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Soit g la fonction définie par : g x ( ) 1 1 2 Ln x

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1

Lycée Mateur Série D’exercices

Fonction Logarithme népérien Classe : 4 Maths

Prof : M .Amri . Février 2021

Exercice n° 1

Soit g la fonction définie par : g x ( ) 1 1 2 Ln x

= − + x a- Etudier les variations de g

b- Calculer g (1) en déduire le signe de g sur ] 0 , +∞ [

2) Soit f la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : f x ( ) = − + 1 x (2 x 1) Ln x

a- Etudier les variations de f

b- Etudier les branches infinies de ζ

f

c- Tracer ζ

f

dans un R.O.N ( O i j , ,   )

3) ∀ ∈ n

on pose

2

1

1

n n

k

U k

=

n

 

= Π   +   a- Montrer que ∀ x  1 , on a 1

2 1 1

x Ln x x x

− ≤ ≤ −

b- En déduire que ∀ ∈ n

et pour tout 1 ≤ ≤ k n

2

1

2 2

2

k k k

n n Ln n n

 

≤  +  ≤

+  

c- En déduire lim

n

n

U

→+∞

Exercice n° 2

1) Soit g la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : ( ) 2 2

2

g x Ln x

x x

−  + 

= + +     a- Etudier les variations de g

b- En déduire que ∀ x  0 on a g x ( )  0

2) Soit f la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : ( ) 2 0

(0) 0

f x x Ln x si x x

f

+

 =  

    

  =

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(2)

2

et ζ

f

sa courbe dans un dans un R.O.N

a- Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0 b- Montrer que lim ( ) 2

x

f x

→+∞

=

c- Dresser le tableau de variation de f d-Tracer ζ

f

3) Soit n ∈ 

, ϕ

n

( ) x = f x ( ) − nx

x

]

0;+∞

[

a- Montrer que ϕ

'n

( ) x = 0 admet dans ] 0 , +∞ [ une unique solution α

n

b-Dresser le tableau de variation de ϕ

n

4) Soit h la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par :

2

2

( ) 2

x x

h x Ln

x

 + 

=     a- Calculer h x

'

( )

b- En déduire la primitive F de f qui s’annule en 1 5) Soit ( )

Un

la suite définie sur

par :

0

1 1

n n

k

U f k

n

=

n

 

=  + 

 

a- Montrer que ∀ ∈ n

et k ∈ { 0,1, 2,..., n }

1 1 1 1

1 k 1 k 1 k 1 k

f F F f

n n n n n n

+ +

 +  ≤  +  −  +  ≤  + 

       

       

b- En déduire ∀ ∈ n

on a

n

(2) ( ) 2 ( ) 1

n

(1)

f f

U F F U

n n

− ≤ − ≤ −

c- Montrer que lim

n

( ) 2

x

U F

→+∞

=

Exercice n°3 (contrôle 2012)

1) Soit g la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : g x ( ) = + − 1 x xLn x ( )

a - Etudier les variations de g

b- En déduire que l’équation g x ( ) =0 admet une unique solution x

0

∈ ] 0 , +∞ [ , vérifier que

3,5 x0 3, 6

c-En déduire le signe de g

2) Soit f la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par ( )

2

1 f x Ln x

= x

+

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(3)

3

On désigne par ( )

ζ

sa courbe dans un R.O.N ( O i j , ,   )

a- Calculer

f' ( )x

et vérifier que ( ) ( )

( )

2 '

2 2

1 f x g x

x x

= +

b) Dresser le tableau de variation de f c) Tracer ( )

ζ

( On prend

x0

=3.6 )

3) Soit ( )

an

la suite définie sur

IN

par

1

1n ( ) an =

f t dt

a) Montrer que ( )

an

est croissante

b) Montrer que ] [

0;1 lnx ( ) 1ln

x ona f x 2 x

∀ ∈ ≤ ≤

c) En déduire que

1 1 1 ln( ) 1 1 ln( )

2 n

n n

n a n

+ +

 − ≤ ≤ −

 

 

d) Montrer alors que (

an

) est convergente et que sa limite

1;1 2

 

∈   

Exercice n°4

Soit

n ∈ 

et

g

n

la fonction définie sur 

+

par : g x ( ) Ln 1 n n

x x n

 

=   +   − + a- Montrer que g

n

est dérivable sur

+

et que ( )

2 '

( )

2 n

g x n

x x n

= −

+ b- Dresser le tableau de variation de g

n

2) Soit ( ) ] [

( )

1 ; 0 ,

0 0

n

n

f x xLn n x

x f

  +  ∈ +∞

    

  =

ou n∈

a

-

Etudier la continuité et la dérivabilité de f

n

en 0 b-Dresser le tableau de variation de f

n

3) a- Montrer que f

n

( ) x = 1 ; n2 admet une seule solution

αn

]

0.+ ∞

[ b- Montrer que la suite ( )

αn

est décroissante et déduire qu’elle est convergente c-Vérifier que

1 1

n n

Ln n

α α

 

+ =

 

 

puis déduire lim

n

n

α

→+∞

4) a-Tracer

f1

ζ

dans un repère R.O.N b- Montrer que

x1 ; f1

( )

xLn

( )

2

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(4)

4

5) Soit la suite ( )

;

!

n

n n

w n telque w n n

∈ =

a- Montrer que

1 1 1

n n

n

n w

w n

+  

∀ ∈ = + 

b- Montrer que

1 1 2

n

n n

 

∀ ∈  +  ≥

en déduire que ∀ ∈ n

on a w

n

2

n1

c- Déduire lim

n

n

w

→+∞

d-Déterminer lim (

n 1

) ( )

n

n

Ln w

+

Ln w

→+∞

Exercice n°5 (principale 2012)

)

I

Soit

f2

définie sur ] 0 , +∞ [ par :

f2

( )

x = x2Ln x

( ) et on désigne par ( )

Γ

sa courbe représentative dans un R.O.N ( O i j , ,   )

1)a- Calculer

2

( )

2

( )

0

lim lim

n n

f x et f x

+ →+∞

b) Calculer

lim 2( )

x

f x

→+∞ x

et interpréter le résultat graphiquement c) Dresser le tableau de variation de

f2

2) Dans la figure suivante on a tracé la courbe (C) de la fonction

Ln

et la courbe

] [

:

2

; 0

L Y = X X ∈ + ∞

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(5)

5

a-Soit x  0 ,on considère les points

M et M2

de même abscisse

x

et appartient respectivement à ( ) ( )

C et L

,vérifier que

MM2 = f2

( )

x

b- construire dans le même repère les points de

Γ

d’abs. Resp . 2 ;

1 et 1 2

e

c) Tracer la courbe

Γ

dans le même repère

)

II

1) soit k un entier

2 , On considère la fonction f

k

définie sur ] 0 , +∞ [ par :

( )

k

( )

f

k

x = xLn x

a- déterminer f

k'

fonction dérivée de f

k

b- Montrer que f

k

admet un minimum en

k

1

k égal à

1 Ln k

k +

c) Pour tout x

0 , On considère la distance

M

(x ;x

K

) et (x ;ln(x))Donner la valeur minimale de

Mk

MM

K

2 k

2) Pour tout soit U

k k

1

= k a- Vérifier que

Ln Uk Ln k

k

=−

et en déduire la limite de ( ) U

k

b-Soit

A

( )

1, 0 et A Uk

(

k, f U

( )

k

)

Calculer la limite de la distance AA

K

lorsque k → +∞

Exercice n°6

A) Soit n ∈ 

et f

n

( ) x = x Ln

n

( 1 + x ) ; x ∈ − ] 1 , + ∞ [ On désigne par ( )

ζn

la courbe de f

n

dans un R.O.N ( O i j , ,   )

1) On pose ∀ ∈ − x ] 1 , +∞ [ ; ( ) ( 1 )

n

1

x n Ln x x

ϕ = + + x

+ a- - Etudier les variations de ϕ

n

b- Calculer ϕ

n

( ) 0 et en déduire le signe de ϕ

n

( ) x sur ] − 1 , +∞ [

2) a- Etudier les variations de f

1

b- ∀ ≥ n 2 Etudier les variations de f

n

suivant la parité de n

c-Tracer dans le même repère les courbes ζ

1

et ζ

2

en précisant les positions relatives de ces deux courbes .

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(6)

6

3) a- Calculer I = ∫

01

f x dx et

1

( ) J = ∫

01

f x dx

2

( )

b-Calculer l’aire de la partie du plan limitée par les deux courbes ζ

1

et ζ

2

4) a- Montrer que

n ∈ 

; f

n

( ) x = 1 admet dans ] 0 , + ∞ [ une unique solution α

n

, Montrer que α

n

 1

b- Montrer que ( ) α

n

est décroissante

B) Dans cette partie , on se propose d’étudier la limite de la suite ( )

Vn

définie par : ( )

0

1 1

n k n

k

V = k

= −

+

; Soit

1

( )

n 0 n

U = ∫ f x dx

1) a- Vérifier que

n ∈ 

n + 1 2 ( n + 1 ) U

n

Ln 2 2 ( n + 1 2 )

b- En déduire la limite de ( n + 1 ) U

n

2) On pose ( ) ( )

0

1 1 ;

n k

n

k

n et n S x x

=

∀ ≥ − = ∑ −

a- Montrer que ( ) 1 ( ) 1

1

.

1

1 1

n n

n

S x x

x x

+ +

= − −

+ +

b- Montrer que Ln 2 V

n

= − ( ) 1

n+1

. ( Ln 2 ( n + 1 ) U

n

)

3) Montrer que V

n

est convergente et déterminer sa limite

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