|z|2 et f(z) =z2z.¯ ii) Soitf une fonction holomorphe sur le disqueD(0, r), montrer que la fonctionz7→f(¯z) est aussi holomorphe sur D(0, r)

Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche

Analyse complexe 14 janvier 2016

Feuille 1

Fonctions holomorphes

Exercice 1. – D´erivabilit´e complexe

i) Soit f la fonction d´efinie sur C par f(z) = ¯z. D´eterminer l’ensemble des points o`u f C–d´erivable. La fonction f est-elle holomorphe ? Mˆemes questions pour f(z) = |z|² et f(z) =z²z.¯

ii) Soitf une fonction holomorphe sur le disqueD(0, r), montrer que la fonctionz7→f(¯z) est aussi holomorphe sur D(0, r).

iii) Soit f :C\ {0} →Cla fonction d´efinie par

f(x+iy) = xy(x+iy) x²+y²

Montrer quef se prolonge par continuit´e en 0 et poss`ede des d´eriv´ees partielles qui satisfont les ´equations de Cauchy-Riemann en 0, mais n’est pas diff´erentiable en 0.

iv) Les fonctions d´efinies par f(x+iy) = x+ 2ixy et g(x+iy) = _x2+y^{x 2} −i_x2+y^{y 2} sont-elles holomorphes sur leur domaine de d´efinition ?

v) Trouver les fonctions holomorphes surCdont la partie r´eelle estu(x+iy) =x²−y²−x−y.

Exercice 2. – Caract´erisations des fonctions holomorphes constantes

SoitU un ouvert connexe deCetf :U →Cune fonction holomorphe. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :

i)f est constante ; ii) Ref est constante ; iii) Imf est constante ; iv)|f|est constante.

Que peut-on dire d’une fonction holomorphe `a valeurs r´eelles ?

Exercice 3. – Conditions de Cauchy-Riemann

Soit f une fonction diff´erentiable sur un ouvert U du plan. Pour r ≥ 0 et θ ∈ R, on pose g(r, θ) = f(rcosθ, rsinθ). Comment s’expriment les conditions de Cauchy-Riemann pourf en fonction des d´eriv´ees partielles de g?

Exercice 4. – Manipulation des op´erateurs _∂z^∂ et _∂^∂_z¯

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvertD⊂C. V´erifier les ´egalit´es suivantes :

i) ∂Ref

∂z = f⁰

2 ; ii) ∂|f|

∂z = f⁰|f|

2f si f ne s⁰annule pas ; iii) ∂²|f|²

∂z∂z¯ = f⁰

2.

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Exercice 5. – S´eries enti`eres

i) Soit (αk)k une suite de nombres complexes non nuls, convergeant vers 0 : trouver les s´eries enti`eres s’annulant en tous lesα_k.

ii) Montrer que la somme f d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R est une fonction analytique surD(0, R) (autrement dit qu’elle est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de tout point de D(0, R)).

iii) Soitf une fonction continue sur le disque unit´e ferm´e ∆ deC, holomorphe dans ∆ : montrer que f est limite uniforme sur ∆ de fonctions polynomiales.

Exercice 6. – Points singuliers SoitP

anzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence 0< R <∞, de sommef. Un pointadu cercle de convergenceC_Rest ditr´egulier sif se prolonge en une fonction analytique au voisinage de a,singulier sinon.

i) Montrer que l’ensemble des points r´eguliers est un ouvert deC_R.

ii) Montrer que la s´erie a au moins un point singulier sur son disque de convergence.

iii) D´eterminer les points singuliers deP zⁿ. iv) V´erifier queP

z²ⁿ a pour rayon de convergence 1. Montrer que

∀ k, l∈N, f

te^2ikπ/2l −−−→

t→1⁻ +∞.

En d´eduire que les e^2ikπ/2l (k, l∈N) sont des points singuliers de la s´erie, puis que tous les points du cercle de convergence sont singuliers.

Exercice 7. – Fonctions harmoniques

Soit U un ouvert deC. Une application u:U → Rest dite harmonique si elle est de classeC² et v´erifie ∆u= ^∂_∂x^2u2 +_∂y^∂22^u = 0 (l’op´erateur ∆ = _∂x^∂22 +_∂y^∂22 s’appelle le laplacien).

i) Montrer que ∆ = 4_∂z∂^∂2_z¯.

ii) Soitf une fonction holomorphe surU : montrer que sa partie r´eelle et sa partie imaginaire sont harmoniques sur U.

iii) Montrer que si u:U → R est harmonique, alors la fonction g = ^∂u_∂z est holomorphe sur U. En d´eduire que, si U est simplement connexe, toute fonction harmonique sur U s’´ecrit comme la partie r´eelle d’une fonction holomorphe surU.

iv) Trouver toutes les fonctions holomorphes sur C dont la partie r´eelle est ´egale `a u, o`u u(x+iy) =e^−x(xsiny−ycosy).

v) Que dire d’une fonction holomorphef telle que |f|² est harmonique ?

Exercice 8. – Principe des z´eros isol´es

Soitf,gholomorphes sur un ouvert connexeU ⊂C. On suppose quegn’est pas identiquement nulle, et que fg¯est `a valeurs r´eelles. Montrer qu’il existe λ∈C tel quef =λg.

2

Exercice 9. – Principe du maximum

SoitU un ouvert connexe deCcontenant le disque unit´e ferm´e ∆, etf une fonction holomorphe sur U. Montrer que si f(∂∆) ⊂ R, alors f est constante (on pourra appliquer le principe du maximum `a la fonctione^if).

Exercice 10. – Th´eor`eme de Liouville et cons´equences

i) Soit f une fonction enti`ere : montrer que si elle est born´ee sur C, elle est n´ecessairement constante.

ii) Montrer que si f et g sont deux fonctions enti`eres telles que ∀z, |f(z)| ≤ |g(z)|, alors il existeλ∈Ctel quef =λg.

iii) En d´eduire le th´eor`eme de d’Alembert-Gauss (tout polynˆome complexe non constant admet une racine).

Exercice 11. – Logarithme

On consid`ere la fonction Log d´efinie pour|z−1|<1 par Logz=−P

k≥1 (1−z)^k

k . i) Montrer que, pour |z−1| ≤ ¹₂, on a|Logz| ≤ln_1−|z−1|¹ ≤2|z−1|.

ii) V´erifier que pour|z−1|<1, on a _dz^dLogz= ¹_z ete^Logz =z.

iii) Calculer Log

1+i√ 2

.

Exercice 12. – Int´egrales de Fresnel Montrer que

I = Z +∞

0

cos(x²)dx et J = Z +∞

0

sin(x²)dx

sont bien d´efinies. Calculer I etJ en int´egrant la fonction f :z7→ e^−z2 sur le chemin γR dont l’image est form´ee par le segment [0;R], l’arc de cercle de centre 0 et de rayon R donn´e par 0≤θ≤π/4 et le segment [0;Re^iπ/4].

Exercice 13. – Sinus cardinal Calculer

Z +∞

0

sin(x)

x dx `a l’aide de la fonction e^iz z .

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