TD 5 : Th´ eor` eme de Cauchy

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Universit´ e Paris-Saclay Ann´ ee 2019–2020 Licences L3 PAPP & PMEC

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 5 : Th´ eor` eme de Cauchy

Exercice 1 : Param´ etrisation de contours

Motivation : L’int´ egration d’une fonction analytique f (z) le long d’un contour Γ du plan complexe peut ˆ etre mise sous la forme de l’int´ egrale d’une fonction d’une variable r´ eelle en param´ etrant le contour Γ. Il s’agit en pratique de trouver une fonction t 7→ z(t) ∈ Γ de [t

1

, t

2

] → C. On calcule alors l’int´ egrale en utilisant : R

Γ

dz f (z) = R

t2

t1

dt

^dz(t)_dt

f (z(t)).

1 – Param´ etrer les diff´ erents contours d’int´ egration (rq : il n’y a pas un choix unique) :

0

R z

0

^α

z

β 2

z

₁

i

0

^α

R R

2 – Calculer R

Γ

dz z

²

o` u Γ est l’arc de parabole x = y

²

avec y ∈ [0, y

₀

].

Exercice 2 : Quelques int´ egrales sur C 1 – Calculer l’int´ egrale curviligne R

z dz sur le quart de cercle de centre 1 + i et de rayon 1 joignant les points z

1

= 2 + i ` a z

2

= 1 + 2i. V´ erifier que f (z) est holomorphe et retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent en utilisant cette propri´ et´ e.

2 – Calculer l’int´ egrale I

C_R

dz z ¯ (1)

o` u C

_R

est le cercle centr´ e sur z

0

de rayon R (1er des trois contours de l’exercice 1). Comparer

` a H

C_R

dz z.

Exercice 3 : Utilisation du th´ eor` eme de Cauchy

1 – Int´ egrale de Fresnel

On consid` ere la fonction f (z) = e

^iz²

. ´ Etudier H

ΓR

dz f (z) o` u le contour est Γ

_R

= [0, R] ∪ {Re

^iθ

, θ ∈ [0,

^π₄

]} ∪ {te

ⁱ^π⁴

, t ∈ [R, 0]}. D´ eduire :

Z

+∞

−∞

cos(x

²

) dx = Z

+∞

−∞

sin(x

²

) dx = r π

2 . (2)

1

(2)

2 – Transform´ ee de Fourier de la gaussienne Posons, pour z ∈ C ,

f (z) = exp

− 1 2 z

²

.

2.1 ) Montrer que f (z) est une fonction holomorphe sur C .

Soit R > 0 et soit y

₀

∈ R

^∗

. Soit le chemin γ = γ

₁

∪ γ

₂

∪ γ

₃

∪ γ

₄

parcouru dans le sens direct avec

— γ

1

= [−R, +R] ;

— γ

₂

= [R, R + iy

₀

] ;

— γ

₃

= [R + iy

₀

, −R + iy

₀

] ;

— γ

4

= [−R + iy

0

, −R].

2.2 ) Montrer que

R→+∞

lim Z

γ2

f(z) dz = 0 ; (3)

R→+∞

lim Z

γ4

f(z) dz = 0. (4)

2.3 ) En d´ eduire, grˆ ace ` a un choix pertinent de l’ordonn´ ee y

₀

, que F [g](k) = 1

√ 2π

Z

R

dx g(x) e

^−ikx

= g(k) pour g(x) = e

⁻¹²^x²

(5)

Exercice 4 : Int´ egrale de la gaussienne (facultatif)

1 – Calculer le jacobien du changement de variables en coordonn´ ees polaires.

2 – En int´ egrant (x, y) 7→ exp(−(x

²

+ y

²

)) sur D

n

= {(x, y) ∈ R

⁺

× R

⁺

; x

²

+ y

²

6 n

²

} et en passant ` a la limite, montrer que R

R

exp(−x

²

) dx = √ π.

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