UPS, Licence MIA Math-M´eca 3`eme semestre, TD d’alg`ebre lin´eaire, Feuille 4 (novembre 2008)
Exercice 1. Soitf un endomorphisme d’un R-espace vectoriel V.
a) On suppose que f annule les polynˆomesX2+X et X2−X. Montrer que f = 0.
b) On suppose quef annule les polynˆomes X5−1 et X2−2X+ 1. Montrer que f = idV.
c) On suppose quef annule les polynˆomesX3−X, X3−2X2+X et X3− X2−X + 1. Montrer que f = idV.
Exercice 2. Soient V un R-e.v. etf ∈ L(V) tel que f ◦f −3f + 2id = 0.
a) Montrer que f est diagonalisable.
b) Montrer que f est un isomorphisme.
c) Calculer f−1 en fonction de f. d) Calcuer f3 en fonction de f.
e) Peut-on calculer fn en fonction de f ?
Exercice 3. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel (S) :
x0=x−y+ 3z y0 =−2x+ 2y+ 2z
z0 =−x+y+ 5z o`u les inconnues sont les fonctions x, y, z:R→R.
Exercice 4. Soient V un e.v. de dimension n, f ∈ L(V), m son polynˆome minimal et P son polynˆome caract´eristique. (Rappel : m divise P et P divise mn). On supposef nilpotent.
a) Pr´eciser dans ce cas m et P.
b) Montrer que si f est diagonalisable, alorsf = 0.
Exercice 5. Soit (V, < , >) un espace euclidien (non r´eduit au vecteur nul).
On pose ϕ(x, y) =a < x, x >+b < x, y > +c < y, y >. Pour quelles valeurs de a, b, c∈R ϕ est-elle un produit scalaire surE ?
Exercice 6. Soient a, b, c∈R.
a) Montrer que |6a+ 3b+ 2c| ≤7√
a2+b2+c2. Quand a-t-on ´egalit´e ? b) Montrer que 2a+ 3b+ 4c≤ p
29(a2+b2+c2). Quand a-t-on ´egalit´e ? c) Montrer que a+b+c ≤7√
a2+b2+c2. Quand a-t-on ´egalit´e ? d) Montrer que 3a+ 4b≤5√
a2+b2+c2. Quand a-t-on ´egalit´e ?
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Exercice 7. Soient a1, . . . , an ∈R∗+ t.q. Pn
i=1ai ≤1.
a) Montrer que Pn i=1 1
ai ≥n2.
(indication : on pourra ´ecrire n=P√ai.√1ai).
b) Quand a-t-on ´egalit´e ?
c) Que peut-on dire si lesai ne sont plus suppos´es positifs ?
Exercice 8. SoientEeuclidien etu:E→Eune application v´erifiantu(0) = 0 et ∀x, y∈Eku(x)−u(y)k=kx−yk.
a) Montrer que ∀x, y ∈V < u(x), u(y)>=< x, y >.
b) Montrer que uest lin´eaire.
c) Montrer que uest injective.
d) Si E est de dimension finie, montrer que uest surjective.
e) Montrer (par un contre-exemple de dimension infinie) que u peut ne pas ˆetre surjective.
Exercice 9. PourP, Q∈E:=Rn[X] on pose < P, Q >=R1
0 P(t)Q(t)dt.
a) Montrer que cette formule d´efinit un produit scalaire sur E.
b) Calculer la norme d’un polynˆomeP ∈E en fonction de ses coefficients.
c) Ecrire l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz dans le casn= 2.
d) Soit f la forme lin´eaire sur E d´efinie parf(P) =P(1/3). D´emontrer qu’il existe un unique Q∈E tel que ∀P ∈E, f(P) =< P, Q >.
e) Pour n= 1,2,3, calculerQ.
Exercice 10. Soient Eun espace euclidien,F un sous-espace, (e1, . . . , em) une base orthonorm´ee de F, pla projection orthogonale sur F, q celle sur F⊥, s la sym´etrie orthogonale par rapport `aF,t celle par rapport `a F⊥.
a) Montrer que ∀x∈ E, p(x) = Pm
i=1 < x, ei > ei, puis exprimer de mˆeme q, s, t.
b) PourE =R3 euclidien et F = le plan d’´equationx+ 2y−3z= 0, donner dans la base canonique les matrices de pet s.
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