Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2011/2012

(1)

Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2011/2012

L3 Maths Equations Diff´erentielles Ordinaires ´

Partiel du 15 mars 2012 Dur´ee : 2h30

Les documents, calculatrices, téléphones, et autres appareils électroniques ne sont pas autorisés.

Exercice 1 (Cours). [5 points]

1) Donner l’énoncé du Théorème de “sortie des compacts”.

2) Soient a < b et f : ]a, b[ × R ^N → R ^N une fonction continue localement lip- schitzienne par rapport à sa deuxième variable (uniformément par rapport à la première). Soient u une solution maximale du système u ⁰ = f(t, u), et I max =]c, d[

son intervalle maximal d’existence. Montrer que (i) si d < b alors lim

t↑d ku(t)k = +∞ ; (i) si a < c alors lim

t↓c ku(t)k = +∞ ;

o`u k · k d´esigne une norme quelconque sur R ^N .

Exercice 2. [4points]

Soient α, β, γ ∈ R tels que αβγ = 0. On considère le système différentiel



 

 

u ⁰ ₁ = u 1 + αu 2 + αβe ^t u ⁰ ₂ = u ₂ + βu ₃ + βγe ^t u ⁰ ₃ = u 3 + γu 1 + αγe ^t

.

1) Calculer la résolvante du système homogène associé.

(Indication : utiliser la formule e ^B = e ^λ e ^B−λI

^N

pour B ∈ L ( R ^N ) et λ ∈ R) 2) En déduire la solution u = (u ₁ , u ₂ , u ₃ ) de ce système vérifiant u(0) = (0, 0, 0).

Exercice 3. [5 points]

Soient A ∈ L (R ^N ), et k : R → R une fonction continue. On considère le système homogène

u ⁰ = k(t)Au .

1) Montrer que la r´esolvante R(t, t ₀ ) de ce syst`eme est de la forme e ^K(t,t

⁰

^)A

pour une fonction K que l’on d´eterminera.

(2)

2) D´eterminer explicitement (en fonction de K) la r´esolvante dans le cas N = 2 avec

A =

1 −1 1 1

.

(Indication : écrire le système sous forme d’équation complexe)

Exercice 4. [6 points]

Soit P un polynôme à coefficients dans R admettant au moins deux racines réelles distinctes. On note λ la plus petite des racines réelles de P , et Λ la plus grande.

1) Montrer que pour tout x ₀ ∈ R , le probl`eme de Cauchy ( u ⁰ = P (u)

u(0) = x ₀

admet une unique solution maximale.

2) Donner deux valeurs (distinctes) de x 0 pour lesquelles la solution du probl`eme de Cauchy est ´evidente.

3) Montrer que si λ < x 0 < Λ alors la solution du probl`eme de Cauchy est globale.

(Indication : utiliser la question 2) de l’Exercice 1)

4) Dans le cas particulier o`u P (x) = x ² −1, montrer que si x 0 > 1 alors la solution u n’est pas globale

(Indication : montrer que la fonction v = u − 1 v´erifie l’in´equation v ⁰ > v ² ).

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L3 Maths Equations Diff´erentielles Ordinaires ´

Partiel du 15 mars 2012 Dur´ee : 2h30

Les documents, calculatrices, téléphones, et autres appareils électroniques ne sont pas autorisés.

Exercice 1 (Cours). [5 points]

1) Donner l’énoncé du Théorème de “sortie des compacts”.

2) Soient a < b et f : ]a, b[ × R N → R N une fonction continue localement lip- schitzienne par rapport à sa deuxième variable (uniformément par rapport à la première). Soient u une solution maximale du système u 0 = f(t, u), et I max =]c, d[

son intervalle maximal d’existence. Montrer que (i) si d < b alors lim

t↑d ku(t)k = +∞ ; (i) si a < c alors lim

t↓c ku(t)k = +∞ ;

o`u k · k d´esigne une norme quelconque sur R N .

Exercice 2. [4points]

Soient α, β, γ ∈ R tels que αβγ = 0. On considère le système différentiel



 

 

u 0 1 = u 1 + αu 2 + αβe t u 0 2 = u 2 + βu 3 + βγe t u 0 3 = u 3 + γu 1 + αγe t

.

1) Calculer la résolvante du système homogène associé.

(Indication : utiliser la formule e B = e λ e B−λI

pour B ∈ L ( R N ) et λ ∈ R) 2) En déduire la solution u = (u 1 , u 2 , u 3 ) de ce système vérifiant u(0) = (0, 0, 0).

Exercice 3. [5 points]

Soient A ∈ L (R N ), et k : R → R une fonction continue. On considère le système homogène

u 0 = k(t)Au .

1) Montrer que la r´esolvante R(t, t 0 ) de ce syst`eme est de la forme e K(t,t

)A

pour une fonction K que l’on d´eterminera.

2) D´eterminer explicitement (en fonction de K) la r´esolvante dans le cas N = 2 avec

A =

1 −1 1 1

.

(Indication : écrire le système sous forme d’équation complexe)

Exercice 4. [6 points]

Soit P un polynôme à coefficients dans R admettant au moins deux racines réelles distinctes. On note λ la plus petite des racines réelles de P , et Λ la plus grande.

1) Montrer que pour tout x 0 ∈ R , le probl`eme de Cauchy ( u 0 = P (u)

u(0) = x 0

admet une unique solution maximale.

2) Donner deux valeurs (distinctes) de x 0 pour lesquelles la solution du probl`eme de Cauchy est ´evidente.

3) Montrer que si λ < x 0 < Λ alors la solution du probl`eme de Cauchy est globale.

(Indication : utiliser la question 2) de l’Exercice 1)

4) Dans le cas particulier o`u P (x) = x 2 −1, montrer que si x 0 > 1 alors la solution u n’est pas globale

(Indication : montrer que la fonction v = u − 1 v´erifie l’in´equation v 0 > v 2 ).

2) Soient a < b et f : ]a, b[ × R ^N → R ^N une fonction continue localement lip- schitzienne par rapport à sa deuxième variable (uniformément par rapport à la première). Soient u une solution maximale du système u ⁰ = f(t, u), et I max =]c, d[

o`u k · k d´esigne une norme quelconque sur R ^N .

u ⁰ ₁ = u 1 + αu 2 + αβe ^t u ⁰ ₂ = u ₂ + βu ₃ + βγe ^t u ⁰ ₃ = u 3 + γu 1 + αγe ^t

(Indication : utiliser la formule e ^B = e ^λ e ^B−λI

pour B ∈ L ( R ^N ) et λ ∈ R) 2) En déduire la solution u = (u ₁ , u ₂ , u ₃ ) de ce système vérifiant u(0) = (0, 0, 0).

Soient A ∈ L (R ^N ), et k : R → R une fonction continue. On considère le système homogène

u ⁰ = k(t)Au .

1) Montrer que la r´esolvante R(t, t ₀ ) de ce syst`eme est de la forme e ^K(t,t

^)A

1) Montrer que pour tout x ₀ ∈ R , le probl`eme de Cauchy ( u ⁰ = P (u)

u(0) = x ₀

4) Dans le cas particulier o`u P (x) = x ² −1, montrer que si x 0 > 1 alors la solution u n’est pas globale

(Indication : montrer que la fonction v = u − 1 v´erifie l’in´equation v ⁰ > v ² ).