Universit´e Paris Diderot Fonctions analytiques
Licence de Math´ematiques Ann´ee 2009-10
R. Lascar, L. Merel, ´E. Toubiana
EXAMEN du 15 juin 2010 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
1. Donner le rayon de convergence de la s´erie enti`ereP∞
n=0sin(ni)zn. 2. La fonctionz7→ |z|2est-elle holomorphe sur C?
3. Soit f une fonction enti`ere telle que la fonction z 7→f(z)2+f(z) + 1 est born´ee sur C. Montrer quef est constante.
4. Soitf une fonction enti`ere telle que|f(z)| ≤1/n(nentier>0 etzun nombre complexe tel que|z|< n).
Montrer quef est constante.
5. Consid´erons la fonction d’une variable complexe f : z7→ 4z+33z+4. Montrer que f est m´eromorphe surC.
Montrer que|f(z)|= 1 lorsque|z|= 1. En d´eduire que|f(z)|<1 lorsque|z|<1.
6. Soient z1, z2,...,zn des nombres complexes distincts. Montrer qu’il existe une fonction enti`ere dont les z´eros sont tous simples et sont pr´ecis´ement z1, z2,...,zn. Une telle fonction est-elle unique `a une constante multiplicative pr`es ?
7. Existe-t-il une fonction enti`ere qui s’annule exactement en{1n/n∈Z, n >0}? 8. SoitRun nombre r´eel >0. Consid´erons l’int´egrale
Z
C(0,R)
1
2z2−5z+ 2dz.
Pour quelles valeurs deR est-elle d´efinie ? La calculer en fonction deR.
9. Quels sont les pˆoles et les r´esidus de la fonctionz7→ z2+z+11 ? Calculer l’int´egrale
Z +∞
−∞
1
z2+z+ 1dz.
10. Quel est l’indice du lacet compos´e des cheminst7→e2iπt,t7→1 +t, t7→2e−2iπt,t7→2−t par rapport au point 0 ? (Faire un dessin.)
