Int´egration et probabilit´es 2012-2013 TD3 – Int´egration, th´eor`emes de convergence
1 – Petites questions
1) Soit(fn)n>0une suite de fonctions continues sur[0, 1], avec06fn 61pour toutn, qui converge simplement vers 0. Montrer que
n→lim∞
Z1
0
fn(x)dx=0.
2) On d´efinit sur un espace mesur´e(E,A,µ)une suite de fonctions mesurables(fn)n>0 et une fonction mesurableftelle quefn →f µ-p.p. quandn→∞. On suppose que
sup
n>0
Z
E
|fn|dµ <∞.
Montrer quefest int´egrable.
3)(In ´egalit ´e de Markov)Soitf∈L1(E,A,µ). Montrer que pour toutA > 0, µ({|f|>A})6 1
A Z
E
|f|dµ.
4) Soitf∈L1(E,A,µ). Montrer queµ({f= +∞}) =0. Que dire de la r´eciproque?
2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence
Exercice 1.
1) Soitfune fonction d´erivable sur[0, 1], de d´eriv´eef0born´ee. Prouver que Z1
0
f0(x)dx=f(1) −f(0).
2) (?)Trouver une fonction continue presque partout d´erivable sur [0, 1] telle quef(0) = 0,f(1) =1etR1
0f0(x)dx =0.
Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications,
n’h´esitez pas
`a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4.1
Exercice 2 (Borel-Cantelli is back). Soient f : (R,B(R)) → (R,B(R))une fonction int´egrable pour la mesure de Lebesgue etα >0. Montrer que pour presque toutx∈R,
n→lim∞n−αf(nx) =0.
Indication donn´ee `a titre indicatif : on pourra consid´erer, pourη >0, les ensembles Aη,n ={x∈R:n−α|f(nx)|> η}, n>1.
Exercice 3(Uniforme continuit ´e de l’int ´egrale).
Soient(E,A,µ)un espace mesur´e etf: (E,A,µ)→(R,B(R))une fonction int´egrable.
1) Montrer que
n→lim∞
Z
|f|1{|f|>n}dµ=0.
2) Montrer que
∀ε > 0, ∃δ >0, ∀A∈A, µ(A)< δ⇒ Z
A
|f|dµ < ε.
3) Si f : (R,B(R)) → (R,B(R)) est int´egrable pour la mesure de Lebesgue, que peut-on dire de la fonctionF:u→R
[0,u]fdλ?
Exercice 4(Probl `eme: convergence en mesure).
Soit(E,A,µ)un espace mesur´e tel queµ(E)<∞. Soient(fn)n>0etfdes fonctions mesurables de(E,A)dans(R,B(R)). On dit que la suite(fn)converge versfen mesure si pour toutε >0,
µ(|f−fn|> ε)−→0.
1. Montrer que siR
E|f−fn|dµ→0, alorsfn →fen mesure. Remarquer que la r´eciproque est fausse.
2. Montrer que sifn →f µ-p.p., alorsfn → fen mesure. Remarquer que la r´eciproque est fausse.
3. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que sifn → fen mesure, alors on peut extraire une suite de(fn)qui convergeµ-p.p. versf.
4. Un th´eor`eme de convergence domin´ee plus fort. On suppose quefn → fen mesure et qu’il existe une fonctiong:E→Rint´egrable telle que|fn|6g µ-p.p. pour toutn>1.
(a) Montrer que|f|6g µ-p.p.
(b) En d´eduire `a l’aide de la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale que Z
E
|fn−f|dµ→0.
2
5. L’espaceL0(E,µ). On noteL0(E,µ)l’ensemble des fonctions mesurables quotient´e par la relation d’´egalit´eµ-p.p.
(a) Montrer que l’on d´efinit une distance surL0(E,µ)par δ(f,g) =inf{ε >0,µ(|f−g|> ε)6ε}
et que celle-ci m´etrise la convergence en mesure.
(b) Montrer que(L0(E,µ),δ)est complet.
(c) Montrer qu’il n’existe pas de distance surL0(E,µ)qui m´etrise la convergenceµ-p.p.
Exercice 5.
Soitf:]0, 1[→Rune fonction positive, monotone et int´egrable. Quelle est la limite de la suite
Z1
0
f(xn)dx
n>1
?
3 – ` A pr´eparer pour la prochaine fois
Exercice 6.
1. Dans le lemme de Fatou, montrer que si l’on remplacelim inf par lim sup, fn > 0 par fn 6 0 et > par 6, le th´eor`eme reste vrai. Montrer en revanche, `a l’aide de contre- exemples, qu’on ne peut pas se permettre d’en changer certains mais pas les autres.
2. Donner un exemple de fonctions (fn)n>0 pour lesquelles l’in´egalit´e est stricte dans le lemme de Fatou.
3. Dans le th´eor`eme de convergence domin´ee, v´erifier, en donnant des exemples et contre- exemples, que si l’on oublie une hypoth`ese la conclusion peut rester vraie, ou pas ! 4. Reprendre la question pr´ec´edente avec le th´eor`eme de convergence monotone.
5. SoitR (fn) une suite de fonctions positives convergeant µ-pp vers f. Supposons que fndµ −→ c < ∞. Montrer que R
fdµ est d´efinie est appartient `a[0,c] mais ne vaut pas n´ecessairementc.
6. Construire une suite de fonctions continuesfnsur[0, 1], avec06fn61, et telle que
lim Z1
0
fn(x)dx =0,
sans toutefois que la suite(fn(x))ne converge pour aucunxde[0, 1].
3
4 – Compl´ements (hors TD)
Exercice 7. Soit (X,A,µ) un espace mesur´e de masse totale finie et f : X → R mesurable.
Montrer que:
f∈L1(X,A,µ) ⇐⇒ X
n>1
µ({|f|>n})<∞. Que se passe-t-il si la masse totale est infinie?
Exercice 8(Quand est-ce que convergence p.p. implique convergence dansL1?). Soit(E,A,µ) un espace mesur´e avecµ(E) <∞. Une famille (fi)i∈I)de fonctions mesurables deEdans R est diteuniform´ement int´egrablesi
c→lim∞sup
i∈I
Z
{|fi|>c}|fi|dµ=0.
a) Montrer que toute famille finie deL1(E,A,µ)(not´eL1(µ)dans la suite) est uniform´ement int´egrable.
b) Montrer que la famille(fi)i∈I)est uniform´ement int´egrable si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont satisfaites:
(i) sup{R
|fi|dµ,i∈I}<∞
(ii) ∀ε > 0,∃η >0,∀A∈A, µ(A)< η=⇒ ∀i∈I,R
A|fi|dµ < ε.
c) Montrer que si les familles (fi)i∈I et (gi)i∈I sont uniform´ement int´egrables, alors il en est de mˆeme pour la famille(fi+gi)i∈I).
d) Soit(fn)n>1 une suite de fonctions qui convergeµ-p.p. vers une fonctionf. Montrer que (fn)n>1 est uniform´ement int´egrable si, et seulement si,f∈L1(µ)et
Z
E
|fn−f|dµ −→
n→∞ 0.
Exercice 9(?). Soient (E,A,µ)un espace mesur´e et(An)n>1 une suite d’´el´ements deA. Soit f: (E,A,µ)→(R,B(R))une fonction int´egrable telle que
Z
E
|1An −f|dµ −→
n→∞ 0.
Montrer qu’il existeA∈Atel quef=1A,µpresque partout.
Fin
4
