1 Th´ eor` eme de Dini.
Exercice 1 Le but de l’exercice est de d´emontrer le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.1 (de Dini) soit (E, d) un espace m´etrique compact. Si (fn)n≥1 est une suite croissante de fonctions continues sur E, `a valeurs r´eelles, qui converge simplement vers une fonction continue f, alors la suite (fn)n≥1 converge uniform´ement versf.
a) Montrer que pour toutε >0 etx∈E, il existe un entiern(x)≥1 et un r´eelη(x)>0 tel que d(x, y)≤η(x) =⇒0≤g(y)−fn(x)(y)≤ε.
b) En utilisant la compacit´e deE, en d´eduire que (fn)n≥1 converge uniform´ement versf. Exercice 2 Soit (pn)n>0la suite de polynˆomes tels que
p0(t) = 0, et pn+1(t) =pn(t) +1
2(t2−p2n(t)).
a) Montrer que
06pn(t)6pn+1(t)6|t|, t∈[−1,1].
b) En d´eduire que la suite (pn)n>0 converge uniform´ement sur [−1,1] vers t→ |t|.
Remarque 1.1 On a ainsi construit explicitement une suite de polynˆomes qui converge uniform´ement vers t→ |t|(voir Th´eor`eme de Stone-Weierstrass).
2 Th´ eor` eme de Stone–Weierstrass
Exercice 3 Soitf : [a, b]→Rune fonction continue telle que Z b
a
tnf(t)dt= 0, (n∈N).
Montrer quef ≡0.
Exercice 4 Soit (E, d) un espace m´etrique compact et soitaun point fix´e deE. SoitAune sous-alg`ebre deC(E,R) v´erifiant :
(i) pour toutx1, x2∈E,x16=x2, il existe une fonctionf ∈A telle quef(x1)6=f(x2).
(ii) pour toute fonctionf ∈A,f(a) = 0.
Montrer queA={f ∈C(E,R) :f(a) = 0}.
Exercice 5 Soit (ϕn)n>0 une suite de fonctions d´efinies sur [−1,1] et `a valeurs dansRv´erifiant : (i) ϕn>0,∀n∈N.
(ii) Z 1
−1
ϕn(t)dt= 1.
(iii) La suite (ϕn)n>0 converge uniform´ement vers 0 sur tout compact ne contenant pas 0.
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Soitf :R→Rune fonction continue. Pourx∈Retn∈N, on pose (ϕn? f)(x) =
Z 1
−1
f(x−t)ϕn(t)dt.
a) Montrer que la suite (ϕn? f)n∈Nconverge uniform´ement versf sur tout compact.
b) Montrer que la suite Φn(t) = (1−t2)n
cn , n∈N, v´erifie les conditions (i), (ii) et (iii) o`ucn est une constante convenablement choisie.
c) On suppose quef est nulle en dehors de [−1/2,1/2[. Montrer que Φn? f|[−1/2,1/2[est un polynˆome.
En d´eduire une d´emonstration du th´eor`eme de Stone-Weierstrass : toute fonction r´eelle d´efinie et continue sur un compact deRest limite uniforme d’une suite de polynˆomes.
Exercice 6 (Th´eor`eme de Fej`er) On noteTle cercle unit´e du plan complexe et on appelle polynˆome trigonom´etrique une fonction d´efinie sur Tet du type
p(ζ) =
n
X
k=−m
akζk, o`um, n∈N, etak∈C, ζ∈T.
Montrer que toute fonction continue surTest limite uniforme d’une suite de polynˆomes trigonom´etriques.
Autrement dit, l’espace des polynˆomes trigonom´etriques est dense dansC(T) (pour la topologie naturelle, i.e. celle de la convergence uniforme).
Exercice 7 (Th´eor`eme de prolongement de Tietze) SoientY un espace m´etrique etX une partie compacte non vide deY. On d´esigne parCb(Y) l’espace vectoriel des fonctions continues et born´ees de Y dansCmuni de la norme d´efinie par
kfk= sup
y∈Y
|f(y)|.
C(X) est aussi muni de la norme uniforme, not´ee aussi k · k. On consid`ere l’application lin´eaire Φ de Cb(Y) dansC(X) d´efinie par Φ(f) =f|X,f ∈Cb(Y) (restriction def `a X).
a) D´emontrer queCb(Y) est un espace de Banach.
b) D´emontrer que sif ∈Cb(Y), il existe un ´el´ementfedeCb(Y) tel que Φ(fe) = Φ(f) etkfke =kΦ(f)k.
c) D´emontrer que l’image de Φ est dense dansC(X).
d) Soitg un ´el´ement deC(X), limite uniforme d’une suite (Φ(fn))n∈N.
(i) D´emontrer que l’on peut supposer, quitte `a extraire une sous-suite, que pour toutn,kΦ(fn+1)−
Φ(fn)k62−n.
(ii) D´emontrer que la s´erie
fe0+
∞
X
n=0
(fn+1^−fn)
converge dans l’espaceCb(Y) (o`ueest d´efini ce-dessus). On notef sa somme.
(iii) D´emontrer que Φ(f) =g.
e) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que toute fonction g ∈ C(X) admet un prolongement en une fonction f ∈Cb(Y) telle quekfk=kgk.
3 Th´ eor` eme d’Ascoli
Exercice 8 Les ensembles de fonctions suivantes sont-ils relativement compacts dansC([0,1]) ? (i) xn(t) =tn, (n∈N).
(ii) xn(t) = sin(nt), (n∈N).
(iii) xn(t) = sin(t+n), (n∈N).
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(iv) xα(t) = sin(αt), (α∈[1,2]).
Remarque 3.1 Dans l’exercice suivant, nous allons donner deux applications du th´eor`eme d’Ascoli dans le cadre de l’espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Mais tout d’abord, rappelons (voir feuille d’exercice 2) que si U est un ouvert de C, il existe une suite de compacts (Kn)n>1 (dite suite exhaustive de compacts) telle que tout compact est inclus dans unKn et on a aussi
Kn ⊂K◦n+1, et U = [
n>1
Kn.
Pourh∈C(U)etn>1, on pose
pn(h) = sup
z∈Kn
|h(z)|,
et on d´efinit d:C(U)×C(U)→R+ par d(f, g) :=
∞
X
n=1
1 2n
pn(f −g)
1 +pn(f −g), (f, g)∈C(U)×C(U).
On montre alors que(C(U), d)est un espace m´etrique complet et que la convergence d’une suite dans cet espace m´etrique traduit la convergence uniforme sur tout compact.
Exercice 9 SoitU un ouvert non vide deC. On note parH(U) l’ensemble des fonctions holomorphes surU muni de la m´etrique induite par (C(U), d).
a) Montrer queH(U) est complet.
b) PourKcompact non vide inclus dans U, on note δ=1
2d(K,C\U) et Kδ ={z∈C|d(z, K)≤δ}.
(i) V´erifier que Kδ est un compact inclus dansU.
(ii) Montrer que pour toutKcompact non vide inclus dansU et toute f holomorphe dans U, on a :
sup{|f0(z)|:z∈K} ≤1/δsup{|f|:z∈Kδ}.
(iii) Si A est une partie de H(U), on dit que A est uniform´ement born´ee si, pour tout compact K⊂U, il existe une constanteM(K)>0 telle que
sup
f∈A
sup
z∈K
|f(z)|6M(K).
En utilisant le th´eor`eme d’Ascoli, d´emontrer le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 3.1 (de Montel) Une partie deH(U) est relativement compacte dansH(U)si et seulement si elle est uniform´ement born´ee.
d) En d´eduire le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 3.2 (de Vitali) SoitU un ouvert non vide et connexe deC, etA⊂U une partie deU ayant au moins un point d’accumulation. Soit (fn)une suite de fonctions deH(U)uniform´ement born´ee. Si pour tout z de A la suite (fn(z)) converge dans C, alors la suite (fn) converge dans H(U).
Exercice 10 Soienta, b∈R,a < b,E=C([a, b]) etK∈C([a, b]×[a, b]). Pour f ∈E, on d´efinit Af(s) =
Z b
a
K(s, t)f(t)dt, (s∈[a, b]).
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a) MontrerA∈ L(E).
b) Montrer queAest un op´erateur compact (i.e. l’image parAde la boule unit´e deE est relativement compact dansE).
Exercice 11 Soit X un espace m´etrique compact et soit H une famille ´equicontinue d’´el´ements de C(X).
a) SoitJ l’ensemble des points xdeX tels que l’ensemble{f(x) :f ∈H} est born´e. D´emontrer que J est ouvert et ferm´e.
b) On suppose queX est connexe. D´emontrer que siJ n’est pas vide, alorsH est une partie relative- ment compact de C(X).
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