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Lycée Mateur Série D’exercices
Fonction Logarithme népérien Classe : 4 Maths
Prof : M .Amri . Février 2021
Exercice n° 1
Soit g la fonction définie par : g x ( ) 1 1 2 Ln x
= − + x a- Etudier les variations de g
b- Calculer g (1) en déduire le signe de g sur ] 0 , +∞ [
2) Soit f la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : f x ( ) = − + 1 x (2 x − 1) Ln x
a- Etudier les variations de f
b- Etudier les branches infinies de ζ
fc- Tracer ζ
fdans un R.O.N ( O i j , , )
3) ∀ ∈ n
∗on pose
21
1
n n
k
U k
=
n
= Π + a- Montrer que ∀ x 1 , on a 1
2 1 1
x Ln x x x
− ≤ ≤ −
−
b- En déduire que ∀ ∈ n
∗et pour tout 1 ≤ ≤ k n
21
2 22
k k k
n n Ln n n
≤ + ≤
+
c- En déduire lim
nn
U
→+∞
Exercice n° 2
1) Soit g la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : ( ) 2 2
2
g x Ln x
x x
− +
= + + a- Etudier les variations de g
b- En déduire que ∀ x 0 on a g x ( ) 0
2) Soit f la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : ( ) 2 0
(0) 0
f x x Ln x si x x
f
+
=
=
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et ζ
fsa courbe dans un dans un R.O.N
a- Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0 b- Montrer que lim ( ) 2
x
f x
→+∞
=
c- Dresser le tableau de variation de f d-Tracer ζ
f3) Soit n ∈
∗, ϕ
n( ) x = f x ( ) − nx
x∈]
0;+∞[
a- Montrer que ϕ
'n( ) x = 0 admet dans ] 0 , +∞ [ une unique solution α
nb-Dresser le tableau de variation de ϕ
n4) Soit h la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par :
2
2
( ) 2
x x
h x Ln
x
+
= a- Calculer h x
'( )
b- En déduire la primitive F de f qui s’annule en 1 5) Soit ( )
Unla suite définie sur
∗par :
0
1 1
n n
k
U f k
n
=n
= +
∑
a- Montrer que ∀ ∈ n
∗et k ∈ { 0,1, 2,..., n }
1 1 1 1
1 k 1 k 1 k 1 k
f F F f
n n n n n n
+ +
+ ≤ + − + ≤ +
b- En déduire ∀ ∈ n
∗on a
n(2) ( ) 2 ( ) 1
n(1)
f f
U F F U
n n
− ≤ − ≤ −
c- Montrer que lim
n( ) 2
x
U F
→+∞
=
Exercice n°3 (contrôle 2012)
1) Soit g la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par : g x ( ) = + − 1 x xLn x ( )
a - Etudier les variations de g
b- En déduire que l’équation g x ( ) =0 admet une unique solution x
0∈ ] 0 , +∞ [ , vérifier que
3,5 x0 3, 6
c-En déduire le signe de g
2) Soit f la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ par ( )
21 f x Ln x
= x
+
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On désigne par ( )
ζsa courbe dans un R.O.N ( O i j , , )
a- Calculer
f' ( )xet vérifier que ( ) ( )
( )
2 '
2 2
1 f x g x
x x
= +
b) Dresser le tableau de variation de f c) Tracer ( )
ζ( On prend
x0=3.6 )
3) Soit ( )
anla suite définie sur
IN∗par
11n ( ) an =
∫
f t dta) Montrer que ( )
anest croissante
b) Montrer que ] [
0;1 lnx ( ) 1lnx ona f x 2 x
∀ ∈ ≤ ≤
c) En déduire que
1 1 1 ln( ) 1 1 ln( )2 n
n n
n a n
+ +
− ≤ ≤ −
d) Montrer alors que (
an) est convergente et que sa limite
1;1 2
∈
Exercice n°4
Soit
n ∈
∗ etg
nla fonction définie sur
∗+par : g x ( ) Ln 1 n n
x x n
= + − + a- Montrer que g
nest dérivable sur
∗+et que ( )
2 '
( )
2 ng x n
x x n
= −
+ b- Dresser le tableau de variation de g
n2) Soit ( ) ] [
( )
1 ; 0 ,
0 0
n
n
f x xLn n x
x f
+ ∈ +∞
=
ou n∈∗
a
-Etudier la continuité et la dérivabilité de f
nen 0 b-Dresser le tableau de variation de f
n3) a- Montrer que f
n( ) x = 1 ; n ≥ 2 admet une seule solution
αn∈]
0.+ ∞[ b- Montrer que la suite ( )
αnest décroissante et déduire qu’elle est convergente c-Vérifier que
1 1n n
Ln n
α α
+ =
puis déduire lim
nn
α
→+∞
4) a-Tracer
f1
ζ
dans un repère R.O.N b- Montrer que
∀x1 ; f1( )
x ≥Ln( )
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5) Soit la suite ( )
;!
n
n n
w n telque w n n
∈∗ =
a- Montrer que
1 1 1n n
n
n w
w n
∗ +
∀ ∈ = +
b- Montrer que
1 1 2n
n n
∀ ∈ + ≥
en déduire que ∀ ∈ n
∗on a w
n≥ 2
n−1c- Déduire lim
nn
w
→+∞
d-Déterminer lim (
n 1) ( )
nn
Ln w
+Ln w
→+∞
−
Exercice n°5 (principale 2012)
)
I
Soit
f2définie sur ] 0 , +∞ [ par :
f2( )
x = x2−Ln x( ) et on désigne par ( )
Γsa courbe représentative dans un R.O.N ( O i j , , )
1)a- Calculer
2( )
2( )
0
lim lim
n n
f x et f x
+ →+∞
→
b) Calculer
lim 2( )x
f x
→+∞ x
et interpréter le résultat graphiquement c) Dresser le tableau de variation de
f22) Dans la figure suivante on a tracé la courbe (C) de la fonction
Lnet la courbe
] [
:
2; 0
L Y = X X ∈ + ∞
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a-Soit x 0 ,on considère les points
M et M2de même abscisse
xet appartient respectivement à ( ) ( )
C et L,vérifier que
MM2 = f2( )
xb- construire dans le même repère les points de
Γd’abs. Resp . 2 ;
1 et 1 2e
c) Tracer la courbe
Γdans le même repère
)
II
1) soit k un entier
≥2 , On considère la fonction f
kdéfinie sur ] 0 , +∞ [ par :
( )
k( )
f
kx = x − Ln x
a- déterminer f
k'fonction dérivée de f
kb- Montrer que f
kadmet un minimum en
k1
k égal à
1 Ln kk +
c) Pour tout x
0 , On considère la distance
M(x ;x
K) et (x ;ln(x))Donner la valeur minimale de
MkMM
K2 k ≥
2) Pour tout soit U
k k1
= k a- Vérifier que
Ln Uk Ln kk
=−
et en déduire la limite de ( ) U
kb-Soit
A( )
1, 0 et A Uk(
k, f U( )
k)
Calculer la limite de la distance AA
Klorsque k → +∞
Exercice n°6
A) Soit n ∈
∗et f
n( ) x = x Ln
n( 1 + x ) ; x ∈ − ] 1 , + ∞ [ On désigne par ( )
ζnla courbe de f
ndans un R.O.N ( O i j , , )
1) On pose ∀ ∈ − x ] 1 , +∞ [ ; ( ) ( 1 )
n
1
x n Ln x x
ϕ = + + x
+ a- - Etudier les variations de ϕ
nb- Calculer ϕ
n( ) 0 et en déduire le signe de ϕ
n( ) x sur ] − 1 , +∞ [
2) a- Etudier les variations de f
1b- ∀ ≥ n 2 Etudier les variations de f
nsuivant la parité de n
c-Tracer dans le même repère les courbes ζ
1et ζ
2en précisant les positions relatives de ces deux courbes .
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3) a- Calculer I = ∫
01f x dx et
1( ) J = ∫
01f x dx
2( )
b-Calculer l’aire de la partie du plan limitée par les deux courbes ζ
1et ζ
24) a- Montrer que
∀n ∈
∗; f
n( ) x = 1 admet dans ] 0 , + ∞ [ une unique solution α
n, Montrer que α
n 1
b- Montrer que ( ) α
nest décroissante
B) Dans cette partie , on se propose d’étudier la limite de la suite ( )
Vndéfinie par : ( )
0
1 1
n k n
k
V = k
= −
∑
+; Soit
1( )
n 0 n
U = ∫ f x dx
1) a- Vérifier que
∀n ∈
∗n − + 1 2 ≤ ( n + 1 ) U
n− Ln 2 ≤ 2 ( n − + 1 2 )
b- En déduire la limite de ( n + 1 ) U
n2) On pose ( ) ( )
0
1 1 ;
n k
n
k
n et n S x x
=
∀ ≥ − = ∑ −
a- Montrer que ( ) 1 ( ) 1
1.
11 1
n n
n
S x x
x x
+ +