1) Restitution organisée de connaissances.
a)La fonction g est dérivable sur [0,+∞[ en tant que somme de fonctions dérivables sur [0,+∞[ et pour x∈[0,+∞[, g′(x) =ex−x. Pour tout réelx, on aex> xet donc la fonctiong′ est positive sur[0,+∞[. On en déduit que la fonction gest croissante sur [0,+∞[et admet donc un minimum en0égal à g(0)ou encore1. Puisque1 est positif, on en déduit finalement que la fonctiongest positive sur l’intervalle[0,+∞[.
Pour tout réelxde[0,+∞[,g(x)≥0.
b)Soitx > 0. Puisqueg(x)≥0, on aex≥ x2
2 puis ex x ≥ x
2. Maintenant, comme lim
x→+∞
x
2 = +∞, on a montré que
x→+∞lim ex
x = +∞.
2) a)Soitx≥0. On a 1
4x≥0ete−x2 ≥0. Par suite, 1
4xe−x2 ≥0. Finalement, la fonctionfest positive sur[0,+∞[.
b)Pourx≥0, on af(x) = −1 2(−x
2e−x2)et donc d’après un théorème de croissances comparées
x→+∞lim f(x) = lim
x→+∞−1 2(−x
2e−x2) = lim
X→−∞−1
2XeX=0.
x→lim+∞f(x) =0.
On en déduit que l’axe des abscisses est asymptote à la courbeC en+∞.
c)La fonctionfest dérivable sur[0,+∞[en tant que produit de fonctions dérivables sur[0,+∞[et pour x≥0on a f′(x) =1
4(1×e−x2 +x×(−1
2e−x2) = 1 4(1−x
2)e−x2 = 1
8(2−x)e−x2. Pour tout réel positifxon a 1
8e−x2 > 0. Par suite, pourx≥0,f′(x)est du signe de2−x.
Commef(2) = 1
4×2e−1= 1 2×1
e = 1
2e, on en déduit le tableau de variations de la fonctionf
x 0 2 +∞
f′(x) + 0 −
1 2e
f
0 0
3) a) Le fonction fest continue sur[0,+∞[. Donc la fonctionF est définie et dérivable sur[0,+∞[et de plus F′ =f.
