COURS DE MATH ´EMATIQUES PREMI `ERE ANN ´EE (L1) UNIVERSIT ´E DENIS DIDEROT PARIS 7
Marc HINDRY
Introduction et pr´esentation. page 2
1 Le langage math´ematique page 4
2 Ensembles et applications page 8
3 Groupes, structures alg´ebriques page 23
4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33
5 L’anneau des entiers Z page 46
6 L’anneau des polynˆomes page 53
7 Matrices page 65
8 Espaces vectoriels page 74
9 Applications lin´eaires page 84
10 Introduction aux d´eterminants page 90
11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace page 96
Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire page 105
12 Suites de nombres r´eels ou complexes page 109
13 Limites et continuit´e page 118
14 D´eriv´ees et formule de Taylor page 125
15 Int´egration page 135
16 Quelques fonctions usuelles page 144
17 Calcul de primitives page 153
18 Int´egrales impropres page 162
19 Courbes param´etr´ees et d´eveloppements limit´es page 167
20 Equations diff´erentielles page 178
21 Fonctions de plusieurs variables page 189
Tous les chapitres sont importants. Le premier chapitre est volontairement bref mais fondamental : il y aura int´erˆet `a revenir sur les notions de langage math´ematique et de raisonnement tout au long du cours, `a l’occasion de d´emonstrations. Les chapitre 19 et 20 reposent sur une synth`ese de l’alg`ebre (lin´eaire) et de l’analyse (calcul diff´erentiel et int´egral) tout en ´etant assez g´eom´etriques. Le chapitre 21 (fonctions de plusieurs variables) appartient en pratique plutˆot `a un cours de deuxi`eme ann´ee; il a ´et´e ajout´e pour les
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etudiants d´esirant anticiper un peu ou ayant besoin, par exemple en physique, d’utiliser les fonctions de plusieurs variables et d´eriv´ees partielles, d`es la premi`ere ann´ee.
L’ordre des chapitres. L’ordre choisi n’est que l’un des possibles. En particulier on pourra vouloir traiter l’“analyse” (chapitres 12-20) en premier : pour cela on traitera d’abord le chapitre sur les nombres r´eels et complexes (ou la notion de limite est introduite tr`es tˆot), le principe de r´ecurrence et on grapillera quelques notions sur les polynˆomes et l’alg`ebre lin´eaire. La s´equence d’alg`ebre lin´eaire (chapitres 7-11) est tr`es inspir´ee de la pr´esentation par Mike Artin (Algebra, Prentice-Hall 1991) mais on peut choisir bien d’autres pr´esentations. On pourra aussi par exemple pr´ef´erer ´etudierZ avant R et C (du point de vue des constructions, c’est mˆeme pr´ef´erable!). Le chapitre 16 sur les fonctions usuelles peut ˆetre abord´e `a peu pr`es `a n’importe quel moment, quitte `a s’appuyer sur les notions vues en terminale.
Nous refusons le point de vue : “... cet ouvrage part de z´ero, nous ne supposons rien connu...”. Au contraire nous pensons qu’il faut s’appuyer sur les con- naissances de terminale et sur l’intuition (notamment g´eom´etrique). Il semble parfaitement valable (et utile p´edagogiquement) de parler de droites, courbes, plans, fonction exponen- tielle, logarithme, sinus, etc ... avant de les avoir formellement introduit dans le cours. Il semble aussi dommage de se passer compl`etement de la notion tr`es intuitive d’angle sous pr´etexte qu’il s’agit d’une notion d´elicate `a d´efinir rigoureusement (ce qui est vrai).
Illustrations : Nous avons essay´e d’agr´ementer le cours d’applications et de motiva- tions provenant de la physique, de la chimie, de l’´economie, de l’informatique, des sciences humaines et mˆeme de la vie pratique ou r´ecr´eative. En effet nos pensons que mˆeme si on peut trouver les math´ematiques int´eressantes et belles en soi, il est utile de savoir que beaucoup des probl`emes pos´es ont leur origine ailleurs, que la s´eparation avec la physique est en grande partie arbitraire et qu’il est passionnant de chercher `a savoir `a quoi sont appliqu´ees les math´ematiques.
Indications historiques Il y a h´elas peu d’indications historiques faute de temps, de place et de comp´etence mais nous pensons qu’il est souhaitable qu’un cours contienne des allusions : 1) au d´eveloppement historique, par exemple du calcul diff´erentiel 2) aux probl`emes ouverts (ne serait-ce que pour mentionner leur existence) et aux probl`eme r´esolus disons dans les derni`eres ann´ees. Les petites images (math´ematiques et philath´eliques) incluses `a la fin de certains chapitres sont donc une invitation `a une recherche historique.
Importance des d´emonstrationsLes math´ematiques ne se r´eduisent pas `a l’exac- titude et la rigueur mais quelque soit le point de vue avec lequel ont les aborde la notion de d´emonstration y est fondamentale. Nous nous effor¸cons de donner presque toutes les d´e- monstrations. L’exception la plus notable est la construction des fonctions cosinus et sinus, pour laquelle nous utiliserons l’intuition g´eom´etrique provenant de la repr´esentation du cercle trigonom´etrique ; l’int´egrabilit´e des fonctions continues sera aussi en partie admise.
Il y a l`a une difficult´e qui sera lev´ee avec l’´etude des fonctions analytiques (faite en seconde ann´ee).
Difficult´e des chapitres Elle est in´egale et bien sˆur difficile `a ´evaluer. Certains chapitres d´eveloppent essentiellement des techniques de calculs (chapitres 6, 7, 10, 16, 17, 18, 19, 20), le chapitre 11 reprend du point de vue de l’alg`ebre lin´eaire des notions vues en terminales, d’autres d´eveloppent des concepts (chapitres 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 15) et sont donc en ce sens plus difficiles ; le chapitre 14 est interm´ediaire dans cette classification un peu arbitraire. Enfin le chapitre 21 n’est destin´e `a ˆetre appronfondi qu’en deuxi`eme ann´ee.
R´esum´es En principe les ´enonc´es importants sont donn´es sous l’entˆete “th`eor`eme”
suivis par ordre d´ecroissant d’importance des “propositions” et des “lemmes”. Un “r´esu- m´e” de chaque chapitre peut donc ˆetre obtenu en rassemblant les ´enonc´es des th´eor`emes (et les d´efinitions indispensables `a la compr´ehension des ´enonc´es). Nous avons seulement inclus un chapitre r´esumant et synth´etisant les diff´erents points de vue d´evelopp´es en alg`ebre lin´eaire (apr`es le chapitre 11).
Archim`ede [Aρχιµηδης´ ] (∼ 287–∼ 212)
Al Khw¯arizm¯ι (fin VIIIe, d´ebut IXe)
CHAPITRE 1 LE LANGAGE MATH ´EMATIQUE
Ce chapitre, volontairement court, pr´ecise les modalit´es du raisonnement math´ematique.
En effet on n’´ecrit pas un texte math´ematique comme un texte de langage courant : ce serait th´eoriquement possible mais totalement impraticable pour de multiples raisons (le raccourci des “formules” est notamment une aide pr´ecieuse pour l’esprit).
Une d´efinition pr´ecise le sens math´ematique d’un mot ; par exemple :
D´efinition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆeme priv´e d’un
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element. Un ensemble est infini si il n’est pas fini.
On voit tout de suite deux difficult´es avec cet exemple : d’abord il faut avoir d´efini
“ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆetre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre suivant) pour que la d´efinition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm´ediat que la d´efinition donn´ee co¨ıncide avec l’id´ee intuitive que l’on a d’un ensemble fini (c’est en fait vrai).
Un ´enonc´e math´ematique (nous dirons simplement ´enonc´e) est une phrase ayant un sens math´ematique pr´ecis (mais qui peut ˆetre vrai ou faux) ; par exemple :
(A) 1=0
(B) Pour tout nombre r´eel x on a x2 ≥0 (C) x3+x= 1
sont des ´enonc´es ; le premier est faux, le second est vrai, la v´eracit´e du troisi`eme d´epend de la valeur de la variable x. Par contre, des phrases comme “les fraises sont des fruits d´elicieux”, “j’aime les math´ematiques” sont clairement subjectives. L’affirmation :
“l’amiante est un canc´erog`ene provoquant environ trois mille d´ec`es par an en France et le campus de Jussieu est floqu´e `a l’amiante” n’est pas un ´enonc´e math´ematique, mˆeme si l’affirmation est exacte. Nous ne chercherons pas `a d´efinir pr´ecis´ement la diff´erence entre
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enonc´e math´ematique et ´enonc´e non math´ematique.
Unth´eor`emeest un ´enonc´e vrai en math´ematique ; il peut toujours ˆetre paraphras´e de la mani`ere suivante : “Sous les hypoth`eses suivantes : .... , la chose suivante est toujours vraie :... ”. Dans la pratique certaines des hypoth`eses sont omises car consid´er´es comme vraies a priori : ce sont les axiomes. La plupart des math´ematiciens sont d’accord sur un certain nombre d’axiomes (ceux qui fondent la th´eorie des ensembles, voir chapitre suivant) qui sont donc la plupart du temps sous-entendus.
Par exemple nous verrons au chapitre 5 que :
TH ´EOR `EME: Soitnun nombre entier qui n’est pas le carr´e d’un entier alors il n’existe pas de nombre rationnel x tel que x2 = n (en d’autres termes √
n n’est pas un nombre rationnel).
Pour appliquer un th´eor`eme `a une situation donn´ee, on doit d’abord v´erifier que les hypoth`eses sont satisfaites dans la situation donn´ee, traduire la conclusion du th´eor`eme dans le contexte et conclure.
Par exemple : prenons n = 2 (puis n= 4) alors 2 n’est pas le carr´e d’un entier donc le th´eor`eme nous permet d’affirmer que √
2 n’est pas un nombre rationnel. Par contre l’hypoth`ese n’est pas v´erifi´ee pourn = 4 et le th´eor`eme ne permet pas d’affirmer que √
4 n’est pas un nombre rationnel (ce qui serait d’ailleurs bien sˆur faux!).
Les connecteurs logiques permettent de fabriquer de nouveaux ´enonc´es `a partir d’au- tres ; nous utiliserons exclusivement les connecteurs suivants :
non : non(A) est vrai si et seulement si (A) est faux
ou : (A)ou(B) est vrai si et seulement si (A) est vrai ou (B) est vrai.
et : (A)et(B) est vrai si et seulement si (A) est vrai et (B) est vrai.
implique (en symbole ⇒) : (A) implique (B) est vrai si et seulement si chaque fois que (A) est vrai alors (B) est aussi vrai.
´equivaut (en symbole ⇔) : (A) ´equivaut (B) est vrai si (A) est vrai chaque fois que (B) est vrai et r´eciproquement.
Une d´emonstration logique (nous dirons ensuite simplement une d´emonstration) est un ´enonc´e, comportant ´eventuellement comme variable d’autres ´enonc´es de sorte qu’il soit vrai quel que soit les ´enonc´es variables. Voici des exemples de d´emonstration :
Si (A)⇒(B) et (B)⇒(C) alors (A)⇒(C) non(non(A)) ´equivaut `a (A)
Si (A)⇒(B) etnon(B) alors non(A).
Si (A)ou(B) etnon(B) alors (A).
Bien entendu, les d´emonstrations “int´eressantes” en math´ematiques sont plus longues et sont compos´ees de chaˆınes d’implications ´el´ementaires comme celles qui pr´ec`edent. Une mani`ere simple (mais fastidieuse) de v´erifier ce type d’´enonc´e est faire un tableau avec les diverses possibilit´es : chaque ´enonc´e est vrai ou faux (V ou F). Par exemple, pour le premier ´enonc´e il y a huit possibilit´es :
A B C A⇒B B⇒C A⇒C
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V F
F V V V V V
F V F V F V
F F V V V V
F F F V V V
On constate bien que chaque fois que A ⇒ B et B ⇒ C sont simultan´ement vrais alors A⇒C est vrai aussi.
Exemples de raisonnements parmi les plus utilis´es : Raisonnement cas par cas :
Sch´ema : si (A)ou(B), (A)⇒(C) et (B)⇒(C), alors C Raisonnement par contrapos´ee :
Sch´ema : si (A)⇒(B), alors non(B)⇒non(A) Raisonnement par l’absurde :
Sch´ema : si (B)⇒(A)et non(A), alors non(B) .
On voit qu’il n’y a aucune difficult´e fondamentale avec les raisonnements logiques, la seule difficult´e est parfois d’arriver `a enchaˆıner les d´eductions. A titre d’exercice on v´erifiera les d´eductions suivantes :
non((A)ou(B))⇔(non(A)et non(B)) non((A)et(B))⇔(non(A)ou non(B)) non(A)ou(B)⇔(A⇒B)
(A et B)ou(C)⇔(A ou C)et(B ou C)
Les quantificateurs permettent de transformer un ´enonc´e contenant une variable en un ´enonc´e “absolu” : nous utiliserons exclusivement deux quantificateurs :
il existe (en symbole ∃) pour tout (en symbole ∀)
Exemple : consid´erons les ´enonc´es suivants contenant la variable x∈R.
A(x) :x2−1 = 0 B(x) :x2+x=x(x+ 1)
C(x) :x+ 1 =x
L’affirmation (∀x ∈R non(C(x))) tout comme (∃x ∈R A(x)) est vraie. Par contre il est faux que : ∀x∈R A(x)
La n´egation de ∀x A(x) est ∃x non(A(x)). La n´egation de ∃x A(x) est ∀x non(A(x)).
Par exemple la n´egation de :
(A) : ∀x∈R, ∀∈R∗+, ∃δ ∈R+∗, ∀y ∈R, |x−y| ≤δ ⇒ |f(x)−f(y)| ≤ est :
non(A) : ∃x∈R, ∃ ∈R∗+, ∀δ ∈R+∗, ∃y∈R, |x−y| ≤δ et|f(x)−f(y)|>
Remarque : l’´enonc´e (A) ´ecrit que la fonction f est continue en tout point alors que non(A) ´ecrit qu’il existe un point o`u f n’est pas continue (voir chapitre 13).
Commentaires : la n´ecessit´e de la formalisation du raisonnement math´ematique et de la notion d’ensemble a accompagn´e historiquement l’apparition de paradoxes au tour- nant de ce si`ecle. Ceux-ci sont essentiellement de deux types : paradoxes s´emantiques et paradoxes logiques.
Un exemple de paradoxe s´emantique est le suivant : on choisit un dictionnaire de langue fran¸caise et on consid`ere l’ensemble S des nombres entiers que l’on peut d´efinir `a l’aide de moins de vingt mots de ce dictionnaire. Comme le nombre de mots est fini et le nombre de phrase de moins de vingt mots est fini, l’ensembleS est fini ; il existe donc “Le plus petit nombre entier que l’on ne peut pas d´efinir en moins de vingt mots”. Mais nous venons de le d´efinir en moins de vingt mots!
Un exemple de paradoxe logique (dˆu `a Russel) est le suivant : consid´erons l’ensemble S form´e de tous les ´el´ements qui ne s’appartiennent pas `a eux-mˆemes ; en symboles :
S :={x|x /∈x}
Cet ensemble `a l’air inoffensif mais si on pense que S ∈ S alors on en d´eduit S /∈ S et inversement!
La m´ethode pour ´eliminer les paradoxes du premier type est de se restreindre au langage purement math´ematique (ou plus pr´ecis´ement de s´eparer langage et m´etalangage, nous ne pr´ecisons pas cette notion) : on se borne `a travailler avec des notions qui peuvent s’´ecrire en langage symbolique (id´ealement on pourrait penser `a ´ecrire tout en langage symbolique, mais on s’aper¸coit vite que pour des raisons de longueur, c’est impraticable).
La m´ethode pour ´eliminer les paradoxes du type “Russel” est de restreindre la notion d’ensemble ; en particulier on d´eclare qu’on ne peut pas former un ensemble seulement `a partir d’un ´enonc´e avec variables. Ainsi S :={x |A(x)} ne d´efinit pas n´ecessairement un ensemble ; par contre, si T est un ensemble alors S := {x ∈ T | A(x)} d´efinit encore un (sous-)ensemble.
Terminons ce premier chapitre par une description lapidaire de l’usage et de la place des math´ematiques au sein des autres sciences.
Un des paradigmes des sciences peut ˆetre succintement d´ecrit par le diagramme suiv- ant :
observation −→ mod´elisation
↓ ↓ Math.
exp´erience −→ pr´ediction
Concernant les applications des notions de ce cours en sciences indiquons par une fl`eche quelques unes des plus marquantes :
• Alg`ebre et Arithm´etique → informatique;
• Th´eorie des groupes → chimie;
• Calcul diff´erentiel et int´egral → physique;
• Equations diff´erentielles → physique, biologie, ´economie;
Exercice : (logique, in´egalit´es, . . .)
Sachant que les statistiques disponibles (code 163 de l’INSERM) indiquent 902 d´ec`es pour l’ann´ee 1994 par m´esoth´eliome de la pl`evre (cancer mortel, caus´e par l’inhalation de fibres d’amiante), discuter la compatibilit´e des d´eclarations suivantes du professeur Brochard, chercheur `a l’INSERM, membre du Comit´e Permanent Amiante (C.P.A) : (a) “Le m´esoth´eliome est un cancer rare, moins de 200 cas par an [en France]” (C.P.A, l’amiante et la sant´e, page 13, 1994). (b) “Au moins 150 m´esoth´eliomes dus `a l’amiante [par an en France]” (d´eclaration sur TF1, fin 1994). (c) “On aurait en fait 440 m´esoth´eliomes par an en France” (rapport destin´e au minist`ere du travail, novembre 1994)
“Environ 600 m´esoth´eliomes pleuraux en 1992, en France” (conf´erence internationale sur le m´esoth´eliome `a Cr´eteil, 1995)(∗)
Indications : on pourra utiliser les tables de v´erit´e et aussi le fait que le C.P.A a ´et´e cr´e´e et financ´e par les industriels de l’amiante et g´er´e par l’agence de communnication et lobbying
“Communications Economiques et Sociales” (C.E.S. 10 Avenue de Messine, 75008 Paris).
(∗) Post-Scriptum (1996) Le rapport INSERM sur “les effets sur la sant´e de l’amiante ” conclut qu’il y a au minimum 750 d´ec`es par an en France dus aux m´esoth´eliomes caus´es par l’amiante.
CHAPITRE 2 ENSEMBLES ET APPLICATIONS.
Georg Cantor, le fondateur de la th´eorie des ensembles d´efinissait un ensemble comme
“un groupement d’objets d´etermin´es et bien distincts, de notre perception ou de notre en- tendement, et que l’on appelle les ´el´ements de l’ensemble”. Nous consid`ererons la no- tion d’ensemble comme intuitive en gardant n´eanmoins en m´emoire le fait qu’on ne peut pas consid´erer “n’importe quoi” comme un ensemble si l’on veut ´eviter les contradictions.
Nous allons donc juste d´efinir les op´erations usuelles sur les ensembles (sous-ensembles, compl´ementaires, intersections, unions, produits, ensemble des parties) puis nous abordons les deux points cruciaux : la notion de fonction (ou application) qui est fondamentale dans toutes les math´ematiques et le concept d’infini avec l’exemple fondamental : l’ensemble des entiers naturels, not´e N, est infini.
2.1 ENSEMBLES
Dans la pratique il y a deux fa¸cons de construire ou d´ecrire des ensembles : en donnant la liste de ses ´el´ements, par exemple E := {0,1,2,3,5,7,8} est un ensemble, ou bien en d´ecrivant une caract´erisation des ´el´ements, par exemple nous admettrons que N :=
{n|nest un entier naturel}est un ensemble. Parmi les ensembles les plus importants nous
´
etudierons outre N d´ej`a cit´e, l’ensemble des nombres entiers relatifs, not´e Z, l’ensemble des nombres rationnels, not´e Q, l’ensemble des nombres r´eels, not´e R et l’ensemble des nombres complexes, not´eC.
Ensemble vide : il s’agit de l’ensemble ne contenant aucun ´el´ement ; on le note ∅; on peut aussi le d´efinir comme ∅:={x|x6=x}
Relations entre ´el´ements et ensembles :
Un ensemble E est donc une collection d’objets qu’on appelle ´el´ements ; pour chaque
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el´ementxon ´ecritx∈E (lire “xappartient `aE”). Si l’´el´ementxn’est pas dans l’ensemble E on ´ecrira x /∈E (lire “x n’appartient pas `a E”).
Par exemple il est clair que 4 ∈ N et 4 ∈ ∅. Quelque soit l’´/ el´ement x on a toujours x /∈ ∅.
On dit qu’un ensembleE estinclus dans un autre ensembleF (ce qu’on noteE ⊂F), si tous les ´el´ements de E sont aussi dans F ; en d’autres termes si x ∈E ⇒x ∈F. Deux ensembles sont ´egaux si ils ont les mˆemes ´el´ements ; en particulier :
E ⊂F et F ⊂E ⇔E =F
Par exemple∅ ⊂Nmais les ensembles ne sont pas ´egaux (doncnon(N⊂ ∅) ou encore N6⊂ ∅).
Op´erations sur les ensembles :
Sous-ensemble : si E est un ensemble et A(x) un ´enonc´e avec une variable x dans E, on peut fabriquer l’ensemble :
{x ∈E |A(x)}
Par exemple l’ensemble des nombres entiers pairs est d´ecrit par : P :={x ∈N | ∃y∈N, x= 2y}
Compl´ementaire : Soit F un sous-ensemble de E ; on d´efinit le compl´ementaire de F dans E que l’on note CEF (ou simplement CF si E est sous-entendu) comme l’ensemble des ´el´ements de E qui n’appartiennent pas `a F :
CEF :={x∈E |x /∈F}
Si F n’est plus n´ecessairement un sous-ensemble de E on emploiera la notation : E \F pour d´esigner {x∈E |x /∈F}.
Par exemple le compl´ementaire de P dans N est l’ensemble des nombres impairs : CNP =I :={x∈N| ∃y ∈N, x= 2y+ 1}
Intersection : siE etF sont deux ensembles on peut former un ensemble appel´e leur intersection not´ee E∩F et d´efinie par :
E∩F :={x∈E |x∈F}={x∈F |x ∈E}={x|x∈E etx∈F}
Par exemple, si E ={0,1,2,3,5,7,8} et P d´esigne l’ensemble des entiers pairs, alors E∩ P ={0,2,8}.
Union : siE etF sont deux ensembles on peut former un ensemble appel´e leur union et not´ee E∪F et d´efinie par :
E∪F :={x|x ∈E oux∈F}
Par exemple si E := {0,1,2,3,5,7,8} et F := {0,1,2,4,8,16,32} alors E ∪ F = {0,1,2,3,4,5,7,8,16,32}
Produit : Si x ∈ E et y ∈ F on peut fabriquer un nouvel ´el´ement appel´e couple et not´e (x, y), caract´eris´e par le fait que (x, y) = (z, t) si et seulement si x = z et y = t.
L’ensemble de ces couples s’appelle le produit (cart´esien) de E et F et se note : E×F :={(x, y)|x ∈E ety∈F}
Pour se repr´esenter un produit cart´esien on aura avantage `a avoir en tˆete l’exemple suivant : soit E := [0,3] (l’intervalle des nombres r´eels compris entre 0 et 3) et F := [0,1]
alors E×F est le rectangle de la figure suivante
Un autre exemple familier est celui du plan que l’on peut repr´esenter comme le produit R×R.
Ensemble des parties : Soit E un ensemble, on peut former un nouvel ensemble dont les ´el´ements sont les sous-ensembles de E et que l’on note P(E) :
P(E) :={F |F ⊂E}
Par exemple P(∅) = {∅} (ensemble avec un ´el´ement) mais on a aussi P({0,1}) = {∅,{0},{1},{0,1}}(ensemble avec quatre ´el´ements)
Remarque : on notera que l’on n’a pas donn´e de d´emonstration pour l’existence de l’union, du produit etc. En fait il faut comprendre ces ´enonc´es comme desaxiomesi.e. des
´
enonc´es ´el´ementaires que l’on admet ˆetre vrais et `a partir desquels on va d´emontrer toutes les autres affirmations. Le caract`ere extrˆemement intuitif (on a envie de dire “´evident” de ces axiomes fait qu’ils sont admis par presque tout le monde).
Calculs sur les ensembles : il est tr`es important de savoir calculer et raisonner sur les ensembles ; il faut aussi remarquer que le calcul sur les ensembles est enti`erement analogue au calcul sur les propositions ; en effet l’union correspond au connecteur ou, l’intersection correspond au connecteur et et la relation d’inclusion correspond `a l’implication, prendre le compl´ementaire correspond au connecteurnon : si les ´el´ements x deA sont caract´eris´es par la propri´et´e P(x) et ceux de B par la propri´et´e Q(x) alors :
Les ´el´ements x de A∪B sont caract´eris´es par la propri´et´eP(x)ou Q(x).
Les ´el´ements x de A∩B sont caract´eris´es par la propri´et´eP(x)et Q(x).
La relation A⊂B ´equivaut `a l’implication ∀x, P(x)⇒Q(x).
Les ´el´ements x de CEA sont caract´eris´es, parmi les ´el´ements de E par la propri´et´e non(A(x)).
Ainsi le calcul sur les ensembles peut toujours se ramener au calcul propositionnel ; voici une liste (non exhaustive) de formules o`uA, B, C, . . . sont des ensembles :
Formulaire A∩B =B∩A etA∪B=B∪A (commutativit´e)
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C et A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (associativit´e)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) etA∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (distributivit´e) CE(CEA) =A
(A⊂B)⇒(CEB⊂CEA)
CE(A∪B) = CEA∩CEB et CE(A∩B) = CEA∪CEB (loi de Morgan) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) et A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (A⊂B)et(C ⊂D)⇒A×C ⊂B×D
D´emonstration: D´emontrons la premi`ere formule de distributivit´e :
x ∈ A∩(B∪C)⇔ x ∈ A et(x ∈ B ou x ∈ C)⇔ (x ∈ A et x ∈B)ou(x ∈A et x ∈ C)⇔x∈(A∩B)∪(A∩C).
La loi de Morgan se d´emontre de mani`ere similaire :
x ∈C(A∪B)⇔non(x ∈A ou x∈B)⇔non(x∈A)et non(x∈B)⇔x∈CA∩CB Les autre d´emonstrations sont similaires et laiss´ees en exercice.
2.2 APPLICATIONS
D´efinition: Une application (oufonction) d´efinie surX et `a valeurs dans Y est une loi qui, `a tout ´el´ement de X fait correspondre un unique ´el´ement de Y. Si on note f cette application, l’´el´ement associ´e `a x par f est not´e f(x). L’ensemble X s’appelle l’ensemble de d´epart, l’ensemble Y s’appelle l’ensemble d’arriv´ee de f. On note souvent une fonction f :X →Y ou, si les ensemblesX et Y sont sous-entendus x7→f(x). L’´el´ement f(x) =y s’appelle l’image de x par f et x s’appelle un ant´ec´edent de y par f.
Remarque : une fonction peut ˆetre d´efinie par songraphe, un sous-ensemble Γ⊂X×Y qui poss`ede la propri´et´e suivante : ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ Γ et de plus (x, y) ∈ Γ et (x, y0)∈Γ⇒y=y0. Le graphe d’une fonction f est l’ensemble des couples (x, f(x)) pour x∈X.
Remarque : une phrase usuelle comme “la fonction cos(x)” comporte une ambig¨uit´e qui devient transparente si on augmente la phrase en “la fonction cos(x) est une bijection”
qui est manifestement fausse si on parle d’une fonction de R dans R et n´eanmoins vraie si l’on parle d’une fonction de [0, π] vers [−1,+1] (voir le chapitre 16).
Remarque : on ne fait pas de distinction entre fonction et application.
Exemples :
L’associationx 7→x2+ 1 d´efinit une application de R dans R.
L’associationx 7→√
x d´efinit une application de N dans R (mais pas de N dans N).
L’associationx 7→ x21−1 d´efinit une application de R\ {+1,−1} dans R.
La loi qui associe `a un point du plan Π son sym´etrique par rapport `a un point donn´e O, d´efinit une application de Π dans Π.
L’associationF 7→CEF d´efinit une application de P(E) dans P(E).
L’application qui `a tout ´el´ement x ∈ X associe x s’appelle l’application identique et se note idX.
Si f est une application de X dans Y et si X0 est un sous-ensemble de X, on peut d´efinir f0 larestriction de f `a X0 par : ∀x∈X0, f0(x) :=f(x).
Composition : Si f : X → Y et g: Y →Z sont deux applications, on peut d´efinir la compos´ee de f et g par (g◦f)(x) =g(f(x)). Une propri´et´e importante de la composition des applications est l’associativit´e :
PROPOSITION: La composition des applications est associative. C’est-`a-dire que si h:X →Y ,g :Y →Z et f :Z →W sont trois applications, alors(f ◦g)◦h =f◦(g◦h) (que l’on note donc simplement f ◦g◦h).
D´emonstration: En effet ∀x ∈ X, (f ◦(g ◦h)(x) = f((g◦h)(x)) = f(g(h(x))) et ((f ◦g)◦h)(x) = (f ◦g)(h(x)) =f(g(h(x))) sont bien ´egaux.
Exemples : Sif est donn´ee parx 7→ x21−1 deR\ {+1,−1}dansRet gest donn´ee par x 7→x2+ 1 de R dans R; alors g◦f est une application de R\ {+1,−1} dans R d´ecrite par g◦f(x) = (x21−1)2+ 1.
Si f est la sym´etrie du plan Π par rapport au point O, alors f ◦f =idΠ.
Il est souvent int´eressant de d´ecomposer une application (par exemple pour calculer sa d´eriv´ee) ; par exemple l’application d´efinie par f(x) := ecos(x)+ 13
se d´ecompose en f =g◦h◦k o`u k(x) = cos(x), h(x) =ex et g(x) = (x+ 1)3.
Il est naturel, disposant d’une fonctionf d’´etudier les ´equations du type : f(x) =f(y) ou encore y=f(x). Cela conduit `a la notion d’application injective ou surjective.
D´efinition: Une application f : X → Y est injective si (pour tout x, y ∈ X) l’´egalit´e f(x) =f(y) entraˆınex=y. En d’autres termes tout ´el´ement deY a au plus un ant´ec´edent ou encore est l’image d’au plus un ´el´ement de X.
Exemple : les fonctions x7→x+ 2 (de Rdans R) et x7→log(x) (deR∗+ dans R) sont injectives mais les fonctions x7→x2 et x7→sin(x) de R dans R ne sont pas injectives.
D´efinition: Une application f : X → Y est surjective si, pour tout y ∈ Y il existe x∈X tel que y=f(x). En d’autres termes tout ´el´ement de Y a au moins un ant´ec´edent.
Exemple : La fonction f d´efinie par f(x) = x+ 2 de R dans R est surjective. La fonction d´efinie par g(x) = x2 de R dans R n’est pas surjective. Par contre la “mˆeme”
fonction consid´er´ee de R dans R+ est surjective. On voit donc qu’il faut bien pr´eciser ensemble de d´epart et d’arriv´ee pour parler de surjectivit´e et d’injectivit´e.
Remarque : consid´erons les “mˆemes” fonctions mais sur des ensembles diff´erents. Les fonctions x 7→ x2 restreinte `a R+ et x 7→ sin(x) `a l’intervalle [−π2,π2] sont injectives. La fonction x 7→ x2 consid´er´ee de R dans R+ est surjective. On voit donc qu’il faut bien pr´eciser ensemble de d´epart et d’arriv´ee pour parler de surjectivit´e et d’injectivit´e.
D´efinition: Une application f : X → Y est bijective si elle est `a la fois injective et surjective. En d’autres termes tout ´el´ement de Y a exactement un ant´ec´edent.
Exemple : La fonction f de R dans R donn´ee par x 7→ x+ 2 est une bijection ; de mˆeme la fonction x7→log(x) est une bijection deR∗+ dans R.
Lorsque f : X → Y est une bijection, on peut d´efinir une application de Y dans X par la loi qui `a y associe l’unique ´el´ement x tel que y = f(x) (le fait que f soit bijective garantit exactement l’existence et l’unicit´e d’un tel x).
D´efinition: On appellebijection r´eciproqued’une bijectionf et on notef−1l’application caract´eris´ee par : x=f−1(y)⇔y =f(x). Il est clair que f−1 est aussi une bijection.
Exemple : la bijection r´eciproque dex7→x+ 2 est donn´ee parx7→x−2. La bijection r´eciproque de x 7→ log(x) de R∗+ dans R est la fonction x 7→ exp(x) de R dans R∗+. La sym´etrie par rapport `a un point du plan est sa propre bijection r´eciproque.
D´efinition: Soit f :E →F une application.
i) Si A est une partie de E on appelle image directe de A par f et on note f(A) l’ensemble :
f(A) :={y∈F | ∃x∈A, f(x) =y}
ii) Si B est une partie de F on appelle image r´eciproque de B par f et on note f−1(B) l’ensemble :
f−1(B) :={x ∈E |f(x)∈B}
Remarques : On prendra bien garde `a ne pas confondre l’application f−1 : P(F) → P(E) ainsi d´efinie (qui existe pour toute fonction f) avec la bijection r´eciproque f−1 : F →E (qui n’existe que si f est bijective).
On pourra v´erifier en exercice que :
(i) f est surjective si et seulement si F =f(E)
(ii) f est injective si et seulement si f :E →f(E) est une injection.
PROPOSITION: Soit f :E →F une application, on a les formules suivantes (i) Pour toutes parties A, B de E
f(A∪B) =f(A)∪f(B) , A⊂B ⇒f(A)⊂f(B) et f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) (les deux derniers ensembles sont, en g´en´eral, distincts).
(ii) Pour toutes partiesA, B deF, on af−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B), f−1(A∩B) = f−1(A)∩f−1(B), A⊂B⇒f−1(A)⊂f−1(B) et ´egalement f−1(CF A) = CEf−1(A) D´emonstration: Supposons y ∈ f(A∪B) c’est-`a-dire y = f(x) avec x ∈ A∪B soit encore x ∈ A ou x ∈ B ; alors y = f(x) ∈ f(A) ou y = f(x) ∈ f(B) donc y = f(x) ∈ f(A)∪f(B) ; ainsif(A∪B)⊂f(A)∪f(B). Si maintenanty ∈f(A)∪f(B) alorsy=f(x0) avec x0 ∈A ou bien y =f(x00) avec x00 ∈ B donc il existe x∈ A∪B (´egal `a x0 ou x00) tel que y =f(x) donc y∈f(A∪B) et f(A)∪f(B)⊂f(A)∪f(B) et finalement l’´egalit´e des deux ensembles.
Supposons y ∈ f(A∩B), alors y = f(x) avec x ∈ A∩B donc x ∈ A et y = f(x) ∈ f(A) mais aussi x ∈ B donc y = f(x) ∈ f(B) ; on peut conclure y ∈ f(A)∩f(B) et f(A∩B) ⊂ f(A)∩f(B). L’exemple suivant montre qu’on n’a pas en g´en´eral ´egalit´e : prenons E := {a, b}, F := {c}, f(a) = f(b) = c, A := {a} et B := {b}. Alors ∅ = f(A∩B)6=f(A)∩f(B) ={c}.
Pour changer un peu raisonnons par ´equivalence : x∈f−1(A∪B) ´equivaut `a f(x)∈ A∪B, qui ´equivaut `a f(x)∈A ou f(x)∈B, qui ´equivaut `a x ∈f−1(A) ou x ∈f−1(B) , qui ´equivaut `a x∈f−1(A)∪f−1(B). Ainsi on a bien f−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B).
On fait de mˆeme avec l’intersection ; enfinx∈f−1(CF A) ´equivaut `af(x)∈CF A, qui
´
equivaut `a f(x) ∈/ A ou encore non(f(x)∈ A), qui ´equivaut `a non(x ∈ f−1(A)) ´equivaut
`
a x∈CEf−1(A) ; d’o`u l’´egalit´e f−1(CF A) = CEf−1(A).
2.3 RELATION D’ORDRE ET D’EQUIVALENCE
Une relation sur un ensemble E est un ´enonc´e R(x, y) (ou xRy) `a deux variables : si R(x, y) est vrai on dira que x est reli´e `a y par la relation R. Les deux exemples les plus importants sont les relations d’ordre et d’´equivalence. Une relation d’ordre ´etablit une r`egle de comparaison entre tous ou certains des ´el´ements : par exemple dans un dictionnaire les mots sont class´es suivant une certaine loi, on peut classer les habitants d’un pays par ordre croissant d’ˆage. Une relation d’´equivalence regroupe les ´el´ements d’un ensemble par des propri´et´es mutuellement exclusives. Par exemple on peut regrouper ensemble les mots commen¸cant par la mˆeme lettre, on peut s´eparer les habitants d’un pays d’apr`es leur sexe, leur ann´ee de naissance etc...
2.3.1 Relation d’ordre.
D´efinition: Une relation d’ordre sur un ensemble E est une relation R telle que :
(i) (R´eflexivit´e) Pour tout x∈E on ax Rx.
(ii) (Transitivit´e) Six Ry et y Rz alors xRz (iii) (Antisym´etrie) Si xRy et yRx alors x =y.
Remarques : ces propri´et´es correspondent aux propri´et´es de la relation “ˆetre plus petit que, ou ´egal”. En fait en math´ematique la phrase “ˆetre plus petit que” doit presque toujours s’interpr´eter comme “ˆetre plus petit ou ´egal `a”. Si l’on veut ajouter que les
´
el´ements sont distincts on dira “ˆetre strictement plus petit”.
Exemples : Les ensembles N, Z, Q, R sont tous munis d’une relation d’ordre ≤ que l’on peut d´ecrire par : x≤y si et seulement siy−x est positif (ou nul). Six≤y etx 6=y on ´ecrit x < y. La notion d’ordre permet de caract´eriser les intervalles :
D´efinition: SoitE l’un des ensemblesN,Z,QouR. Unintervalleest un sous-ensemble I tel que, si x, y∈I et x ≤z ≤y alors z ∈I.
Par contre l’ensemble C n’a pas de relation d’ordre naturelle et la notion d’intervalle n’y a pas de sens ; on peut n´eanmoins d´efinir par exemple un ordre lexicographique ainsi (rappelons que tout nombre complexe s’´ecrit de mani`ere unique x+iy avec x, y r´eels) :
d´ecr`etons que x+iy Rx0+iy0 si et seulement si x < x0 ou x=x0 et y ≤y0 (comme pour classer les mots dans un dictionnaire, on compare d’abord les premi`eres lettres et, si elles sont ´egales on compare les secondes lettres et ainsi de suite).
La relation d’inclusion est aussi une relation d’ordre ; en effet on a bien F ⊂F pour tout ensemble F ; si E ⊂ F et F ⊂ G alors E ⊂ G et enfin si E ⊂ F et F ⊂ E alors E =F.
Il y a une diff´erence importante entre les premiers exemples et ce dernier : dans les premiers cas deux ´el´ements sont toujours comparables ; parmi deux ´el´ements l’un est plus petit que l’autre. Par contre deux ensembles ne sont pas n´ecessairement comparables : si E := {0,1,2,3} et F := {0,1,4} alors on a E 6⊂ F et F 6⊂ E. Ceci sugg`ere la d´efinition suivante: un ordre R sur un ensemble E est dit total (ou encore l’ensemble E totalement ordonn´e) si deux ´el´ements sont toujours comparables i.e. si :
∀x, y ∈E, xRy ouyRx
Par exemple : la relation sur l’ensemble N d´efinie par x | y si et seulement si x divise y (ou encore y est un multiple entier de x) est une relation d’ordre (v´erification laiss´ee en exercice) mais ce n’est pas un ordre total ; en effet 5 ne divise pas 6 et 6 ne divise pas 5.
Si f :X → Y est une application entre deux ensembles ordonn´es par les relations ≤ il est naturel de se demander si f pr´eserve l’ordre :
D´efinition: Une applicationf estcroissantesi pour toutx, y dans l’ensemble de d´epart de f, la relation x ≤y entraˆıne f(x) ≤ f(y). Si x ≤y entraˆıne f(y)≤ f(x) on dit que f est d´ecroissante (ou renverse l’ordre). On dit que f est monotone si elle est croissante ou d´ecroissante.
Exemples : Les fonctions de R dans R donn´ee par x 7→ 2x−3 ou x 7→ exp(x) sont croissantes, l’application donn´ee par x 7→ −4x+ 1 est d´ecroissante, l’application donn´ee par x7→sin(x) n’est pas monotone (sur R).
Soit f :E → F une fonction, alors les applications A 7→f(A) (de P(E) dans P(F)) et B7→f−1(B) (deP(F) dans P(E)) sont toutes deux croissantes (si P(E) et P(F) sont ordonn´es par l’inclusion).
L’importance pratique des fonctions croissantes (ou d´ecroissantes) est qu’elles permet- tent de transformer des in´egalit´es ; par exemple :
x−y
3 ≤z2 ⇒exp(x−y
3 )≤exp(z2)⇒ −4 exp(x−y
3 ) + 1≥ −4 expx(z2) + 1 Nous verrons que la m´ethode la plus puissante pour voir si une fonction (deRdansR) est monotone est le calcul diff´erentiel. En effet nous d´emontrerons au chapitre 14 qu’une fonction d´erivable sur un intervalle est monotone si et seulement si sa d´eriv´ee est de signe constant (r´esultat admis en terminale).
2.3.2 Plus grand ´el´ement, borne sup´erieure.
Une des traductions les plus fr´equentes d’un probl`eme est la recherche d’un minimum ou d’un maximum : si l’on veut placer son argent on cherchera naturellement `a le placer de mani`ere `a obtenir un rendement maximum ; pour se d´eplacer d’un point `a un autre on cherche le chemin le plus court ; ayant construit (ou dessin´e) un pont il est important de connaˆıtre le poids maximal qu’il peut supporter ; de nombreux probl`emes en physique (ou chimie) peuvent se formuler ainsi : par exemple un rayon lumineux se r´efl´echit ou se r´efracte en suivant un chemin minimal (principe de Fermat) ; un solide pos´e sur un plan horizontal restera en ´equilibre seulement si son centre de gravit´e est situ´e dans une position minimale.
D´efinition: Soit (E,≤) un ensemble ordonn´e, un ´el´ement y de E est le plus grand
´
el´ement de E si tous les autres ´el´ements sont plus petits, c’est-`a-dire si ∀x∈E, x ≤y.
Remarque : il y a bien sˆur une d´efinition analogue du plus petit ´el´ement.
Exemples : Le plus petit ´el´ement de N est 0 mais N n’a pas de plus grand ´el´ement.
Consid´erons la relation d’inclusion sur l’ensemble P(E) ; ce n’est pas un ensemble totale- ment ordonn´e mais il a un plus petit ´el´ement : l’ensemble vide∅et un plus grand ´el´ement : l’ensemble E.
Consid´erons maintenant un sous-ensembleF d’un ensemble ordonn´eE ; il est souvent int´eressant de connaˆıtre un ´el´ement de E qui est plus grand que tous les ´el´ements de F ; on peut aussi chercher un tel ´el´ement le plus petit possible. C’est le but des d´efinitions suivantes :
D´efinition: Soit F ⊂E un sous-ensemble d’un ensemble ordonn´e, un ´el´ement M de E est un majorant de F si pour tout x dans F on a x≤M. Le plus petit des majorants de F (s’il existe) s’appelle la borne sup´erieure deF (dans E).
On peut bien sˆur d´efinir de la mˆeme fa¸con un minorant et laborne inf´erieure comme le plus grand des minorants.
Exemples : Soit N ⊂R, tout nombre r´eel n´egatif est un minorant de N et sa borne inf´erieure est donc 0 (qui est aussi le plus petit ´el´ement de N).
Soit E := [0,1[⊂ R l’intervalle des nombres r´eels positifs et strictement plus petits que 1. Il est clair que 0 est la borne inf´erieure de E (et son plus petit ´el´ement) et que 1 est sa borne sup´erieure bien que E n’ait pas de plus grand ´el´ement.
SoitF :={x∈Q |x <√
2}consid´er´e comme sous-ensemble de Q, alorsF admet des majorants (par exemple 2 ou 32) mais pas de borne sup´erieure. En effet, si elle existait, la borne sup´erieure m de F v´erifierait m2 ≤ 2 et 2 ≤ m2 donc m2 = 2, mais ceci est impossible (voir par exemple le chapitre 5). Bien sˆur le mˆeme ensemble F, consid´er´e comme sous-ensemble de R admet √
2 comme borne sup´erieure.
Une caract´erisation commode de la borne sup´erieure d’un ensemble de r´eels est la suivante :
PROPOSITION: Un r´eel M est la borne sup´erieure d’un ensemble E ⊂ R si et seulement si :
(i) ∀x∈E, x≤M
(ii) ∀ε >0, ∃x∈E, M −ε≤x
D´emonstration: En effet la premi`ere propri´et´e dit que M est un majorant et la seconde que c’est le plus petit des majorants : si m est un majorant de E on voit que
∀ε >0, M −ε ≤met donc M ≤m.
En fait nous verrons qu’une propri´et´e tr`es importante deRest que tout sous-ensemble (non vide) major´e admet une borne sup´erieure ; cette derni`ere propri´et´e est fausse dans l’ensemble Q..
2.3.3 Relation d’´equivalence.
D´efinition: Une relation d’´equivalencesur un ensemble E est une relationR telle que : (i) (R´eflexivit´e) Pour tout x∈E on ax Rx.
(ii) (Transitivit´e) Six Ry et y Rz alors xRz (iii) (Sym´etrie) Si xRy entraˆıne yR x.
Exemples : Sur l’ensemble N la relation x R y si x−y est pair d´efinit une relation d’´equivalence.
D´efinition: La classe d’´equivalenced’un ´el´ement x est l’ensemble des ´el´ements qui lui sont reli´es par R :
C(x) :={y∈E |x Ry}
Remarque : Les classes d’´equivalence forment une partition deE, i.e. on peut ´ecrireE comme union disjointe de classes d’´equivalence. En effet six, x0 ∈E ou bienC(x)∩C(x0) =
∅ ou bien C(x) =C(x0) (si y ∈C(x)∩C(x0) alors yRx et yRx0 entraˆıne xRx0).
D´efinition: L’ensemble des classes d’´equivalence de E pour la relation R s’appelle l’ensemble quotient de E par R et se note E/R.
Commentaire : il s’agit d’une notion d´elicate qui permet de nombreuses constructions : l’ensemble Z est construit `a partir de N comme le quotient de N× N par la relation
d’´equivalence (x, y)R(x0, y0)⇔x+y0 =x0+y et l’ensemble Q est construit `a partir deZ comme le quotient deZ×(Z\{0}) par la relation d’´equivalence (x, y)R(x0, y0)⇔xy0 =x0y.
Le seul exemple d’ensemble quotient que nous approfondirons est le suivant : Soit n un entier ≥1, consid´erons la relation d’´equivalence suivante surZ :
xRny⇔ ndivise x−y
Cette relation s’appelle relation de congruence modulo n et se note souvent (Cf chapitre 5) x ≡ y mod n. L’ensemble quotient est un ensemble `a n ´el´ements : les classes de 0,1, . . . , n−1 et se note d’habitude Z/nZ.
2.4 CARDINAUX ET ENTIERS NATURELS
La notion de cardinal est probablement la premi`ere notion math´ematique abstraite : il y a quelque chose de commun `a trois carottes et trois ´etoiles, c’est le nombre de ces objets.
L’id´ee de nombre entier est en fait issue de cette intuition. Avec les notions introduites pr´ec´edemment on voit que deux ensembles ont mˆeme cardinal si on peut les mettre en bijection. Ainsi un nombre entier –un cardinal– apparaˆıt comme une classe d’´equivalence d’ensembles. Ces d´efinitions qui peuvent paraˆıtre p´edantes (et le sont) quand on parle de cardinaux finis deviennent indispensables pour aborder les cardinaux infinis, c’est-`a-dire pour parler du “nombre” d’´el´ements d’un ensemble infini.
2.4.1 Ensembles et cardinaux finis
D´efinition: Deux ensembles ont mˆeme cardinalsi il existe une bijection entre les deux ensembles. On dit aussi qu’ils sont ´equipotents.
Il s’agit bien de la traduction math´ematique de “avoir le mˆeme nombre d’´el´ements” ; mais cette intuition correspond en fait au cas des ensembles finis et pour les ensembles infinis, la d´efinition math´ematique est la seule qui permette de raisonner.
Cardinaux finis : un entier naturel est le cardinal d’un ensemble fini. Par exemple card(∅) = 0, card({∅}) = 1, card({∅,{∅}}) = 2 etc... De mani`ere plus parlante, si a, b, c, d sont des ´el´ements distincts card{a}= 1, card{a, b}= 2 et card{a, b, c, d}= 4.
Un ensemble est donc fini et de cardinal n si et seulement si il est en bijection avec l’ensemble {0,1, . . . , n−1}.
Une propri´et´e tr`es importante des ensembles finis (qui en fait les caract´erise) est la suivante :
TH ´EOR `EME: Soient E et F des ensembles finis de mˆeme cardinal ; soit f une application de E dans F alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(i) L’application f est bijective.
(ii) L’application f est injective.
(iii) L’application f est surjective.
D´emonstration: Appelons n le cardinal de E. Pour que f soit surjective il faut et il suffit que f(E) ait n ´el´ements, mais card(f(E)) ≤card(E) avec ´egalit´e si et seulement si
f est injective. On conclut que (ii) ´equivaut `a (iii) ; par ailleurs (i) ´equivaut par d´efinition
`
a (ii) et (iii) d’o`u le th´eor`eme.
Remarque : On voit en particulier que si x ∈ E et E est fini alors E \ {x} n’est pas en bijection avecE. Ceci est une caract´erisation des ensembles finis.
Une autre application simple des ensembles finis est leprincipe des tiroirs; “si on range n+ 1 chaussettes dans n tiroirs, l’un (au moins) des tiroirs contiendra deux chaussettes”
(on laisse la preuve en exercice).
Il est naturel, sachant qu’une ensemble est fini de chercher `a d´eterminer son cardi- nal (un entier naturel). On appelle combinatoire cette partie des math´ematiques. Voici quelques r´esultats utiles.
TH ´EOR `EME: Soient E et F des ensembles finis de cardinaux met nrespectivement, alors :
(i) card(E) + card(F) = card(E∩F) + card(E∪F) (ii) card(E×F) =mn
(iii) Soit F(E, F)l’ensemble des applications deE vers F alors card(F(E, F)) =nm. En particulier card(P(E)) = 2m.
(iv) Le nombre d’injection deE dansF est 0 sim > netn(n−1)(n−2). . .(n−m+ 1) si m≤n.
(v) L’ensemble des bijections de F vers F a pour cardinaln! =n(n−1)(n−2). . .2.1 D´emonstration: (i) Commen¸cons par observer que dans le cas plus facile o`uE∩F =∅, la formule est ´evidente ; en effet si X =A∪B avec A∩B =∅alors card(X) = card(A) + card(B). Revenons au cas g´en´eral et posons E0 := E \(E ∩F), alors E ∪F est union disjointe de F et E0 donc card(E∪F) = card(F) + card(E0). Mais E est union disjointe de E0 etE∩F donc on a aussi : card(E) = card(E0) + card(E∩F) et on tire de ces deux
´
egalit´es la formule : card(E) + card(F) = card(E ∩F) + card(E ∪F)
(ii) On peut ´ecrire E×F =∪x∈E{x} ×F ; or ces ensembles sont disjoints donc on a card(E×F) =P
x∈Ecard({x} ×F). Mais F est en bijection avec chacun des ensembles {x} ×F par l’application y7→(x, y) donc card({x} ×F) =n et card(E×F) =P
x∈En= mn.
(iii) Pour construire une fonction de E ={a1, a2, . . . , am} vers F il faut choisir f(a1) (il y anchoix possibles),f(a2) (il y anchoix possibles),. . .etc. Il y a doncn×n . . . n =nm fonctions de E vers F.
Soit A un sous-ensemble de E, on lui associe la fonction fA : E → {0,1} d´efinie par fA(x) = 1 six∈AetfA(x) = 0 six /∈A(la fonctionfAs’appelle lafonction caract´eristique deA). On obtient ainsi une bijection entreP(E) etF(E,{0,1}) (la bijection r´eciproque est donn´ee par f 7→ {x ∈E |f(x) = 1}). On conclut que card(P(E)) = card({0,1})m = 2m.
(iv) Tout d’abord, il est clair que si card(E)>card(F) il n’existe aucune injection de E dans F. Si maintenant E ={a1, a2, . . . , am} et m≤n, pour construire une application injective de E dans F on doit choisir f(a1) ∈ F (il y a n choix possibles) puis f(a2) ∈ F\ {f(a1)}(il y a n−1 choix possibles) puisf(a3)∈F\ {f(a1), f(a2)}(il y a n−2 choix possibles) et ainsi de suite. On obtient donc bien en tout n(n−1)(n−2). . .(n−m+ 1) injections.
(v) SiE =F est fini on sait qu’une fonction deE dansF est bijective si et seulement si elle est injective donc d’apr`es le r´esultat pr´ec´edent il y an(n−1)(n−2). . .(n−n+1) =n!
bijections.
Introduisons maintenant une notation tr`es utile en combinatoire :
D´efinition: Soit F un ensemble de cardinal n et soit 0≤ p ≤n, le nombre de parties de F ayant p´el´ements se note Cnp ou np
.
TH ´EOR `EME: On a les formules suivantes : (i) Cnp = n(n−1)(n−2)...(n−p+1)
p! = p!(n−p)!n!
(ii) Cnp =Cnn−p
(iii) Cnp =Cn−1p +Cn−1p−1
D´emonstration: (i) Un sous-ensemble `a p ´el´ements de F est donn´e `a permutation pr`es de ses ´el´ements (il y a p! permutations d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent) par une in- jection de {0,1,2, . . . , p} dans F ; il y a n(n−1)(n−2). . .(n−p+ 1) injections et donc
n(n−1)(n−2)...(n−p+1)
p! parties `ap ´el´ements.
D´emontrons maintenant les deux propri´et´es (ii) et (iii). On peut bien sˆur d´emontrer ces formules en utilisant la formule Cnp = p!(n−p)!n! (v´erifiez-le `a titre d’exercice) mais nous trouvons plus instructive une d´emonstration en termes d’ensembles `a partir de la d´efinition des Cnp.
(ii) Soit E un ensemble de cardinal n. L’application A 7→ CEA d´efinit une bijection entre l’ensemble des parties de E `a p ´el´ements et l’ensemble des parties de E `a n−p
´
el´ements, d’o`u la formule (ii).
(iii) SoitE un ensemble de cardinal net soit x∈E. L’ensemble des parties de E `a p
´
el´ements se r´epartit en deux sous-ensembles disjoints : l’ensemble des parties `ap´el´ements de E contenant l’´el´ement x et l’ensemble des parties `a p ´el´ements de E ne contenant pas l’´el´ement x. Le premier est en bijection avec l’ensemble des parties `a p−1 ´el´ements de E\ {x}qui a pour cardinal Cn−1p−1, et le second est en bijection avec l’ensemble des parties
`
a p´el´ements de E\ {x} qui a pour cardinalCn−1p , d’o`u le r´esultat cherch´e.
Remarque : Si l’on ´ecrit dans un tableau les coefficients Cnp (o`unsera le num´ero de la ligne etple num´ero de la colonne), les propri´et´es (i) et (ii) se traduisent par la sym´etrie de chaque ligne et en observant que chaque coefficient est la somme de deux coefficients de la ligne pr´ec´edente : celui situ´e juste au-dessus et son pr´ed´ecesseur. Ces remarques permet- tent d’ailleurs de calculer tr`es facilement les premiers coefficients. Ce tableau s’appelle le triangle de Pascal (bien qu’il ait ´et´e connu par exemple des math´ematiciens arabes avant sa red´ecouverte par Pascal).
Les coefficients Cnp pour 0 ≤p≤n≤7 : 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 2.4.2 Ensembles infinis, N et principe de r´ecurrence.
Nous ne donnerons pas de construction de l’ensembleNbien que celle-ci puisse se faire dans le cadre de la th´eorie des ensembles. Il faut pour cela introduire l’axiome d’existence d’un ensemble infini. Quelque soit la pr´esentation, l’ensemble des entiers naturels est le premier ensemble infini qu’on rencontre. Il peut ˆetre caract´eris´e par l’existence d’un
´
el´ement initial (z´ero) et pour chaque ´el´ementnd’un successeurn+1(distinct de0,1, . . . , n) et pour chaque ´el´ement diff´erent de z´ero d’un pr´ed´ecesseur ainsi que par le principe de r´ecurrence.
Nous supposons connu donc l’ensemble :
N:={0,1,2,3,4,5, . . .}
Il est muni d’une loi d’addition et de multiplication et d’un ordre ; une loi moins ´evidente qui le caract´erise essentiellement est la suivante :
TH ´EOR `EME: (principe de r´ecurrence) Soit S un sous-ensemble de N contenant 0 et tel que :
∀n∈N, n∈S ⇒(n+ 1)∈S alors S =N.
L’utilit´e du th´eor`eme est de permettre de v´erifier une propri´et´eP(n) pour tout entier naturel n en montrant que P(n)⇒ P(n+ 1) et en v´erifiant P(0).
Exemple : D´emontrons que
n
X
i=0
i= n(n+ 1) 2
Pour cela appelons P(n) cette formule etS :={n∈N| P(n)}. On voit tout de suite que P(0) est vrai car 0 = 0 ; supposons donc P(n) vrai et d´emontrons donc P(n+ 1)`a partir de P(n) : Pn+1
i=0 i=Pn
i=0i+ (n+ 1) qui d’apr`es P(n) vaut n(n+1)2 + (n+ 1) = (n+1)(n+2)2 soit donc : Pn+1
i=0 i= (n+1)(n+2)2 ce qui est bien P(n+ 1). Le th´eor`eme permet de conclure que S =N ce qui signifie bien que pour tout entier n la formule P(n) est vraie.
Exercice : d´emontrer de la mˆeme mani`ere les formules suivantes :
n
X
i=0
i2 = n(n+ 1)(2n+ 1) 6
n
X
i=0
i3 =
n(n+ 1) 2
2
Pouvez-vous trouver (et prouver) une formule semblable pour
n
X
i=0
i4 ? TH ´EOR `EME: L’ensemble N est infini.
D´emonstration: Le contraire serait surprenant, mais donnons n´eanmoins la d´emons- tration compl`ete. Consid´erons l’ensemble N∗ := N\ {0} et l’application de N vers N∗ d´efinie par n 7→n+ 1. C’est une bijection (v´erification facile) mais nous avons vu qu’un ensemble fini ne peut pas ˆetre en bijection avec “lui-mˆeme moins un ´el´ement” donc N est bien infini.
La th´eorie des ensembles permet de construire `a partir de N les ensembles Q, R et C. Nous ne d´evelopperons pas ces constructions mais signalons qu’il y a beaucoup plus de nombres r´eels que de nombres entiers ou rationnels et en particulier qu’il existe “plusieurs infinis”.
D´efinition: Un ensemble X est d´enombrable s’il existe une injection de X dans N. Il revient au mˆeme de dire que X est en bijection avec un sous-ensemble de N.
TH ´EOR `EME: (Cantor) L’ensemble Q est d´enombrable. L’ensemble R n’est pas d´enombrable.
D´emonstration: Si R ´etait d´enombrable, l’intervalle [0,1] le serait ´egalement. On pourrait donc ´ecrire [0,1] = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Notons xn = 0, a(n)1 a(n)2 . . . a(n)m . . . le d´eveloppement d´ecimal de xn. Pour chaque n ≥ 1, on peut choisir un chiffre bn tel que bn 6= a(n)n et fabriquer le nombre r´eel x := 0, b1b2. . . bm. . .. On voit alors imm´ediatement que, pour tout n, on a x6=xn, ce qui contredit l’hypoth`ese initiale.
Un peu d’histoire :
Le th´eor`eme de Cantor affirme donc qu’il y a “beaucoup plus” de nombres r´eels que de nombres rationnels, en d’autre termes il n’existe pas de bijection entre Q et R. Intro- duisons une d´efinition : un nombre r´eel est dit alg´ebrique s’il est racine d’un polynˆome `a coefficients dans Q (ainsi 1 +√
5, p3 4 +√5
2 sont des nombres alg´ebriques) ; il est dit tran- scendant s’il n’est pas alg´ebrique. L’existence de nombres transcendants n’est pas ´evidente et historiquement ils ont ´et´e d´ecouverts dans l’ordre suivant :
Liouville montre en 1844 qu’il existe des nombres transcendants ; par exemple les nombres du type 0,10. . .010. . .010. . . o`u, `a chaque fois, la suite de z´eros est beaucoup plus longue que la pr´ec´edente, sont transcendants.
Hermite prouve en 1873 que le nombre e (base du logarithme n´ep´erien) est transcen- dant. Il est tr`es difficile de d´emontrer qu’un nombre donn´e est transcendant et c’est le premier nombre “naturel” pour lequel cela a ´et´e d´emontr´e.
Cantor ´etablit en 1874 que “presque tous” les nombres sont transcendants. En effet l’ensemble des nombres alg´ebriques a le mˆeme cardinal que Q (ou N).
Lindemann montre en 1882, en adaptant la m´ethode de Hermite, que π est transcen- dant. Ce r´esultat ach`eve de d´emontrer l’impossibilit´e de la quadrature du cercle.
Pascal Blaise (1623–1662)
CHAPITRE 3 GROUPES, STRUCTURES ALG ´EBRIQUES
La formalisation des structures alg´ebriques –groupes, anneaux, corps, espaces vec- toriels– est relativement r´ecente mais l’id´ee est pr´esente partout dans les sciences et en particulier en math´ematique. Il s’agit grosso modo d’extraire des r`egles op´eratoires, valables ind´ependemment de la nature des objets consid´er´es. Par exemple les r`egles pour faire la somme de deux nombres, la somme de deux vecteurs du plan ou la composition de deux rotations sont les mˆemes. L’id´ee sous-jacente `a la notion de groupe est celle de la sym´etrie ; c’est pourquoi nous choisissons d’´etudier dans une premi`ere partie les sym´etries de quelques figures simples avant d’introduire formellement la d´efinition de groupe.
3.1 SYM ´ETRIES ET GROUPES.
Consid´erons une figure simple comme un rectangle (avec sa largeur diff´erente de sa longueur) :
On distingue deux axes de sym´etrie : l’axe horizontal L1 et l’axe verticalL2 ; on voit qu’on peut aussi appliquer le rectangle sur lui-mˆeme en le faisant pivoter d’un demi-tour autour du point O (on peut aussi interpr´eter cela par une sym´etrie par rapport au point O). On admettra que ce sont les seules transformations (avec l’identit´e!) qui appliquent le rectangle sur lui-mˆeme en respectant les formes.
On v´erifie sans peine les faits suivants :
1) Appliquer deux fois la mˆeme transformation revient `a appliquer l’identit´e
2) Appliquer la sym´etrie s1 par rapport `a L1 puis la sym´etrie s2 par rapport `a L2
revient `a appliquer la sym´etrie sO par rapport `a O ; en fait appliquer deux de ces trois sym´etries revient `a appliquer la troisi`eme (l’ordre ´etant indiff´erent).
On peut regrouper cela dans un tableau o`u l’on inscrit dans la ligne de l’´el´ement s et la colonne de l’´el´ement t la compos´ees◦t :
◦ id sO s1 s2 id id sO s1 s2
sO sO id s2 s1 s1 s1 s2 id sO
s2 s2 s1 sO id Consid´erons maintenant un carr´e :
Les transformations qui appliquent le carr´e sur lui-mˆeme, en respectant les formes, sont maintenant :
Les sym´etries par rapport `a l’axe horizontalL1 et `a l’axe verticalL2 (que nous noterons s1ets2), les sym´etries par rapport `a la diagonaleD1et `a la diagonaleD2(que nous noterons s3 et s4), les rotations autour du pointO faisant un quart de tour (que nous noterons r1), un demi-tour (que nous noterons r2), trois quarts de tour (que nous noterons r3), et enfin bien sˆur l’identit´e.
On v´erifiera que : 1) Appliquer deux fois la mˆeme sym´etrie ou la rotation d’un demi- tour revient `a appliquer l’identit´e ; mais appliquer deux fois la mˆeme rotation d’un quart ou trois quarts de tour revient `a appliquer la rotation d’un demi-tour. Toutefois appliquer quatre fois la mˆeme rotation d’un quart ou trois quarts de tour revient `a appliquer l’identit´e.
2) Appliquer la sym´etrie par rapport `a L1 puis la sym´etrie par rapport `a L2 revient
`
a appliquer la rotation d’un demi-tour ; en fait appliquer deux des trois sym´etries revient
`
a appliquer une des rotations, appliquer une des rotations et une des sym´etries revient `a appliquer une des sym´etries. Toutefois, l’ordre n’est pas cette fois indiff´erent : par exemple s1s3 =r3 6=r1 =s3s1.
On peut regrouper cela dans un tableau o`u l’on inscrit dans la ligne de l’´el´ement s et la colonne de l’´el´ement t la compos´ees◦t :
◦ id r1 r2 r3 s1 s2 s3 s4
id id r1 r2 r3 s1 s2 s3 s4 r1 r1 r2 r3 id s3 s4 s2 s1
r2 r2 r3 id r1 s2 s1 s4 s3 r3 r3 id r1 r2 s4 s3 s1 s2
s1 s1 s4 s2 s3 id r2 r3 r4 s2 s2 s3 s1 s4 r2 id r1 r2
s3 s3 s1 s4 s2 r1 r3 id r2 s4 s4 s2 s3 s1 r3 r1 r2 id
Observons exp´erimentalement quelques faits : tous les ´el´ements apparaissent une et une seule fois dans chaque ligne et colonne ; dans le premier tableau, l’ordre dans lequel on compose des ´el´ements n’importe pas ; dans le second tableau, l’ordre est important, mais une chose est pr´eserv´ee : si on veut faire le produit : s◦t◦u alors on sait qu’il n’est pas n´ecessaire de “mettre les parenth`eses”, c’est-`a-dire que (s◦t)◦u=s◦(t◦u).
Nous venons de d´ecortiquer l’arch´etype d’un groupe ; de mani`ere g´en´erale : L’ensemble des transformations pr´eservant une figure forme un groupe.
Pour voir l’int´erˆet de d´efinitions plus abstraites, essayez de donner une description des 48 transformations pr´eservant un cube.
3.2 GROUPES, EXEMPLES
D´efinition: Une loi de composition sur un ensemble E est une application de E ×E vers E.
Exemples : La plupart des op´erations usuelles sont des lois de composition : l’addition ou la multiplication sont des lois de composition surN,Z,Q,RouC; la soustraction d´efinit une loi de composition sur Z,Q,R ou C (mais pas sur N) ; l’application de F(E, E)× F(E, E) vers F(E, E) d´efinie par (f, g)7→f◦g est aussi une loi de composition.
D´efinition: Un groupe est la donn´ee d’un ensemble G et d’une loi de composition (x, y)7→x∗y telle que :
(i) (´el´ement neutre) Il existeedansGtel que pour toutxdansGon ae∗x=x∗e=x.
(ii) (associativit´e) Pour tout x, y, z dans G on a : (x∗y)∗z =x∗(y∗z).
(iii) (´el´ement inverse) Pour toutxdansGil existex0dansGtel que : x∗x0 =x0∗x=e.
Si de plus pour toutx, ydansGon a : x∗y=y∗x, on dit que la loi∗estcommutative et que le groupe (G,∗) est commutatif.
Convention : pour calculer dans un groupe, on omettra souvent le signe∗et on ´ecrira gh au lieu deg∗h.
Exemples : 1) L’ensemble des transformations du rectangle (respectivement du carr´e) avec la loi de composition naturelle forme un groupe de cardinal 4 (respectivement 8). Le premier groupe est commutatif, le second ne l’est pas.
2) Les ensemblesZ,Q,R etC, munis de l’addition sont des groupes (noter que (N,+) ne v´erifie pas (iii)). Les ensemblesQ∗,R∗ ouC∗ munis de la mutiplication sont des groupes (noter que (Z\ {0},×) ne v´erifie pas (iii)). Tous ces groupes sont commutatifs.
3) SoitE un ensemble et soitS(E) l’ensemble des bijections de E vers E ; soit ◦la loi de composition naturelle de deux bijections, alors (S(E),◦) est un groupe. En particulier l’ensemble des bijections de {1,2,3, . . . , n} vers lui-mˆeme, muni de la composition des applications, forme un groupe qu’on noteSn. C’est un groupe avecn! ´el´ements, on l’appelle le groupe des permutations sur n´el´ements.
D´efinition: Un sous-groupe H d’un groupe (G,∗) est un sous-ensemble de G tel que la loi ∗ restreinte `a H ×H d´efinisse une loi interne qui donne une loi de groupe sur H.
Ainsi un sous-groupe est stable pour la loi∗ (c’est-`a-dire que six, y ∈H alors x∗y∈ H), l’´el´ement neutre e appartient `a H et si x ∈ H alors x−1 ∈ H. Remarquons qu’il est inutile de v´erifier l’associativit´e : puisque ∀x, y, z ∈G, (xy)z = x(yz), il est clair qu’on a
∀x, y, z ∈H, (xy)z =x(yz). En fait on peut mˆeme raccourcir ces v´erifications :
PROPOSITION: Soit H un sous-ensemble d’un groupe G, c’est un sous-groupe si et seulement si il satisfait :
(i) e∈H
(ii) x, y∈H entraˆıne xy−1 ∈H.
D´emonstration: Ces conditions sont n´ecessaires. R´eciproquement, supposons les propri´et´es (i) et (ii) v´erifi´ees et montrons qu’alors H est un sous-groupe. Si y ∈ H alors ey−1 =y−1 ∈H; si x est ´egalement dans H alors xy =x(y−1)−1 ∈H doncH est bien un sous-groupe.
Exemples :
1) L’ensemble µn des racines complexes de l’´equation Xn = 1, muni de la multipli- cation des nombres complexes forme un sous-groupe de C∗ : en effet si z, z0 ∈ µn alors (z/z0)n =zn/z0n = 1 doncz/z0 ∈µn.
2) L’ensemble nZ:={nx |x∈ Z} muni de l’addition est un sous-groupe de Z. Nous verrons au chapitre 5 que ce sont les seuls sous-groupes de Z.
