 3 .

L aire du domaine hachuré est la somme des aires des trois rectangles.

Le rectangle de gauche a pour largeur 1

3 et pour hauteur f(0) donc son aire est 1 3 f(0) Le rectangle du milieu a pour largeur 1

3 et pour hauteur f

 

  1

3 donc son aire est 1 3 f

 

  1 3 Le rectangle de droite a pour largeur 1

3 et pour hauteur f

 

  2

3 donc son aire est 1 3 f

 

  2 3 L aire du domaine hachuré est donc 1

3 f (0) 1 3 f

 

  1 3

1 3 f

 

  2

3 s

. b. On a s

1

n f(0) 1 n f

 

  1 n

1 n f

 

  2

n ... 1 n f

 

  n −1

n . C est la somme des aires de n rectangles de largeur 1

n sous la courbe C. Lorsque n est grand, les rectangles ont une largeur petite et s

tend alors vers I.