Correction des exercices sur le logarithme népérien Ex 91 et 92 p 110.
Exercice 91.
Soit g est la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par g(x) =
1
x
+ ln x.1. g est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et g ’ (x) = –
1 x
2 +1 x
. 2. g’(x) = –1
x
2 +1 x
= –1 x
2 +x x
2 =x − 1 x
2 . g’(x) est du signe de x – 1.x
0 1 + ∞x−1
– 0 +f ( x )
+ ∞
1
+ ∞
3. g admet un minimum 1 sur ] 0 ; + ∞ [ donc g(x) > 0 pour tout x ] 0 ; + ∞ [.
Exercice 92.
Soit f est la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = ax + b + c ln x, où a, b et c sont des réels.
D’après la courbe, on a :
• Deux points de passage de coordonnées (1 ; 1) et (2 ; 2 ln 2) donc f(1) = 1 et f(2) = 2 ln 2.
• La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2 donc f ’ (2) = 0
f(1) = a 1 + b + c ln 1 = a + b car ln 1 = 0 donc a + b = 1.
f(2) = a 2 + b + c ln 2 = 2a + b + c ln 2 = 2 ln 2 donc 2a + b + c ln 2 = 2 ln 2.
f est dérivable sur et f ’ (x) = a + c
1
x
et f ’ (2) = a +c
2
= 0 donc a = –c 2
. De 2a + b + c ln 2 = 2 ln 2, on en déduit que c = 2.donc a = – 1 en utilisant a = –
c 2
. De a + b = 1, on en déduit que b = 2.Finalement, f(x) = – x + 2 + 2 ln x.
