1 Rappels sur le th´ eor` eme de la bijection

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre III

D´ erivabilit´ e d’une bijection r´ eciproque

Table des mati` eres

1 Rappels sur le th´eor`eme de la bijection 2

2 Dérivabilité et dérivée d’une bijection réciproque 6

3 La fonction arcsinus 7

4 La fonction arccosinus 8

5 La fonction arctangente 10

(2)

1 Rappels sur le th´ eor` eme de la bijection

Notation :On noteRl’ensembleR∪ {−∞,+∞}.

Théorème 1 (critère d’existence de limites aux bornes d’un intervalle de définition) :Soita, b∈R.

1. Soit f: [a, b[→ R une fonction monotone. Alorsf(x) tend vers une limite finie ou infinie quand x tend versb⁻.

2. Soit f: ]a, b]→R une fonction monotone. Alorsf(x) tend vers une limite finie ou infinie quand xtend versa⁺.

⋄ Exercice 1 Soitf la fonction d´efinie par :

f: [1,+∞[→R; A7→

Z A 1

e⁻^x

2 2 dx

et soitgla fonction d´efinie par :

g: [1,+∞[→R; A7→

Z A 1

e⁻^x² dx.

1. ´Etudier le comportement asymptotique deg en +∞.

2. Montrer quef est croissante sur [1,+∞[. Que peut-on en d´eduire quant au comportement asymptotique def en +∞?

3. Montrer que pour toutx∈[1,+∞[ :

e⁻^x

2

2 ≤e⁻^x².

4. En déduire quef(A) tend vers une limite finie quandAtend vers +∞. Théorème 2 (théorème des valeurs intermédiaires)

1. 1`ere version : Soit I un intervalle et soit f: I → R une fonction continue sur I. Alors f(I) est un intervalle.

2. 2`eme version : SoitI un intervalle et soit f: I → R une fonction continue surI. Pour tout a, b∈ I, pour touty entref(a) etf(b), il existexentreaet btel quef(x) =y.

⋄ Exemple 1

1. La fonctionf, représentée graphiquement ci-dessous, est définie sur l’intervalle [1,3] et n’est pas continue sur [1,3] (elle n’est pas continue en 2). Son image, qui est [0,2]∪[3,5], n’est pas un intervalle. L’hypothèse de continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires est donc importante.

1 2 3 4 5

−1

1 2 3 4

−1

[

b

b b

2. La fonction f, représentée graphiquement ci-dessous, est définie et continue sur l’ensemble [1,3]∪[4,6]

qui n’est pas un intervalle. Son image, qui est{1} ∪[2,4], n’est pas un intervalle. L’hypothèse^≪I est un intervalle^≫ dans le théorème des valeurs intermédiaires est donc importante.

(3)

1 2 3 4 5

−1

1 2 3 4 5 6

−1

b b b b

3. La fonction f, représentée graphiquement ci-dessous, est définie et continue sur l’intervalle [1,9]. Elle vérifie donc les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires.

• 1`ere version : Son image est donc un intervalle. On trouve graphiquementf([1,9]) = [3,11].

• 2ème version : De plus pour touta, b∈[1,9], pour tout yentref(a) etf(b), il existe xentreaet btel que f(x) =y. Ci-dessous, on illustre cette propriété pour a= 3,b = 8, y = 8.6. On a bien y compris entref(a) etf(b), carf(a)<7 etf(b)>10. On voit alors qu’il existexcompris entreaetb(i.e. dans [3,8]) tel quef(x) =y. En fait, il existe 3 telsx:x1,x2etx3déterminés graphiquement. On notera en particulier que le théorème des valeurs intermédiaires donne un résultat d’existence, mais pas d’unicité.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−1 a b

f(b)

f(a)

x1 x2 x3

y

b b

⋄ Exercice 2

1. SoitP =X³+ 5X−4. Montrer queP poss`ede au moins une racine r´eelle.

2. Soit P =X³+a2X²+a1X+a0 un polynôme à coefficients a0, a1, a2 réels de degré 3. Montrer queP possède au moins une racine réelle.

3. Comment peut-on généraliser le précédent résultat ?

(4)

Définition (ensemble image d’une application) : Soit f:E → F une application. Alors l’image de f, notéef(E), est l’ensemble des éléments def qui possèdent au moins un antécédent parf, i.e. :

f(E) ={y∈F : ∃x∈E f(x) =y}.

⋄ Exemple 2

1. Repr´esentation d’une applicationf:E→F `a l’aide de diagrammes de Venn, puis son imagef(E).

2. D´etermination graphique, puis analytique, de l’image de la fonctionf: [0,1]→R; x7→2x−1.

Corollaire (image continue strictement monotone d’un intervalle) : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle. Le tableau suivant donne la forme de f(I) en fonction de la forme deI et du sens de variation def.

f strictement croissante sur I f strictement d´ecroissante sur I

I= [a, b] f(I) = [f(a), f(b)] f(I) = [f(b), f(a)]

I=]a, b] f(I) =i

xlim→af(x), f(b)i

f(I) =h

f(b),lim

x→af(x)h

I= [a, b[ f(I) =

f(a),lim

x→bf(x)

f(I) =

xlim→bf(x), f(a)

I=]a, b[ f(I) =

xlim→af(x),lim

x→bf(x)

f(I) =

x→blimf(x),lim

x→af(x)

D´efinitions (application injective, application surjective, application bijective) :Soitf:E→F une application.

• On dit quef est injective si pour tout y∈F l’´equation : f(x) =y d’inconnuex∈E admet 0 ou 1 solution.

• On dit quef est surjective si pour touty∈F l’´equation : f(x) =y d’inconnuex∈E admet au moins une solution.

• On dit quef est bijective sif est injective et surjective, i.e. si pour touty∈F l’´equation : f(x) =y

d’inconnuex∈E admet une et une seule solution.

⋄ Exemple 3 : Repr´esentation d’une application f injective (resp. non injective, resp. surjective, resp. non surjective, resp. bijective) `a l’aide de diagrammes de Venn.

Définition (bijection réciproque) :Si f est bijective, on définit sa bijection réciproque : f⁻¹:F →E

comme étant la fonction qui à touty∈F associe l’unique solution de l’équationf(x) =y dansE. On a donc :

∀y∈F f⁻¹(y) =x⇐⇒







f(x) =y et

x∈E .

(5)

De plus :

∀x∈E f⁻¹◦f(x) =x et ∀y∈F f◦f⁻¹(y) =y.

⋄ Exemple 4

1. Repr´esentation d’une applicationf bijective, puis def⁻¹ `a l’aide de diagrammes de Venn.

2. Démonstration de la bijectivité de f: [1,4]→[3,9] ; x7→2x+ 1, calcul def⁻¹(y) pour tout y ∈[3,9], explication des représentations graphiques def etf⁻¹ci-dessous.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y=x

Cf

Cf⁻¹

Remarque importante : Si f est une application bijective, de représentation graphiqueC^f dans un repère Rdu plan, alors la représentation graphique def⁻¹ dansRest le symétrique deCf par rapport à la première bissectrice (i.e. par rapport à la droite d’équationy=x).

Théorème 3 (théorème de la bijection) :Soitf une fonction, de domaine de définitionI. Si :

• I est un intervalle ;

• f est continue surI;

• f est strictement monotone surI

alorsf induit une bijectionf⁻¹ def(I) surI. De plusf⁻¹est continue surf(I) et de mˆeme monotonie que la fonctionf.

⋄ Exemple 5

1. En appliquant le théorème de la bijection à la fonction sin_|[−^π2,^π₂]: h

−π 2,π

2

i→[−1,1] ; x7→sin(x)

on montre que sin_|[−^π2,^π₂]est bijective. Sa bijection réciproque est appelée fonction arcsinus et notée arcsin : arcsin: [−1,1]→h

−π 2,π

2 i.

On a :

∀y∈[−1,1] arcsin(y) =x⇐⇒







sin(x) =y et

x∈h

−π 2,π

2 i .

(6)

De plus :

∀x∈h

−π 2,π

2

i arcsin(sin(x)) =x et ∀y∈[−1,1] sin(arcsin(y)) =y.

Toujours grâce au théorème de la bijection, on sait que arcsin est continue et strictement croissante sur [−1,1].

2. Calcul de arcsin(0), arcsin(^√₂²), arcsin(−¹₂).

2 D´ erivabilit´ e et d´ eriv´ ee d’une bijection r´ eciproque

Théorème 4 (dérivabilité et dérivée d’une bijection réciproque ) : Soitf une application bijective et continue d’un intervalle I vers un intervalle J. Si f est dérivable en x0 ∈ I, et si f^′(x0) 6= 0, alors f⁻¹ est dérivable eny0=f(x0) et l’on a :

(f⁻¹)^′(y0) = 1 f^′(f⁻¹(y0)).

Remarque importante : Soit f: I → J une bijection dérivable (et donc continue) sur l’intervalleI. Alors l’ensemble de dérivabilité def⁻¹, notéD_f^′⁻¹, est donné par :

Df^′⁻¹ ={y∈J : f^′(f⁻¹(y))6= 0}.

Autrement dit,D^′_f⁻¹ est défini par la non annulation du dénominateur dans la formule du théorème 4.

Preuve de l’assertionD^′_f⁻¹ ={y∈J : f^′(f⁻¹(y))6= 0}.

⊃ Soity0 ∈J tel que f^′(f⁻¹(y0))6= 0. Soit x0 =f⁻¹(y0). On a donc f(x0) = y0. Le théorème 4 appliqué enx0 montre quef⁻¹est dérivable eny0. On a donc l’inclusion :{y∈J : f^′(f⁻¹(y))6= 0} ⊂ D^′_f⁻¹.

⊂ Soity0∈ D^′f⁻¹. Commef⁻¹ est dérivable eny0et quef est dérivable enf⁻¹(y0), la fonctionf◦f⁻¹est dérivable en y0. D’après la formule de dérivation d’une composée, on a alors :

(f◦f⁻¹)^′(y0) = (f⁻¹)^′(y0)×f^′(f⁻¹(y0)). (1) Mais on a égalementf◦f⁻¹(y) =ypour touty∈J. On en déduit quef◦f⁻¹est dérivable surJ et que pour touty∈J : (f◦f⁻¹)^′(y) = 1. En particulier on a :

(f ◦f⁻¹)^′(y0) = 1. (2)

De (1) et (2) on d´eduit que :

(f⁻¹)^′(y0)×f^′(f⁻¹(y0)) = 1. (3) Par suite, f^′(f⁻¹(y0)) ne peut ˆetre nul et doncy0 ∈ {y ∈J : f^′(f⁻¹(y))6= 0}. On a donc l’inclusion D^′_f⁻¹ ⊂ {y∈J : f^′(f⁻¹(y))6= 0}.

⋆ Notons au passage que de (3), on déduit aisément la formule du théorème 4.

⋄ Exercice 3 : On se propose de donner une définition de la fonction racine carrée et de retrouver quelques unes de ses propriétés, en particulier son domaine de dérivabilité et sa dérivée, en appliquant le théorème 3, le théorème 4 et la remarque importante qui le suit.

Soitf la fonction d´efinie par :

f: [0,+∞[→R : x7→x².

1. Montrer quef induit une bijection de [0,+∞[ sur [0,+∞[. On notef⁻¹la bijection réciproque. C’est par définition la fonction usuelle racine carrée. Dans la suite on répondra aux questions sans jamais invoquer de propriétés^≪connues^≫ de la fonction racine carrée.

2. Calculerf⁻¹(4).

3. Montrer quef⁻¹est d´erivable en 4 et calculer (f⁻¹)^′(4).

4. Donner le domaine de d´erivabilit´eD^′_f⁻¹ def⁻¹. 5. Calculer (f⁻¹)^′(y) pour touty∈ D^′_f⁻¹.

(7)

3 La fonction arcsinus

La fonction arcsinus, notée arcsin, a été définie dans l’exemple 5.

Théorème 5 (propriétés de la fonction arcsin)

1. La fonction arcsin est d´efinie sur [−1,1] et prend ses valeurs dans l’intervalleh

−π 2,π

2 i. 2. On a :

∀y∈[−1,1] arcsin(y) =x⇐⇒







sin(x) =y et

x∈h

−π 2,π

2 i .

3. On a :

∀x∈h

−π 2,π

2

i arcsin(sin(x)) =x et ∀y∈[−1,1] sin(arcsin(y)) =y.

4. La fonction arcsin est impaire.

5. La fonction arcsin est continue sur [−1,1].

6. Le domaine de d´erivabilit´e de arcsin est ]−1,1[.

7. Pour touty∈]−1,1[

arcsin^′(y) = 1 p1−y². 8. Le tableau de variations de arcsin est :

x −1 1

π 2

Variations de arcsin

ր

−π 2

9. Le tableau de signes de arcsin est :

x −1 0 1

Signe de arcsin − 0 +

10. La courbe représentative de arcsin dans un repère orthonormé du plan est :

(8)

0.5 1.0 1.5 2.0

−0.5

−1.0

−1.5

−2.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

−0.5

−1.0

−1.5

−2.0

Csin|[−π 2,π

2]

Carcsin

y=x

⋄ Preuve du th´eor`eme 5 Remarque :La courbeC^sin|[−π

2,π

2] pr´esente deux demi-tangentes horizontales : en−π

2 et en π

2. Par suite (cf.

symétrie par rapport à la première bissectrice), la courbe Cârcsin présente deux demi-tangentes verticales : en

−1 et en 1. On retrouve ainsi graphiquement le fait que la fonction arcsin n’est d´erivable ni en−1, ni en 1.

⋄ Exercice 4 :Calculer Z ¹₂

0

√ 1

1−x² dx.

4 La fonction arccosinus

On démontre, en utilisant le théorème de la bijection, que la fonction cos_|_[0,π]: [0, π]→[−1,1], x 7→cos(x)

est bijective. Sa bijection réciproque est appelée fonction arccosinus et est notée arccos.

⋄ Exemple 6 :Calcul de arccos(0), arccos(¹₂), arccos(−1).

Théorème 6 (propriétés de la fonction arccos)

1. La fonction arccos est d´efinie sur [−1,1] et prend ses valeurs dans l’intervalle [0, π].

2. On a :

∀y∈[−1,1] arccos(y) =x⇐⇒







cos(x) =y et

x∈[0, π]

. 3. On a :

∀x∈[0, π] arccos(cos(x)) =x et ∀y∈[−1,1] cos(arccos(y)) =y.

4. La fonction arccos n’a aucune propriété de parité.

5. La fonction arccos: [−1,1]→[0, π] est continue sur [−1,1].

6. Le domaine de d´erivabilit´e de arccos est ]−1,1[.

7. Pour touty∈]−1,1[,

arccos^′(y) =− 1 p1−y². 8. Le tableau de variations de arccos est :

(9)

x −1 1

π

Variations de arccos

ց

0

9. Le tableau de signes de arccos est :

x −1 1

Signe de arccos + 0

10. La courbe représentative de arccos dans un repère orthonormé du plan est :

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

−0.5

−1.0

−1.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

−0.5

−1.0

−1.5

−2.0

Ccos|[0,π]

y=x

Carccos

⋄ Preuve du th´eor`eme 6

Remarque :La courbeC^cos|[0,π] présente deux demi-tangentes horizontales : en 0 et enπ. Par suite (cf. symétrie par rapport à la première bissectrice), la courbeCârccosprésente deux demi-tangentes verticales : en−1 et en 1.

On retrouve ainsi graphiquement que la fonction arccos n’est d´erivable ni en−1, ni en 1.

Rappel (corollaire du théorème des accroissements finis) : Si f est une fonction dérivable sur un intervalleI et si pour toutx∈I :

f^′(x) = 0 alors la fonctionf est constante surI, i.e. :

∃K∈R ∀x∈I f(x) =K.

(10)

⋄ Exercice 5 :Montrer que :

∀x∈[−1,1] arcsin(x) + arccos(x) = π 2.

5 La fonction arctangente

On démontre, en utilisant le théorème de la bijection, que la fonction tan_|]−^π2,^π₂[ :

i−π 2,π

2

h→R, x 7→tan(x)

est bijective. Sa bijection réciproque est appelée fonction arctangente et est notée arctan.

⋄ Exemple 7 :Calcul de arctan(0) et arctan(1).

Théorème 7 (propriétés de la fonction arctan)

1. La fonction arctan est d´efinie surRet prend ses valeurs dans l’intervallei

−π 2,π

2 h. 2. On a :

∀y∈R arctan(y) =x⇐⇒







tan(x) =y et

x∈i

−π 2,π

2 h .

3. On a :

∀x∈i

−π 2,π

2

h arctan(tan(x)) =x et ∀y∈R tan(arctan(y)) =y.

4. La fonction arctan est impaire.

5. La fonction arctan est d´erivable (donc continue) surR.

6. Pour touty∈R,

arctan^′(y) = 1 1 +y². 7. On a :

arctan(x)_x−→

→−∞−π

2 et donc par imparit´e arctan(x)_x−→

→+∞

π 2. 8. Le tableau de variations de arctan est :

x −∞ +∞

π 2

Variations de arctan

ր

−π 2

9. Le tableau de signes de arctan est :

x −∞ 0 +∞

Signe de arctan − 0 +

10. La courbe représentative de arctan dans un repère orthonormé du plan est :

(11)

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

Ctan

|]⁻^π2,π 2[

y=x C^arctan

⋄ Preuve du th´eor`eme 7

⋄ Exercice 6 :Montrer que :

∀x∈R^∗ arctan(x) + arctan 1

x

=











−π

2 six <0 π

2 six >0 .