Soit g la fonction définie par : g x ( ) 1 1 2 Ln x

1

Lycée Mateur Série D’exercices

Fonction Logarithme népérien Classe : 4 Maths

Prof : M .Amri . Février 2021

Exercice n° 1

Soit g la fonction définie par : ^{g x ( ) 1 1 2 Ln x}

= − + x a- Etudier les variations de g

b- Calculer g (1) en déduire le signe de g _{sur ] 0 , +∞ [}

2) Soit f la fonction définie sur ] ^{0 , +∞} [ ^{par : f x ( ) = − + 1 x (2 x − 1) Ln x}

a- Etudier les variations de f

b- Etudier les branches infinies de ζ

_f

c- Tracer ζ

_f

dans un R.O.N ( ^{O i j , ,  } )

3) ∀ ∈ n 

^∗

on pose

2

1

1

n n

k

U k

=

n

 

= Π   +   a- Montrer que ∀ x  1 , on a 1

2 1 1

x Ln x x x

− ≤ ≤ −

−

b- En déduire que ∀ ∈ ⁿ 

^∗

et pour tout ¹ ≤ ≤ k n

2

1

2 2

2

k k k

n n Ln n n

 

≤  +  ≤

+  

c- En déduire ^lim

n

n

U

→+∞

Exercice n° 2

1) Soit g la fonction définie sur ] ^{0 , +∞} [ par : ^{( ) 2 2}

2

g x Ln x

x x

−  + 

= + +     a- Etudier les variations de g

b- En déduire que ∀ x  0 on a g x ( )  0

2) Soit f la fonction définie sur ] ^{0 , +∞} [ ^{par : ( ) 2 0}

(0) 0

f x x Ln x si x x

f

+

 =  

    

  =





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2

et ζ

_f

sa courbe dans un dans un R.O.N

a- Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0 b- Montrer que lim ( ) 2

x

f x

→+∞

=

c- Dresser le tableau de variation de f d-Tracer ζ

_f

3) Soit n ∈ 

^∗

, ϕ

_n

( ) x = f x ( ) − nx

_x∈

_]

_0;+∞

_[

a- Montrer que ϕ

^'n

( ) x = ⁰ admet dans ] ^{0 , +∞} [ une unique solution α

_n

b-Dresser le tableau de variation de ϕ

_n

4) Soit h la fonction définie sur ] ^{0 , +∞} [ par :

2

2

( ) 2

x x

h x Ln

x

 + 

=     a- Calculer ^{h x}

^'

( )

b- En déduire la primitive F de f qui s’annule en 1 5) Soit _{( )}

U_n

la suite définie sur

^∗

par :

0

1 1

n n

k

U f k

n

₌

n

 

=  + 

 

∑

a- Montrer que ∀ ∈ n 

^∗

et k ∈ { 0,1, 2,..., n }

1 1 1 1

1 k 1 k 1 k 1 k

f F F f

n n n n n n

+ +

 +  ≤  +  −  +  ≤  + 

       

       

b- En déduire ∀ ∈ n 

^∗

_{on a}

n

⁽²⁾ ( ) ² ( ) ¹

n

⁽¹⁾

f f

U F F U

n n

− ≤ − ≤ −

c- Montrer que ^lim

n

( ) ²

x

U F

→+∞

=

Exercice n°3 (contrôle 2012)

1) Soit g la fonction définie sur ] ^{0 , +∞} [ par : ^{g x ( ) = + − 1 x xLn x} ( )

a - Etudier les variations de g

b- En déduire que l’équation ^{g x} ( ) =0 admet une unique solution x

0

∈ ] 0 , +∞ [ , vérifier que

3,5 x0 3, 6

c-En déduire le signe de g

2) Soit f la fonction définie sur ] ^{0 , +∞} [ ^par ( )

2

1 f x Ln x

= x

+

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3

On désigne par _{( )}

ζ

sa courbe dans un R.O.N ( ^{O i j , ,  } )

a- Calculer

f^' ( )x

et vérifier que ( ) ( )

( )

2 '

2 2

1 f x g x

x x

= +

b) Dresser le tableau de variation de f c) Tracer _{( )}

ζ

( On prend

x₀

=3.6 )

3) Soit ( )

an

la suite définie sur

IN^∗

par

¹

1ⁿ ( ) an =

∫

f t dt

a) Montrer que ( )

an

est croissante

b) Montrer que ] [

^{0;1 lnx ( ) 1ln}

x ona f x 2 x

∀ ∈ ≤ ≤

c) En déduire que

¹ 1 ^{1 ln( )} 1 ^{1 ln( )}

2 ⁿ

n n

n a n

+ +

 − ≤ ≤ −

 

 

d) Montrer alors que (

a_n

) est convergente et que sa limite

¹;1 2

 

∈   

Exercice n°4

Soit

n ∈ 

^∗ et

g

_n

la fonction définie sur 

^∗₊

par : ^{g x ( ) Ln 1 n n}

x x n

 

=   +   − + a- Montrer que g

n

est dérivable sur ^

^∗₊

et que ( )

2 '

( )

2 n

g x n

x x n

= −

+ b- Dresser le tableau de variation de g

n

2) Soit ( ) ] [

( )

1 ; 0 ,

0 0

n

n

f x xLn n x

x f

  +  ∈ +∞

    

  =



ou n∈^∗

a

-

Etudier la continuité et la dérivabilité de f

_n

_{en 0} b-Dresser le tableau de variation de f

n

3) a- Montrer que f

n

( ) x = ^{1 ;} n ≥ ² admet une seule solution

αn∈

]

^0.+ ∞

[ b- Montrer que la suite _{( )}

α_n

est décroissante et déduire qu’elle est convergente c-Vérifier que

1 ¹

n n

Ln n

α α

 

+ =

 

 

puis déduire lim

_n

n

α

→+∞

4) a-Tracer

f1

ζ

dans un repère R.O.N b- Montrer que

∀x1 ; f₁

_{( )}

x ≥Ln

_{( )}

2

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4

5) Soit la suite ( )

^;

!

n

n n

w n telque w n n

∈∗ =

a- Montrer que

¹ 1 ¹

n n

n

n w

w n

∗ +  

∀ ∈ = + 

b- Montrer que

1 ¹ 2

n

n n

 

∀ ∈  +  ≥

en déduire que ^{∀ ∈ n} 

^∗

^{on a w}

_n

^{≥ 2}

ⁿ⁻¹

c- Déduire lim

_n

n

w

→+∞

d-Déterminer lim (

_n 1

) ( )

_n

n

Ln w

₊

Ln w

→+∞

−

Exercice n°5 (principale 2012)

)

I

Soit

f2

définie sur ] ^{0 , +∞} [ ^{par :}

f2

( )

x = x²−Ln x

( ) et on désigne par ( )

^Γ

sa courbe représentative dans un R.O.N ( ^{O i j , ,  } )

1)a- Calculer

2

( )

2

( )

0

lim lim

n n

f x et f x

+ →+∞

→

b) Calculer

lim ^{2( )}

x

f x

→+∞ x

et interpréter le résultat graphiquement c) Dresser le tableau de variation de

f₂

2) Dans la figure suivante on a tracé la courbe (C) de la fonction

Ln

et la courbe

] [

:

2

; 0

L Y = X X ∈ + ∞

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5

a-Soit x  0 ,on considère les points

M et M₂

de même abscisse

x

et appartient respectivement à ( ) ( )

^{C et L}

,vérifier que

MM2 = f2

( )

x

b- construire dans le même repère les points de

Γ

d’abs. Resp . 2 ;

¹ et ¹ 2

e

c) Tracer la courbe

Γ

dans le même repère

)

II

1) soit k un entier

≥

2 , On considère la fonction ^f

_k

définie sur ] ^{0 , +∞} [ ^{par :}

( )

^k

( )

f

k

x = x − Ln x

a- déterminer f

_k^'

fonction dérivée de f

k

b- Montrer que f

_k

admet un minimum en

^k

¹

k égal à

^{1 Ln k}

k +

c) Pour tout x



0 , On considère la distance

M

(x ;x

^K

) et (x ;ln(x))Donner la valeur minimale de

M_k

MM

_K

2 k ≥

2) Pour tout soit ^U

_k ^k

¹

= k a- Vérifier que

Ln U_k ^{Ln k}

k

=−

et en déduire la limite de ( ) U

k

b-Soit

A

( )

^{1, 0} et A Uk

(

k^, f U

( )

k

)

Calculer la limite de la distance AA

_K

lorsque k → +∞

Exercice n°6

A) Soit n ∈ 

^∗

et f

n

( ) x = x Ln

ⁿ

( ¹ + x ) ^; x ∈ − ] ^{1 ,} + ∞ [ On désigne par _{( )}

ζ_n

la courbe de f

_n

dans un R.O.N ( ^{O i j , ,  } )

1) On pose ^{∀ ∈ − x} ] ^{1 , +∞} [ ; ( ) ( ¹ )

n

1

x n Ln x x

ϕ = + + x

+ a- - Etudier les variations de ϕ

n

b- Calculer ϕ

n

( ) ⁰ et en déduire le signe de ϕ

n

( ) x sur ] − ^{1 ,} +∞ [

2) a- Etudier les variations de f

1

b- ∀ ≥ n 2 Etudier les variations de f

n

suivant la parité de n

c-Tracer dans le même repère les courbes ζ

₁

^et ζ

₂

en précisant les positions relatives de ces deux courbes .

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6

3) a- Calculer I = ∫

0¹

f x dx et

1

( ) J = ∫

0¹

f x dx

2

( )

b-Calculer l’aire de la partie du plan limitée par les deux courbes ζ

1

et ζ

2

4) a- Montrer que

∀

n ∈ 

^∗

; f

n

( ) x = ¹ admet dans ] ^{0 , + ∞} [ une unique solution α

_n

, Montrer que α

_n

 1

b- Montrer que ( ) α

n

est décroissante

B) Dans cette partie , on se propose d’étudier la limite de la suite _{( )}

V_n

définie par : ( )

0

1 1

n k n

k

V ₌ k

= −

∑

+

^{; Soit}

¹

( )

n 0 n

U = ∫ f x dx

1) a- Vérifier que

∀

n ∈ 

^∗

^{n − + 1 2 ≤} ( ^{n + 1} ) ^U

ⁿ

^{− Ln 2 ≤ 2} ( ^{n − + 1 2} )

b- En déduire la limite de ( n + ¹ ) U

n

2) On pose ( ) ( )

0

1 1 ;

n k

n

k

n et n S x x

=

∀ ≥ ^ − = ∑ −

a- Montrer que ( ) 1 ( ) ¹

¹

^.

¹

1 1

n n

n

S x x

x x

+ +

= − −

+ +

b- Montrer que ^{Ln 2 − V}

ⁿ

^{= −} ( ) ¹

ⁿ⁺¹

^. ( ^{Ln 2 −} ( ^{n + 1} ) ^U

ⁿ

)

3) Montrer que ^V

_n

est convergente et déterminer sa limite

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