Montrer que ∂f(0) +∂g(0)(∂(f+g)(0)

TD 7: Fonction support et sous-diérentiel

Exercice 1. Soient f, g:R→R, oùf(x) = 0six≤0 etf(x) = +∞six >0etg(x) =−√ x si x≥0 etg(x) = +∞ six <0. Montrer que

∂f(0) +∂g(0)(∂(f+g)(0).

Exercice 2. Soit f :E →R. Démontrer l'inégalité suivante (montrant une propriété de mono- tonie du sous-diérentiel) :

∀x, y∈dom(f),∀φ∈∂f(x),∀ψ∈∂f(y), hφ−ψ|x−yi ≥0.

Exercice 3. Soient f₁, . . . , f_N :E →R,f = max(f₁, . . . , f_N)et soit x₀ un point du domaine de la fonction f. On pose I(x0) ={i∈ {1, . . . , N} |fi(x0) =f(x0)}. Démontrer que

[

i∈I

∂fi(x0)⊆∂f(x0),

puis que conv [

i∈I

∂fi(x0)

!

⊆∂f(x0).

Exercice 4. Soit f :E →Rune fonction sur un espace vectoriel normé.

1. Montrer que φ ∈E^∗ appartient à ∂f(x) (où x ∈ E) si et seulement si x est le minimum global de f−φ.

2. En déduire que si f est strictement convexe et semi-continue inférieurement, alors pour toutφ dansdom(f^∗) on aCard(∂f^∗(φ))≤1.

Exercice 5. Soit f :Rⁿ→Rune fonction convexe continue.

1. (Semi-continuité du sous-diérentiel) Soit x_n une suite convergente de limite x ∈ Rⁿ et s_n∈∂f(x_n) une suite convergente de limites∈Rⁿ. Montrer ques∈∂f(x).

2. Pour x∈Rⁿ, on dénit S=

n

s∈Rⁿ;∃x_n→x, t.q. f dérivable en xn et lim

n→∞∇f(xn) =s o

K= convS.

(i) En utilisant la question précédente, démontrer que K⊆∂f(x). Le but des questions suivantes est de montrer l'inclusion réciproque.

(ii) Soit v∈Rⁿ. Montrer que pour tout tn= 1/n, il existe vn∈Rⁿ tel quekv_n−vk ≤tn

et tel que f est diérentiable en x_n=x+t_nv_n.

Indication : f est diérentiable p.p. =⇒ ∃y∈B(x+tnv, t²_n) tq f diérentiable en y.

Vérier alors que vn= (x−y)/tn satisfait les hypothèses de la question.

(iii) En utilisant ∇f(x_n)⊆∂f(x_n), montrer que

f(xn)−f(x)≤ h∇f(xn)|x_n−xi.

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(iv) Quitte à extraire une sous-suite, on peut suppose que la suite (∇f(x_n))n converge vers un point s∈S (pourquoi ?). Montrer que

f⁺(x;v) = lim

n→+∞

f(x+t_nv)−f(x) tn

= lim

n→+∞

f(x+t_nv_n)−f(x) tn

≤ lim

n→∞h∇f(x_n)|v_ni=hs|vi Pour résumer, les trois questions précédente démontrent donc que

∀v∈Rⁿ,∃s∈S, f⁺(x;v)≤ hv|si.

(v) En utilisant un théorème du cours (justier), on obtient que f⁺(x;v) = h_∂f(x)(v). Déduire des questions précédentes queh_∂f(x)(v)≤h_K, puis que∂f(x)⊆K. Conclure.

3. Application. On suppose qu'il existe un champs de vecteur G: Rⁿ → Rⁿ continu tel que pour tout x∈Rⁿ, G(x)∈∂f(x). Montrer que f est alors de classeC¹.

Exercice 6. SoitSun ensemble non vide d'un espace vectoriel norméE, etK= convS. Il s'agit ici de démontrer que hS =hK (autrement dit, la fonction support ne permet pas de distinguer un ensemble de son enveloppe convexe fermée).

1. Montrer que h_S ≤h_K.

2. On s'intéresse à l'inégalité réciproque. Commencer par démontrer que pour tout point x∈conv(S) on a

∀v∈E,hx|vi ≤h_S(v), puis en déduire queh_conv(S)≤h_S. Conclure.

3. Application SoitK1, . . . , Kn des convexes fermés non vides d'un espace vectoriel norméE. Montrer que h= max1≤i≤nh_Ki est la fonction support deK = convS oùS =∪_1≤i≤nK_i.

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