Universit´ e de Savoie Ann´ ee 04/05
Math´ ematiques pour les sciences IV MATH407
Travaux dirig´ es, feuille 1
Exercice 1 Montrer que k.k2 est bien une norme sur IR2. Exercice 2
1. Repr´esenter dans IR2 la boule ouverte, la boule ferm´ee et la sph`ere unit´e pour les normesk.k1, k.k2 etk.k∞.
2. Montrer que ces normes sont ´equivalentes.
3. En d´eduire que si (un) est une suite de vecteurs de IR2 etkunk2 tend vers +∞, alors on en a de mˆeme pour les autres normes.
Exercice 3 Montrer que 0 est adh´erent `a {1/n : n > 0} dans (IR,| . |). Calculer l’adh´erence de cet ensemble.
Exercice 4
1. Montrer qu’une boule ferm´ee est compacte. Que peut-on dire d’une boule ouverte ? 2. Montrer qu’une boule est convexe.
Exercice 5 Soient E un espace vectoriel norm´e, K une partie compacte etF une partie ferm´ee. Montrer que K+F est ferm´e.
Exercice 6 Soit (E, N) un espace vectoriel norm´e. Montrer que N est une application continue.
Exercice 7 Montrer que A ={(x, y) ∈IR2 / x3 +y3−3x > 0} est un ouvert de IR2 et B ={(x, y, z)∈IR3 / x+y+z = 0} est un ferm´e de IR3.
