Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI− 2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Th´ eor` eme de la bijection
Soit f une fonction telle que :
(a) f est d´efinie sur un intervalle I de R; (b) f est continue sur I;
(c) f est strictement monotone sur I. On a alors les r´esultats suivants.
1. f r´ealise une bijection de I surf(I), i.e. la fonction fe: I →f(I) ; x7→f(x)
d´eduite de f en restreignant son ensemble d’arriv´ee, est bijective.
2. Si a etb sont les extr´emit´es de I, alors il existeA, B ∈Rtels que : f(x) →
x→aA et f(x) →
x→b B.
De plus, si a∈I (resp. b∈I), alorsA=f(a) (resp.B =f(b)).
3. L’intervallef(I) est donn´e par le tableau suivant.
f %% surI f && surI I = [a, b] f(I) = [A, B] f(I) = [B, A]
I =]a, b] f(I) =]A, B] f(I) = [B, A[
I = [a, b[ f(I) = [A, B[ f(I) =]B, A]
I =]a, b[ f(I) =]A, B[ f(I) =]B, A[
4. La fonctionfe´etant bijective, on peut consid´erer sa bijection r´eciproque (fe)−1 d´efinie par :
(f)e−1: f(I)→I ; y 7→
l’unique solution de l’´equation f(x) = y
d’inconnue x∈I.
La fonction (fe)−1 est continue surf(I), de mˆeme stricte monotonie que f, bijective.
