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1) Restitution organisée de connaissances. a) La fonction g est dérivable sur [0, +∞[ en tant que somme de fonctions dérivables sur [0, +∞[ et pour x ∈ [0, +∞[, g

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Academic year: 2022

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1) Restitution organisée de connaissances.

a)La fonction g est dérivable sur [0,+∞[ en tant que somme de fonctions dérivables sur [0,+∞[ et pour x∈[0,+∞[, g(x) =ex−x. Pour tout réelx, on aex> xet donc la fonctiong est positive sur[0,+∞[. On en déduit que la fonction gest croissante sur [0,+∞[et admet donc un minimum en0égal à g(0)ou encore1. Puisque1 est positif, on en déduit finalement que la fonctiongest positive sur l’intervalle[0,+∞[.

Pour tout réelxde[0,+∞[,g(x)≥0.

b)Soitx > 0. Puisqueg(x)≥0, on aex≥ x2

2 puis ex x ≥ x

2. Maintenant, comme lim

x→+∞

x

2 = +∞, on a montré que

x→+∞lim ex

x = +∞.

2) a)Soitx≥0. On a 1

4x≥0etex2 ≥0. Par suite, 1

4xex2 ≥0. Finalement, la fonctionfest positive sur[0,+∞[.

b)Pourx≥0, on af(x) = −1 2(−x

2ex2)et donc d’après un théorème de croissances comparées

x→+∞lim f(x) = lim

x→+∞−1 2(−x

2ex2) = lim

X→−∞−1

2XeX=0.

x→lim+∞f(x) =0.

On en déduit que l’axe des abscisses est asymptote à la courbeC en+∞.

c)La fonctionfest dérivable sur[0,+∞[en tant que produit de fonctions dérivables sur[0,+∞[et pour x≥0on a f(x) =1

4(1×ex2 +x×(−1

2ex2) = 1 4(1−x

2)ex2 = 1

8(2−x)ex2. Pour tout réel positifxon a 1

8ex2 > 0. Par suite, pourx≥0,f(x)est du signe de2−x.

Commef(2) = 1

4×2e−1= 1 2×1

e = 1

2e, on en déduit le tableau de variations de la fonctionf

x 0 2 +∞

f(x) + 0 −

1 2e

f

0 0

3) a) Le fonction fest continue sur[0,+∞[. Donc la fonctionF est définie et dérivable sur[0,+∞[et de plus F =f.

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