DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Suite de Fibonacci et th´ eor` eme de Beatty
On note Ω l’ensemble des suites r´eelles (un) v´erifiant la relation de r´ecurrence
∀n∈N, un+2=un+1+un.
Lasuite de Fibonacci (Fn)n∈N est l’´el´ement de Ω tel queF0= 0 etF1= 1 (onadmet qu’un ´el´ement de Ω est enti`erement d´etermin´e par ses deux premiers termes).
SoitX un ensemble. On dit que deux partiesAetB deXen forment unepartition siXest r´eunion disjointe deAet deB,i.e.A∩B=∅et A∪B =X.
Soita∈]1,+∞[. On note
Ea={bnac, n∈N∗}.
Dans la seconde partie de ce probl`eme, on cherche `a montrer le th´eor`eme de Beatty : soit a, b ∈]1,+∞[. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
1. Ea et Eb forment une partition deN∗. 2. aetb sont irrationnels, et 1a +1b = 1.
Partie A – Sur la suite de Fibonacci
A.1Soitλ, µ∈R,u, v∈Ω,w=λu+µv. Montrer quew∈Ω.
A.2D´eterminer les deux r´eelsφetψ, o`uφ > ψ, tels que les suites (φn)n∈Net (ψn)n∈N appartiennent `a Ω.
A.3Montrer qu’il existe des r´eelsaetb tels que, pour toutn∈N: Fn =a φn+b ψn,
et d´eterminer ces r´eels.
A.4Donner un ´equivalent simple deFn. En d´eduire queF
n+1
Fn
n∈N∗ converge, et d´eterminer sa limite.
Partie B – Th´ eor` eme de Beatty
Soita, b∈]1,+∞[.
B.1Pour toutm∈N∗, on note
fa(m) = Card ({p∈Ea, p6m}).
a Etablir, pour tout´ m∈N∗:
m+ 1
a −16fa(m)<m+ 1 a . Que dire de la premi`ere in´egalit´e dans le cas o`uaest irrationnel ?
bEn d´eduire que la suitef
a(m) m
m∈N∗
converge, et d´eterminer sa limite.
B.2On suppose dans cette question queEa etEb forment une partition deN∗. a Montrer que : 1a+1b = 1.
bMontrer que ab est irrationnel. En d´eduire queaetble sont aussi.
B.3On suppose iciaet birrationnels, et 1a+1b = 1.
a Montrer queEa∩Eb=∅.
bSoitm∈N∗. ´Etablir :
m−1< fa(m) +fb(m)< m+ 1.
En d´eduire queEa∪Eb=N∗.
B.4Montrer queEφ etEφ2 forment une partition deN∗.
