TD  — Théorèmes de Fubini, calculs – Corrigé

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Théorèmes de Fubini, calculs – Corrigé

0 – Exercices `a pr´eparer du TD 4

E

^{xercice 1.} ^(Partiel) Soit (E,E, µ) un espace mesur´e etf :E→R₊une fonion mesurable.

. On suppose quef eint´egrable. ´Etudier la convergence de la suite I_n=n

Z

E

ln +f n

! dµ lorsquen→ ∞.

. Mˆeme queion losqueR

Ef dµ=∞. Corrig´e :

. Pour toutx ∈ E, nln (+f(x)/n) →f(x) lorsquen → ∞, et de plus, on an|ln (+f /n)|dµ≤ |f|, qui eune fonion intégrale positive indépendante den. D’après le théorème de convergence dominée,I_n→R

Ef dµ.

. D’apr`es le lemme de Fatou,

lim inf

n→∞

Z

E

nln +f n

! dµ≥

Z

E

f dµ=∞. AinsiI_n→ ∞.

Remarque.On peut aussi vérifier quenln(+f /n) croˆıt versf quandn→ ∞, et appliquer, aussi bien pour a) que pour b), le théorème de convergence monotone.

E

^{xercice 2.}

. Dans le lemme de Fatou, montrer que si l’on remplace lim inf par lim sup,f_n≥parf_n≤et≥ par≤, le théorème ree vrai. Montrer en revanche, à l’aide de contre-exemples, qu’on ne peut pas se permettre d’en changer certains mais pas les autres.

. Donner un exemple de fonions (f_n)_n≥ pour lesquelles l’in´egalit´e e rie dans le lemme de Fatou.

. Dans le théorème de convergence dominée, vérifier, en donnant des exemples et contre-exemples, que si l’on oublie une hypothèse la conclusion peut reer vraie, ou pas !

. Reprendre la queion précédente avec le théorème de convergence monotone.

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

. Soit (f_n) une suite de fonions positives convergeantµ-pp versf. Supposons queR

f_ndµ−→c <∞. Montrer queR

f dµedéfinie eappartient à [, c] mais ne vaut pas nécessairementc.

. Conruire une suite de fonions continuesf_nsur [,], avec≤f_n≤, et telle que lim

Z_

 f_n(x)dx=,

sans toutefois que la suite (f_n(x)) ne converge pour aucunxde [,].

Corrig´e :

Tout d’abord, voici une tripot´ee d’exemples utiles : La bosse glissante :f_n=1_[n,n+].

Le puits infini :f_n=n1_[,/n].

Pour les probabilies : (Xi)_i≥une suite iid de Bernoulli/.

Leroboscope infernal :f_neun plateau de largeur/nque l’on fait glisser sur le segment [,].

. Pour la premi`ere partie, il suffit d’utiliser le lemme de Fatou avec−f_n `a la place def_n. Pour les contre-exemples, choisir parmi la lie ci-dessus.

. Choisir un contre-exemple parmi la lie ci-dessus.

. Si on oublie la condition de domination : si on prend f_n = _n^1_[n,n+], la conclusion ree vraie (autre exemple :f_n(x) =−nsi−/n < x <,f_n(x) =n si< x </netsinon) ; mais si on prend la bosse glissante la conclusion emise en défaut. Si on oublie la convergence presque partout : voir queion. pour un exemple o ù la conclusion demeure, mais si on prend f_n(x) = sin(n) sur [,], la conclusion emise en défaut.

. Si on oublie la croissance : si on prendf_n =1^{n}, la conclusion ree vraie, mais si on prend le puits infini, la conclusion emise en d´efaut. Si on oublie la positivit´e : si on prendf_n=−1^{n}, la conclusion ree vraie, mais si on prendf_n(x) =−^

x1_],/n[(x), la conclusion emise en d´efaut.

. Prendre la bosse glissante.

. Prendre leroboscope infernal :f_n,k(x) =1]^k⁻_n^^,_n^k[ pour≤k≤n.

1 – Petites questions

) Expliquer pourquoi il n’y a pas de faute d’orthographe dans le titre du TD.

) Soitf la fonion d´efinie sur [,]^parf(x, y) = x^−y^

(x^+y^)^ si (x, y),(,) etf(x, y) =six=y=. Calculer alors

Z_

 dx Z _

 dyf(x, y) et Z _

 dy Z_

 dxf(x, y). Diabolique, non ?

) En consid´erant l’int´egrale Z

R^

+



(+y)(+x^y)dx dy, calculer Z ₊∞



ln(x) x^−dx.

) En remarquant quex⁻^sin(x) =R_

 cos(xy)dy, calculer pour toutt >l’int´egrale suivante Z ₊∞

 x⁻^sin(x)e⁻^txdx.

Corrig´e :



(3)

) Deux théorèmes de Fubini ont été vus en cours, dont l’un spécifique aux fonions à valeurs positives.

) `Axfix´e, en remarquant quey/(x^+y^) eune primitive de (x^−y^)/(x^+y^)^, il vient : Z _

 dyf(x, y) =

"

y x^+y^

#_



= 

+x^. Donc R_

 dxR_

dyf(x, y) = ^π_ et par sym´etrie R_

 dyR_

dxf(x, y) = −^π

. De ce fait le th´eor`eme de Fubini ne s’applique pas, carf n’epas dansL^([,]^).

) NotonsF(x, y) = 

(+y)(+x^y) pour toutx, y≥. On a, d’après le théorème de Fubini pour les fonions positives,

Z

R^₊

F(x, y)dx dy= Z

R₊

dy

+y Z

R₊

dx

+x^y

!

= Z

R₊

dy (+y)

π

√ y =π

 Z

R₊

du

+u^ =π^

 ,

et Z

R +

F(x, y)dx dy= Z

R₊

Z

R₊

F(x, y)dy

! dx.

Or pour toutx >, Z

R₊

F(x, y)dy=  x^−

Z

R₊

x^

+x^y− 

+y

!

dy=ln(x) x^−.

Donc Z +∞



ln(x)

x^−dx=π^

 .

) Posons G(x, y) = cos(xy) exp(−tx) pour x ≥ , y ∈ [,] et t > . On a |G(x, y)| ≤ exp(−tx) et (x, y)7→exp(−tx) eintégrable surR₊×[,] d’après le théorème de Fubini pour les fonions positives. DoncGeintégrable surR₊×[,] et d’après le théorème de Fubini pour les fonions intégrables,

Z

R₊

sin(x)

x e⁻^xtdx = Z

R₊×[,]G(x, y)dx dy

= Z _



Z

R₊

cos(xy)e⁻^txdx

! dy

= Z _



t y^+t^dy

= aran t

.

2 – Th´eor`emes de Fubini

E

^{xercice 3.} (Truc de ouf)Soitf :R→Rune fonion bor´elienne. Montrer que pourλpresque touty∈R, λ({x∈R;f(x) =y}) =.



(4)

Corrig´e :

On écrit, en utilisant le théorème de Fubini pour les fonions positives : Z

R

dyλ({x∈R;f(x) =y}) = Z

R×R

dxdy1^{f(x)=y}= Z

R

dxλ({y∈R;f(x) =y}) = Z

R

·dx=.

Le résultat en découle, car une fonion positive d’intégrale nulle epresque partout nulle.

Autre solution :Pourm, n≥, on note A_m,n=

y∈R;λ({f⁻^({y})∩[−m, m]})>  n

.

Il efacile de voir queA_m,nefini. Ainsi :

{y∈R;λ({x∈R;f(x) =y})>}= [

m,n≥

A_m,n

ed´enombrable, donc de mesure de Lebesgue nulle. Ceci conclut.

E

^{xercice 4.} (Quelque chose d’utile)Sur un espace mesur´eσ-fini (E,A, µ), on consid`eref : (E,A, µ)→ (R₊,B(R₊)) une fonion mesurable

. Soitg:R₊→R₊une fonion croissante de classeC^telle queg() =. Montrer que Z

E

g◦f dµ= Z ₊∞

 g⁰(t)µ({f ≥t})dt.

Indication :On pourra ´ecrireg(f(t)) comme une int´egrale.

. Montrer que Z

E

f dµ= Z∞

 µ{f ≥t}dt.

. On suppose queµefinie et qu’il exiep≥etc >tels que pour toutt >,µ({|f|> t})≤ct⁻^p. Montrer quef ∈L^q(E,A, µ) pour toutq∈[, p[. A-t-on forc´ementf ∈L^p(E,A, µ) ?

Corrig´e :

. La foniong:R₊→R₊ede classeC^etg() =donc pour toutx∈Eon a g(f(x)) =

Z _f_(x)

 g⁰(s)ds.

On a donc Z

E

g◦f dµ= Z

E

Z

R₊

g⁰(s)1^{s≤f(x)}ds dµ(x).

Et la fonion F: (x, s)∈E×R₊7→g⁰(s)1^{s≤f(x)} epositive. Donc d’après le théorème de Fubini pour les fonions positives (Fubini-Tonelli), on a

Z

E

g◦f dµ= Z

R₊

g⁰(s) Z

E

1^{s≤f(x)}dµ(x)ds= Z

R₊

g⁰(s)µ({f ≥s})ds.

. Application immédiate de la queion précédente en prenantg(x) =x.



(5)

. On applique la queion . avec |f| etg(x) =x^q (pour passer de µ({|f| > t}) `a µ({|f| ≥t}), on remarque qu’on peut remplacer{s≤f(x)}par{s < f(x)}dans la solution de la queion) :

Z

E

|f|^qdµ=q Z∞

 t^q⁻^µ({|f| ≥t})dt≤qµ(E) +cq Z ∞

 t^q⁻^p⁻^dt <∞,

car q−p− < −. En revanche, on n’a pas forch´ement f ∈ L^p(E,A, µ) : prendre par exemple f =t⁻^/psur ],].

Remarque.Sif ∈L^p(E,A, µ), l’in´egalit´e de Markov implique qu’il exiec >telsque pour tout t >,µ({|f|> t})≤ct⁻^p.

3 – Calculs

E

^{xercice 5.}_{. Soit (f}

n)_n≥une suite de fonions (E,A, µ)→(R,B(R)) int´egrables. Montrer que X

n≥

Z

E

|f_n|dµ <∞=⇒X

n≥

Z

E

f_ndµ

!

= Z

E





 X

n≥

f_n





 dµ.

. Calculer les int´egrales

Z_



lnx

−xdx, Z∞



sin(ax) e^x− dx.

Corrig´e :

. D’après le théorème de convergence monotone, la fonionP

n≥|f_n|eint´egrable. Cela implique que la fonionP

n≥f_nexie et eint´egrable. De plus, pour toutN ∈N,

N

X

n=

f_n

≤X

n≥

|f_n| et

N

X

n=

f_n −→^p.p.

N→∞

X

n≥

f_n.

D’après le théorème de convergence dominée, on a donc Z

E





 XN n=

f_n







dµ −→

N→∞

Z

E





 X

n≥

f_n





 dµ.

Par ailleurs, pour toutN ≥, Z

E





 XN n=

f_n





 dµ=

XN n=

Z

E

f_ndµ.

EtR

Ef_ndµele terme général d’une série absolument convergente par hypothèse. En passant à la limite quandN →+∞dans l’égalité précédente, on obtient le résultat.

. Pour toutx∈],[, on a

ln(x)

−x =X

n≥

xⁿln(x).

Posons pour toutn≥,f_n:x∈],[7→xⁿln(x). Alors, par une int´egration par parties, on obtient, Z _



|f_n(x)|dx=− Z _

 xⁿln(x)dx= Z _



xⁿ

n+dx=  (n+)^.



(6)

DoncP

n≥

R_

|f_n(x)|dx <+∞. On peut donc appliquer la queion. et l’on trouve, Z _



ln(x)

−xdx= Z _







 X

n≥

xⁿln(x)







dx=X

n≥

Z _

 xⁿln(x)dx=−X

n≥



(n+)^ =−π^

 . Autre possibilit´e : ´EcrireR_

 ln(x)

−x dx=R_

 ln(−x)

x dxet développer plutôt en série entière ln(−x).

Pour toutx >, on a

sin(ax)

e^x− =e⁻^xsin(ax)

−e⁻^x =X

n≥

e⁻⁽ⁿ⁺^^)xsin(ax).

Posons pour toutn≥,f_n:x∈],+∞[7→e⁻⁽ⁿ⁺^^)xsin(ax). Alors, pour toutx >,|f_n| ≤axe⁻⁽ⁿ⁺^^)x, et X

n≥

Z ∞



|f_n(x)|dx≤X

n≥

Z∞

 axe⁻^(n+)xdx=X

n≥



(n+)^ <∞. Ainsi, d’apr`es la queion.,

Z ∞



sin(ax)

e^x− dx=X

n≥

Z ∞

 f_n(x)dx.

On a, Z∞

 f_n(x)dx= Z ∞

 e⁻^(n+)xe^iax−e⁻^iax

i

!

dx = 

i



(n+)x−iax−  (n+)x+iax

!

= a

(n+)^+a^. Donc,

Z ∞



sin(ax)

e^x− dx=X

n≥

a n^+a^.

E

^{xercice 6.} ^Soit^ϕ^{: ([}^^,^^],^B^([^^,^^]))^→⁽^R^,^B⁽^R^{)) une fon}ion int´egrable pour la mesure de Lebesgue. On d´efinitF:R₊→R₊par

F(t) = Z

[,]

q

ϕ(x)^+t dx.

. Montrer queFecontinue surR₊et d´erivable surR^∗

+.

. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surϕpour queF soit d´erivable en.

Corrig´e :

. On pose, pour toust≥etx∈[,],f(x, t) =p

ϕ(x)^+t.Pour toutt≥,f(x, t)≤ |ϕ(x)|+

√ tqui eint´egrable sur [,]. La fonion F edonc bien d´efinie. De plus, pour tout A >  et pour toutt∈[, A],f(x, t)≤ |ϕ(x)|+

√

A. D’après le théorème de continuité sous le signe intégrale,F e continue sur tout ensemble de la forme [, A] et donc surR₊. La fonionf ede plus dérivable par rapport àten toutt >et

∂f(x, t)

∂t = 

p

ϕ(x)^+t. Soienta >ett≥a. On a alors

∂f(x, t)

∂t ≤ 

√ a.



(7)

Ainsi,Fedérivable sur tout ensemble de la forme [a,+∞[ et donc surR^∗₊de dérivée F⁰(t) =

Z _





p

ϕ(x)^+tdx.

. Soit (tn)_n≥une suite d´ecroissant vers. On a F(t_n)−F()

t_n =

Z _



pϕ(x)^+t_n− |ϕ(x)|

t_n dx=

Z_





pϕ(x)^+t_n+|ϕ(x)|dx.

D’après le théorème de convergence monotone, F(t_n)−F()

t_n −→

n→∞

Z _





|ϕ(x)|dx.

Ainsi,Fed´erivable ensi et seulement si/|ϕ|eint´egrable.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 9.} On d´efinit une fonionµ:P(R)→[,+∞] par

• µ(A) =siAeune partie finie ou d´enombrable,

• µ(A) = +∞sinon.

SoitK l’espace triadique de Cantor d´efini parK =









 X

n≥

a_n

ⁿ : (a_n)_n≥∈ {,}^N











. On rappelle queK eun compade [,], infini non-d´enombrable et de mesure de Lebesgue nulle. On poseC={(x, y)∈R×R: x−y∈K}.

. V´erifier queµeune mesure sur (R,P(R)).

. Montrer queC∈ B(R)⊗ P(R).

. Calculer les int´egrales Z

R

Z

R

1C(x, y)µ(dy)

! dxet

Z

R

Z

R

1C(x, y)dx

!

µ(dy). Conclure.

Corrig´e :

. L’ensemble vide∅econsidéré comme fini doncµ(∅) =. Si (A_n)_n≥eune suite de parties de Rdisjointes finies ou dénombrables alors∪_n_≥_A_nefinie ou dénombrable et donc

µ





 [

n≥

A_n







==X

n≥

µ(A_n).

Si (A_n)_n≥∈ P(R)^Neune suite dont au moins une des parties einfinie non-d´enombrable alors

∪_n_≥_A_neinfinie non-d´enombrable et donc µ





 [

n≥

A_n







= +∞=X

n≥

µ(A_n).

. L’ensembleK ecompadoncCeferm´e. AinsiC∈ B(R×R)⊂ B(R)⊗ P(R).



(8)

. On a

Z

R

Z

R

1C(x, y)µ(dy)

! dx=

Z

R

µ(x−K)dx= +∞, carx−K enon-d´enombrable et

Z

R

Z

R

1C(x, y)dx

!

µ(dy) = Z

R

λ(K−y)dy= Z

R

λ(K)dy=.

On a ici un exemple o ù le théorème de Fubini pour les fonions positives s’applique pas, la

mesureµn’epasσ-finie.

E

xercice 10. Soientµetνdeux mesuresσ-finies sur la tribu bor´elienne deR.

. Montrer que l’ensembleD_µ={x∈R:µ({x})>}efini ou d´enombrable.

. Soit∆={(x, x) :x∈R}la diagonale deR^. Montrer queµ⊗ν(∆) =X

x∈R

µ({x})ν({x}).

Corrig´e :

. Soit (En)_n≥ une suite croissante de bor´eliens de R telle queR=∪_n_≥_E_n et telle queµ(E_n)<∞ pour tout n ≥ . On note D_n =

x∈E_n:µ(x)≥/n . Si D_n e infini alors il contient une suite (y_m)_m≥et

µ(E_n)≥µ(D_n)≥µ({y_m, m≥}) =X

m≥

µ({y_m})≥X

m≥

 n =∞,

ce qui eimpossible. On en d´eduit donc queD_nefini. PuisD=∪_n_≥_D_nefini ou d´enombrable.

. D’après le théorème de Fubini pour les fonions positives on a µ⊗ν(∆) =

Z

R×R

1∆(x, y)µ(dx)ν(dy)

= Z

R

µ({y})ν(dy)

= Z

R

X

x∈D_µ

µ({x})1^{x=y}ν(dy)

= X

x∈D_µ

Z

R

µ({x})1^{x=y}ν(dy)

= X

x∈D_µ∩D_ν

µ({x})ν({x})

= X

x∈R

µ({x})ν({x}).

E

xercice 11. (La fonionΓ) Pour toutt >on pose

Γ(t) = Z ∞

 x^t⁻^e⁻^xdx.

. Montrer que ceci d´efinit une fonion de classeC^∞ surR^∗

+.



(9)

. Montrer la formule d’Euler : pour toutt >, Γ(t) = lim

n→∞

n^tn!

t(t+). . .(t+n).

Indication :on pourra consid´erer la suite de fonions (fn)_n≥d´efinies par f_n:x∈],∞[7→],n[(x)

−x n

n

x^t⁻^.

Corrig´e :

. Pour toutt >, la fonionx∈R^∗₊7→g(t, x) =x^t⁻^e⁻^x eintégrable doncΓ ebien définie surR^∗₊. De plus, pour toutk≥et pour toutx >,gek-fois dérivable par rapport àtet

∂^kg(x, t)

∂t^k = (ln(x))^kx^t⁻^e⁻^x. Pour tousA > a >,t∈[a, A] etx >, on a

∂^kg(x, t)

∂t^k

≤

(ln(x))^kx^A⁻^e⁻^x

1^{x≥}+

(ln(x))^kx^a⁻^e⁻^x 1^{_x<^}, et la fonionx∈R^∗

+7→ |(ln(x))^kx^A⁻^e⁻^x|1^{x≥}+|(ln(x))^kx^a⁻^e⁻^x|1^{_x<^}∈L^(R^∗

+, λ). D’après le théorème de dérivation sous le signe intégrale,Γ ede classeC^ksur tout ensemble de la forme [a, A] et ceci pour toutk≥. On obtient donc le résultat.

. On fixet >. On voit que la suite de fonions (fn)_n≥converge p.p. versf :x∈R^∗

+7→x^t⁻^e⁻^x et de plus pour toutx >,|f_n(x)| ≤x^t⁻^e⁻^x. Donc, d’après le théorème de convergence dominée, on a

Γ(t) = lim

n→∞

Z n



−x n

n

x^t⁻^dx.

Or, en posantu=x/n, on a Z _n



−x n

n

x^t⁻^dx=n^t Z _

 (−u)ⁿu^t⁻^dt=n^tI_n(t).

On montre par une int´egration par parties queI_n(t) = (nI_n−(t+))/tpour toutn≥. On en d´eduit que

I_n(t) = n!

t(t+). . .(t+n−)I_(t+n) = n!

t(t+). . .(t+n−)(t+n).

E

xercice 12. Soitϕ : ([,],B([,]))→(R,B(R)) une fonion int´egrable pour la mesure de Lebesgue.

On d´efinitG:R→R₊par

G(t) = Z

[,]

|ϕ(x)−t|dx.

. Montrer queGecontinue surR.

. Montrer queGedérivable ent∈Rsi et seulement si λ({ϕ=t}) =, o ùλdésigne la mesure de Lebesgue.



(10)

Corrig´e :

. Même méthode qu’à la queion. de l’exercice.

. Pour toutt∈Ret touth,, on a G(t+h)−G(t)

h =

Z _



|ϕ(x)−t−h| − |ϕ(x)−t|

h dx.

Soit (h_n)_n≥une suite de r´eelsriement positifs d´ecroissant vers. Pour toutx∈[,], on a

|ϕ(x)−t−h_n| − |ϕ(x)−t|

h_n −→

n→∞1[ϕ(x),+∞[(t)−1]−∞,ϕ(x)[(t),

et|ϕ(x)−t−h_n| − |ϕ(x)−t| ≤h_n. Ainsi, d’après le théorème de convergence dominée, la fonionG edérivable à droite entet

G_d⁰(t) =λ({ϕ≤t})−λ({ϕ > t}).

De même,Gedérivable à gauche entet

G⁰_g(t) =λ({ϕ < t})−λ({ϕ≥t}).

AinsiG⁰_d(t)−G_g⁰(t) =λ({ϕ=t}) ce qui implique le r´esultat.

Fin

