TD 5 : Th´ eor` eme de Cauchy

Universit´e Paris-Saclay Ann´ee 2020–2021 Licences L3 PAPP

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 5 : Th´ eor` eme de Cauchy

Exercice 1 : Param´ etrisation de contours (*)

Motivation : L’int´ egration d’une fonction analytique f (z) le long d’un contour Γ du plan complexe peut ˆ etre mise sous la forme de l’int´ egrale d’une fonction d’une variable r´ eelle en param´ etrant le contour Γ. Il s’agit en pratique de trouver une fonction t 7→ z(t) ∈ Γ de [t

, t

] →

. On calcule alors l’int´ egrale en utilisant :

Γ

dz f (z) =

t1

dt

f (z(t)).

1 – On consid` ere les contours suivants :

0

0

R z

0 ^α

z

β 2

z₁

i

0 ^α

R R

Pour chaque contour ou morceau de contour, donner la param´ etrisation z(t) et d´ eduire dz(t) (rq : il n’y a pas un choix unique).

2 – On note Γ l’arc de parabole x = y

avec y ∈ [0, y

]. Param´ etrer Γ puis calculer l’int´ egrale de contour

Γ

dz z

suivant la m´ ethode expos´ ee dans le paragraphe d’introduction.

Indication : V´ erifier que

Γ

dz z

=

z

o` u z

est l’extr´ emit´ e de la parabole. Commenter.

Exercice 2 : Quelques int´ egrales sur

1 – Calculer l’int´ egrale curviligne

z dz sur le quart de cercle de centre 1 + i et de rayon 1 joignant les points z

= 2 + i ` a z

= 1 + 2i. V´ erifier que f (z) est holomorphe et retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent en utilisant cette propri´ et´ e.

2 – (*) Calculer l’int´ egrale

C_R

dz z ¯ (1)

o` u C

est le cercle centr´ e sur z

de rayon R (1er des trois contours de l’exercice 1). Comparer

` a

C_R

dz z.

1

Exercice 3 : Utilisation du th´ eor` eme de Cauchy

1 – Int´ egrale de Fresnel (*) a) Discuter la convergence de

0

cos(x

) dx.

b) L’objectif est de calculer les deux int´ egrales

−∞

cos(x

) dx =

−∞

sin(x

) dx =

π

2 (2)

`

a l’aide du th´ eor` eme de Cauchy. Pour cela, on introduit la fonction f(z) = e

et nous ´ etudions l’int´ egrale dans le plan complexe

Γ_R

dz f (z), o` u le contour est Γ

= ∆

∪

∪ ∆

avec (i) ∆

= [0, R] ;

(ii)

= {Re

, θ ∈ [0,

]} ; (iii) ∆

= {te

, t ∈ [R, 0]}.

• Dessiner soigneusement le contour.

• Montrer que la contribution

CR,π/4

dz f (z) tend vers 0 lorsque R → ∞.

[Indication : doit-on utiliser un majorant sin θ

θ ou un minorant sin θ

2θ/π sur (0, π/2) ?]

• Ecrire explicitement ´

∆R

dz f (z) et

∆e_R

dz f (z).

• D´ eduire les relations (2).

2 – Transform´ ee de Fourier de la gaussienne Posons, pour z ∈

,

f (z) = exp

− 1 2 z

.

2.1 ) Montrer que f (z) est une fonction holomorphe sur

.

Soit R > 0 et soit y

∈

. Soit le chemin γ = γ

∪ γ

∪ γ

∪ γ

parcouru dans le sens direct avec

— γ

= [−R, +R] ;

— γ

= [R, R + iy

] ;

— γ

= [R + iy

, −R + iy

] ;

— γ

= [−R + iy

, −R].

2.2 ) Montrer que

R→+∞

lim

γ2

f (z) dz = 0 ; et lim

R→+∞

Z

γ4

f (z) dz = 0. (3)

2.3 ) En d´ eduire, grˆ ace ` a un choix pertinent de l’ordonn´ ee y

, que

[g](k) = 1

√ 2π

Z

R

dx g(x) e

= g(k) pour g(x) = e

(4) Exercice 4 : Int´ egrale de la gaussienne (facultatif)

1 – Calculer le jacobien du changement de variables en coordonn´ ees polaires.

2 – En int´ egrant (x, y) 7→ exp[−(x

+ y

)] sur

= {(x, y) ∈

×

; x

+ y

n

} et en passant ` a la limite, montrer que

R

exp(−x

) dx = √ π.

2