TD  – Th´eor`emes de Fubini – Corrig´e

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Th´eor`emes de Fubini – Corrig´e

 – Exercice ayant ´et´e pr´epar´e

E

^{xercice 1. Soientr, s∈[,∞[ etg:R→R}une fonion continue. On suppose qu’il exiec >tel que:

∀y∈R, |g(y)| ≤c|y|^r/s. ()

SoitΦl’application deL^r(X,A, µ)→L^s(X,A, µ) d´efinie parΦ(f) =g◦f.

. V´erifier queΦ(f)∈L^s(X,A, µ).

. Montrer queΦecontinue.

. Que se passe-t-il si la condition () n’eplus satisfaite?

Corrig´e:

. Par hypoth`ese, pourf ∈L^r,|Φ(f)(x)|^s=|g(f(x))|^s≤c^s|f(x)|^reint´egrable.

. Soit (f_n)_n≥ une suite de fonions telle que f_n ^L

r

−→f. Montrons que Φ(f_n) ^L

s

−→Φ(f). `A cet effet, on utilise le lemme des sous-sous-suites suivant (qui se d´emontre ais´ement en raisonnant par l’absurde), et qui parfois de bien pr´ecieux services:

Lemme des sous-sous suites. Soit (E, d) un espace m´etrique. Une suite (x_n)_n≥ d’´el´ements de E converge vers x ∈ E si et seulement de toute suite extraite (x_φ(n))_n≥ on peut r´e-extraire une sous-suiteψtelle que (x_φ(ψ(n)))_n≥converge versx.

Soit doncφ une extrarice fix´ee. Commef_φ(n) ^L

r

−→f, il exie une extrariceψeth∈L^r tels que f_φ(ψ(n))^µ−→^p.p.f et|f_φ(ψ(n))| ≤ |h|pour toutn≥. Mais alors:

g(f_φ(ψ(n)))−g(f)

s µp.p.

−→ 

par continuit´e deg, et

g(f_φ(ψ(n)))−g(f)

s≤^s(|g(f_φ(ψ(n)))|^s+|g(f)|^s)≤(c)^s(|h(x)|^r+|f(x)|^r) ∈ L^. Le th´eor`eme de convergence implique:

Z

g(f_φ(ψ(n)))−g(f)

sdµ −→

n→∞ , ce qui revient `a dire queg(f_φ(ψ(n))) ^L

s

−→g(f), et conclut la queion.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. Alors on n’a pas forc´ementΦ(f)∈ L^s. En effet, consid´erons une suite (y_n)_n≥ telle que |g(y_n)| >

n|y_n|^r/s. D´efinissons alors la fonion ´etag´eef comme suit:

f =X

n≥

y_n1A_n,

o `u les (A_n)_n≥sont des bor´eliens disjoints tels queµ(A_n) =/(n^+s· |y_n|^r). Alors

||f||^r

r=X

n≥

|y_n|^rµ(A_n) =X

n≥

 n^+s <∞, mais

||g◦f||^s

s=X

n≥

|g(y_n)|^sµ(A_n)>X

n≥

n^s|y_n|^rµ(A_n) =X

n≥

 n =∞.

 – Petits calculs

0)Expliquer pourquoi il n’y a pas de faute d’orthographe dans le titre du TD.

Corrig´e: deux th´eor`emes de Fubini ont ´et´e vus en cours, dont l’un sp´ecifique aux fonions `a valeurs

positives.

1)Soitf la fonion d´efinie sur [,]^parf(x, y) = x^−y^

(x^+y^)^(x,y),(,) et six=y=. Calculer alors

Z _

 dx Z _

 dyf(x, y) et Z _

 dy Z_

 dxf(x, y). Diabolique, non ?

Corrig´e: A` xfix´e, en remarquant quey/(x^+y^) eune primitive de (x^−y^)/(x^+y^)^, il vient:

Z _

 dyf(x, y) =

"

y x^+y^

#_



= 

+x^. DoncR_

dxR_

dyf(x, y) = ^π_ et par sym´etrieR_

dyR_

 dxf(x, y) =−^π

. De ce fait le th´eor`eme de Fubini ne

s’applique pas, carf n’epas dansL^([,]^).

2)En consid´erant l’int´egrale Z

R +



(+y)(+x^y)dx dy, calculer Z ₊∞



ln(x) x^−dx.

Corrig´e: NotonsF(x, y) = 

(+y)(+x^y) pour toutx, y≥. On a, d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives,

Z

R +

F(x, y)dx dy= Z

R₊

dy

+y Z

R₊

dx

+x^y

!

= Z

R₊

dy (+y)

π

√ y =π

 Z

R₊

du

+u^ =π^

 ,

et Z

R^

+

F(x, y)dx dy= Z

R₊

Z

R₊

F(x, y)dy

! dx.



Or pour toutx >, Z

R₊

F(x, y)dy=  x^−

Z

R₊

x^

+x^y− 

+y

!

dy=ln(x) x^−.

Donc Z₊∞



ln(x)

x^−dx=π^

 .

3)En remarquant quex^−sin(x) =R_

cos(xy)dy, calculer pour toutt >l’int´egrale suivante Z +∞

 x^−sin(x)e^−txdx.

Corrig´e: Posons G(x, y) = cos(xy) exp(−tx) pourx ≥,y ∈ [,] ett >. On a |G(x, y)| ≤exp(−tx) et (x, y)7→exp(−tx) eint´egrable surR₊×[,] d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives.

DoncGeint´egrable surR₊×[,] et d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions int´egrables, Z

R₊

sin(x)

x e^−xtdx = Z

R₊×[,]G(x, y)dx dy

= Z _



Z

R₊

cos(xy)e^−txdx

! dy

= Z _



t y^+t^dy

= aran 

t

.

2 – Th´eor`emes de Fubini

E

^{xercice 2.} (Truc de ouf)Soitf :R→Rune fonion bor´elienne. Montrer que pourλpresque touty∈R, λ({x∈R;f(x) =y}) =.

Corrig´e: On ´ecrit, en utilisant le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives:

Z

R

dyλ({x∈R;f(x) =y}) = Z

R×R

dxdy1^{f(x)=y}= Z

R

dxλ({y∈R;f(x) =y}) = Z

R

·dx=.

Le r´esultat en d´ecoule, car une fonion positive d’int´egrale nulle epresque partout nulle.

Autre solution (due `a Jaouad Mourtada):Pourm, n≥, on note A_m,n=

y∈R;λ({f^−({y})∩[−m, m]})>  n

. Il efacile de voir queA_m,nefini. Ainsi:

{y∈R;λ({x∈R;f(x) =y})>}= [

m,n≥

A_m,n ed´enombrable, donc de mesure de Lebesgue nulle. Ceci conclut.



E

^{xercice 3. (Q}uelque chose d’utile)Sur un espace mesur´eσ-fini (E,A, µ), on consid`eref : (E,A, µ)→ (R₊,B(R₊)) une fonion mesurable

. Soitg:R₊→R₊une fonion croissante de classeC^telle queg() =. Montrer que Z

E

g◦f dµ= Z₊∞

 g⁰(t)µ({f ≥t})dt.

Indication:On pourra ´ecrireg(f(t)) comme une int´egrale.

. Montrer que Z

E

f dµ= Z∞

 µ{f ≥t}dt.

. On suppose queµefinie et qu’il exiep≥etc >tels que pour toutt >,µ({|f|> t})≤ct^−p. Montrer quef ∈L^q(E,A, µ) pour toutq∈[, p[. A-t-on forc´ementf ∈L^p(E,A, µ)?

Corrig´e:

. La foniong:R₊→R₊ede classeC^etg() =donc pour toutx∈Eon a g(f(x)) =

Z_f(x)

 g⁰(s)ds.

On a donc Z

E

g◦f dµ= Z

E

Z

R₊

g⁰(s)1^{s≤f(x)}ds dµ(x).

Et la fonionF : (x, s) ∈E×R₊7→g⁰(s)1^{s≤f(x)} epositive. Donc d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives (Fubini-Tonelli), on a

Z

E

g◦f dµ= Z

R₊

g⁰(s) Z

E

1^{s≤f(x)}dµ(x)ds= Z

R₊

g⁰(s)µ({f ≥s})ds.

. Application imm´ediate de la queion pr´ec´edente en prenantg(x) =x.

. On applique la queion. avec|f|etg(x) =x^q(pour passer deµ({|f|> t}) `aµ({|f| ≥t}), on remarque qu’on peut remplacer{s≤f(x)}par{s < f(x)}dans la solution de la queion):

Z

E

|f|^qdµ=q Z ^∞

 t^q−µ({|f| ≥t})dt≤qµ(E) +cq Z ^∞

 t^q−p−dt <∞,

carq−p−<−. En revanche, on n’a pas forch´ementf ∈L^p(E,A, µ): prendre par exemplef =t^−/p sur ],].

Remarque. Sif ∈L^p(E,A, µ), l’in´egalit´e de Markov implique qu’il exiec >telsque pour tout t >,µ({|f|> t})≤ct^−p.

E

^{xercice 4.} (In´egalit´e de Hardy)Soient (X,X, µ) et (Y ,Y, ν) deux espaces mesur´esσ-finis. On consid`ere ϕ: (X×Y ,X ⊗ Y)→(R,B(R)) une fonion mesurable et int´egrable par rapport `a la mesure produitµ⊗ν, etFla fonion d´efinie pourµ-p.t.x∈XparF(x) =

Z

Y

ϕ(x, y)ν(dy).



. Montrer queFv´erifie l’in´egalit´ekFk_Lp(µ)≤ Z

Y

kϕ(., y)k_Lp(µ)ν(dy).

. En d´eduire que pour toute fonionf ∈L^p(R^∗₊,B(R^∗₊)) avecp∈],∞[, la fonionF d´efinie surR^∗₊ parF(x) =

x Z _x

 f(t)dt, v´erifie l’in´egalit´e suivante (appel´ee in´egalit´e de Hardy): kFk_p≤ p p−kfk_p. Corrig´e:

. Soit (Xn)_n≥∈ X^Nune suite croissante telle queX=∪_n≥X_net telle queµ(X_n)<∞pour toutn≥.

On noteΓ_n=X_n∩ {|F| ≤n}. On a:

Z

X

|F(x)|^p1Γ_nµ(dx) ≤ Z

X

|F(x)|^p− Z

Y

|ϕ(x, y)|ν(dy)

!

1Γ_nµ(dx)

= Z

Y

ν(dy) Z

X

|F(x)|^p−|ϕ(x, y)|1Γ_nµ(dx)

!

(Fubini-Tonnelli)

≤ Z

Y

ν(dy) Z

X

|F(x)|^p1Γ_nµ(dx)

!_^−_p

kϕ(., y)k_Lp(µ) (H¨older).

OrR

X|F(x)|^p1Γ_nµ(dx)<∞. On en d´eduit que (on voit ici l’int´erˆet d’introduireΓ_n, sinon on n’aurait pas pu diviser par une quantiti´e pouvant ˆetre infinie):

Z

X

|F(x)|^p1Γ_nµ(dx)

!_/p

≤ Z

Y

ν(dy)ϕ(·, y)k_Lp(µ).

Mais la suite de fonions (1Γ_n)_n≥tend simplement en croissant vers la fonion conante ´egale `a un. D’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, il vient:

Z

X

|F(x)|^pµ(dx)

!_/p

≤ Z

Y

ν(dy)ϕ(·, y)k_Lp(µ).

. On remarque que

F(x) = x

Z _x

 f(t)dt= Z _

 f(xy)dy.

Il etentant de prendreφ(x, y) =f(xy), mais cette fonion n’epas n´ecessairement int´egrable. On proc`ede donc par approximation comme `a la queion pr´ec´edente. Plus pr´ecis´ement, on applique la queion. aux fonions

φ_n(x, y) =1_[/n,n](x)|f(xy)|, etG_n=R

R^∗₊φ_n(x, y)dx. V´erifions pour cela que chaque φ_n eint´egrable. D’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives:

Z

R^∗

+×[,]φ_n(x, y)dxdy= Z _n

/n

 x

Z _x



|f(t)|dt

! dx≤

Z _n

/n

dx x

Z _n



|f(t)|dt <∞. Ainsi, d’apr`es la queion pr´ec´edente,

kG_nk_p≤ Z

[,]

kφ_n(·, y)k_pdy, et

kφ_n(·, y)k^p_p≤ Z

R^∗

+

|f(xy)|^pdx= ykfk^p_p.



On a donc

G_nk_p≤ kfk_p Z

[,]



y^/pdy= p p−kfk_p. Puis, par le th´eor`eme de convergence, on en d´eduit que

kGk_p≤ p p−kfk_p, o `uG:x7→^

x

Rx

|f(t)|dt. Enfin on remarque quekFk_p≤ kGk_p, ce qui conclut.

3 – Convolution, transform´ee de Fourier

E

^{xercice 5.} (Transform´ee de Fourier)Sif ∈L^(R) on note sa transform´ee de Fourier ˆf(t) = Z

R

f(x)e^−ixtdx.

. Montrer que ˆf ∈ C_(R).

. Soientf , g∈L^(R). Montrer quefd∗g= ˆf .g.ˆ

. En d´eduire queL^(R) n’a pas d’´el´ement neutre pour la convolution.

Corrig´e:

. Voir corrig´e dans le Polycopi´e de J.F. Le Gall p.

. Par d´efinition on a fd∗g(t) =

Z

R

dxe^−ixt Z

R

f(x−y)g(y)dy= Z

R

dxe^−i(x−y)te^−iyt Z

R

f(x−y)g(y)dy.

PuisqueR R

|f(x−y)||g(y)|dxdy≤ kfk_kgk_<+∞, le th´eor`eme de Fubini s’applique et le changement de variablex−y=zdonne le r´esultat escompt´e.

. Sie∈L^eun ´el´ement neutre pour la convolution alors

∀f ∈L^,∀t∈R,fd∗e(t) = ˆfe(t) = ˆˆ f(t).

Or il n’epas difficile de trouver une fonion f ∈L^(R) telle que ˆf(t) > pour toutt∈R (voir par exemple l’exercice suivant). On en d´eduit donc que ˆe(t) = pour tout t ∈ R. Ce qui e en

contradiion avec la premi`ere queion.

E

^{xercice 6.} (Super H¨older)

. Soientp, q, r ∈[,∞] tels que ^_p+ ^_q =+^_r. Soientf ∈L^p(R) et g ∈L^q(R). Montrer quef ∗g e d´efinie presque partout et quekf ∗gk_r≤ kfk_pkgk_q.

Indication :

|f(x−y)g(y)|= (|f(x−y)|^p|g(y)|^q)^r (|f(x−y)^p|)^p−r (|g(y)|^q)^q−r



. Soitf ∈L^etg∈L^p,p≥. Montrer que pour tout|a|<kfk⁻_^l’´equationh−af ∗h=gposs`ede une unique solution dansL^p.

Corrig´e:

. On utilise l’in´egalit´e g´en´eralis´ee de H¨older Z

f_f_f_

!

≤ Z

f_^/α

!α Z f_^/β

!β Z f_^/γ

!γ

, pourα, β, γ ∈],[ tels queα+β+γ=. Ici on poseα= ^_r, β=^_p−^

r etγ= ^_q−^

r alors l’indication am`ene `a

Z

|f(x−y)g(y)|dy≤ Z

|f(x−y)|^p|g(y)|^qdy

!^_r Z

|f(x−y)|^p

!^_p^−_r Z

|g(y)|^q

!^_q^−_r . D’o `u

kf ∗gk^r_r≤ Z Z

|f(x−y)|^p|g(y)|^qdxdy

| {z }

≤kfk^p_pkgk^q_q

kfk^r_p^−pkgk^r_q^−q,

ce qui permet de conclure.

. On consid`ere l’applicationΦ:h∈L<sup>p</sup>7→af ∗h+g. Alors d’apr`es la queion pr´ec´edente kΦ(h)−Φ(h⁰)k_p≤akfk_kh−h⁰k_p,

eune contraion deL^p. Cet espace ecomplet, donc Φ admet un unique point fixe, ce qui

r´esoud la queion.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7.} On d´efinit une fonionµ:P(R)→[,+∞] par

• µ(A) =siAeune partie finie ou d´enombrable,

• µ(A) = +∞sinon.

SoitK l’espace triadique de Cantor d´efini parK =









 X

n≥

a_n

ⁿ : (a_n)_n≥∈ {,}^N











. On rappelle queK eun compade [,], infini non-d´enombrable et de mesure de Lebesgue nulle. On poseC={(x, y)∈R×R: x−y∈K}.

. V´erifier queµeune mesure sur (R,P(R)).

. Montrer queC∈ B(R)⊗ P(R).

. Calculer les int´egrales Z

R

Z

R

1C(x, y)µ(dy)

! dxet

Z

R

Z

R

1C(x, y)dx

!

µ(dy). Conclure.



Corrig´e:

. L’ensemble vide∅econsid´er´e comme fini doncµ(∅) =. Si (An)_n≥eune suite de parties deR disjointes finies ou d´enombrables alors∪_n≥A_nefinie ou d´enombrable et donc

µ







 [

n≥

A_n









==X

n≥

µ(A_n).

Si (A_n)_n≥∈ P(R)^Neune suite dont au moins une des parties einfinie non-d´enombrable alors

∪_n≥A_neinfinie non-d´enombrable et donc µ







 [

n≥

A_n









= +∞=X

n≥

µ(A_n).

. L’ensembleK ecompadoncCeferm´e. AinsiC∈ B(R×R)⊂ B(R)⊗ P(R).

. On a

Z

R

Z

R

1C(x, y)µ(dy)

! dx=

Z

R

µ(x−K)dx= +∞, carx−K enon-d´enombrable et

Z

R

Z

R

1C(x, y)dx

!

µ(dy) = Z

R

λ(K−y)dy= Z

R

λ(K)dy=.

On a ici un exemple o `u le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives s’applique pas, la mesure

µn’epasσ-finie.

E

^{xercice 8. SoitA}une tribu surRet soitµune mesure de probabilit´e sur (R,A). Soientf etgdeux fonc- tions (R,A)→(R,B(R)) mesurables et monotones de mˆeme sens. On suppose de plus que les fonions f,getf gsont dansL^(R,A, µ). Montrer que

Z

R

f g dµ≥ Z

R

f dµ Z

R

g dµ.

Indication :on pourra consid´erer la fonionF(x, y) = (f(x)−f(y))(g(x)−g(y)).

Corrig´e: La fonionFepositive doncR

R×RF(x, y)dµ(x)dµ(y)≥. De plus,f , g∈L^(R) donc d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives,

Z

R^

|f(x)||g(y)|dµ(x)dµ(y) = Z

R

|f|dµ Z

R

|g|dµ <∞.

Ainsi, la fonion (x, y)7→f(x)g(y)∈L^(R×R). De mˆemef g∈L^(R) etµeune mesure de probabilit´e, donc (x, y)7→f(x)g(x)∈L^(R×R). On peut donc ´ecrire

Z

R×R

F(x, y)dµ(x)dµ(y) = Z

R×R

f(x)g(x)dµ(x)dµ(y)− Z

R×R

f(x)g(y)dµ(x)dµ(y).

Et d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions int´egrables (Fubini-Lebesgue), on a Z

R×R

f(x)g(x)dµ(x)dµ(y) = Z

R

f(x)g(x) Z

R

dµ(y)

!

dµ(x) = Z

R

f g dµ,

et Z

R×R

f(x)g(y)dµ(x)dµ(y) = Z

R

f dµ Z

R

g dµ,

ce qui nous donne le r´esultat.



E

^{xercice 9. Soientµetν}deux mesuresσ-finies sur la tribu bor´elienne deR.

. Montrer que l’ensembleD_µ={x∈R:µ({x})>}efini ou d´enombrable.

. Soit∆={(x, x) :x∈R}la diagonale deR^. Montrer queµ⊗ν(∆) =X

x∈R

µ({x})ν({x}).

Corrig´e:

. Soit (En)_n≥une suite croissante de bor´eliens deRtelle queR=∪_n≥E_net telle queµ(E_n)<∞pour toutn≥. On noteD_n=

x∈E_n:µ(x)≥/n . SiD_neinfini alors il contient une suite (y_m)_m≥et µ(E_n)≥µ(D_n)≥µ({y_m, m≥}) =X

m≥

µ({y_m})≥X

m≥

 n=∞, ce qui eimpossible. On en d´eduit donc queD_nefini. PuisD=∪

n≥D_nefini ou d´enombrable.

. D’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour les fonions positives on a µ⊗ν(∆) =

Z

R×R

1∆(x, y)µ(dx)ν(dy)

= Z

R

µ({y})ν(dy)

= Z

R

X

x∈D_µ

µ({x})1^{x=y}ν(dy)

= X

x∈D_µ

Z

R

µ({x})1^{x=y}ν(dy)

= X

x∈D_µ∩D_ν

µ({x})ν({x})

= X

x∈R

µ({x})ν({x}).

Pour l’exercice suivant on rappelle les deux th´eor`emes classiques :

• Th ´eor `eme d’Ascoli : SoitXetY deux espaces m´etriques compas, etAune partie de l’ensemble C(X, Y) des fonions continues deX−→Y muni de la convergence uniforme. AlorsAerelative- ment compae dansC(X, Y) (i.e.sa fermeture ecompae) si elle e´equi-continuei.e.

∀ε >,∃δ >,(d_X(x, x⁰)≤δ⇒ ∀f ∈A,d_Y(f(x), f(x⁰))≤ε).

• Pr ´e-compacit ´e : Soit (E, d) un espace m´etrique complet. Les partiesA⊂Erelativement compaes sont exaement les parties pr´e-compaesi.e.

∀ε >,∃n_ε∈N,∃un recouvrement deAparn_εparties de diam`etre ≤ε.



Pourh >et une applicationf :R→R, on rappelle queτ_hf d´esigne l’applicationτ_hf(x) =f(x−h), x∈R.

E

xercice 10. (Riesz-Fr´echet-Kolmogorov : un crit`ere de compacit´e dans L^p.) On veut montrer le r´esultat suivant. SoitΩun ouvert born´e deRet soitF un sous-ensemble born´e deL^p(Ω) (avec≤p <∞) v´erifiant :

(i) pour toutε >, il exieω⊂⊂Ωtel que sup_f∈F kfk_Lp(Ω\ω)≤ε,

(ii) pour toutε >et pour toutω⊂⊂Ω, il exieδ∈],di(ω,Ω^c)[ tel quekτ_hf −fk_Lp(ω)< εpour tous

|h|< δetf ∈ F;

alorsF erelativement compadansL^p(Ω) (c’e-`a-dire d’adh´erence compae dansL^p(Ω)). La nota- tionω⊂⊂Ωsignifie queωeun ouvert tel queωecompaet inclus dansΩ.

. Fixonsε >etω⊂⊂Ω. Soit (ρ_n)_n≥une approximation de l’unit´e telle que chaqueρ_nede classe C^∞ et de support inclus dans [−/n,/n]. Pourf ∈ F, on note ˜f la fonionf prolong´ee `a toutR par.

(a) Montrer en utilisant le th´eor`eme d’Ascoli que pour toutn≥, la familleF_n={( ˜f∗ρ_n)|ω:f ∈ F } erelativement compae dansL^p(ω).

(b) Montrer que pour toutnassez grand, sup

f∈F

kf˜∗ρ_n−fk_Lp(ω)≤ε.

(c) En d´eduire que l’ensembleF_|ωpeut ˆetre recouvert par un nombre fini de boules deL^p(ω) de rayonε.

. Conclure.

Corrig´e:

. On noteM un majorant deF dansL^p(Ω).

(a) Soitn≥fix´e. On noteF⁰

n ={( ˜f ∗ρ_n)|ω:f ∈ F }Tout d’abord on aF⁰

n ⊂ C(ω,R). De plus, pour toutx∈ω, d’apr`es l’in´egalit´e de Jensen (appliqu´ee `a la mesure de probabilit´eρ_n(y)dy), on a

f˜∗ρ_n(x) =

Z

R

|f˜(x−y)|^pρ_n(y)dy

!_/p

≤ (kρ_nk_∞)^/pkfk_Lp(Ω)

≤ (kρ_nk_∞)^/pM.

DoncF_n⁰ eune famille born´ee deC(ω,R). Et pourx, x⁰∈ω, on a

|f˜∗ρ_n(x)−f˜∗ρ_n(x⁰)| = Z

R

f˜(y)(ρ_n(x−y)−ρ_n(x⁰−y))dy

≤ kρ⁰_nk_∞|x−x⁰| Z

R

|f˜|dλ

≤ kρ⁰_nk_∞|x−x⁰|kfk_Lp(Ω)λ(Ω)^−/p

= C_n|x−x⁰|. Donc F⁰

n eune famille ´equicontinue deC(ω,R). D’apr`es le th´eor`eme d’Ascoli, F⁰

n erel- ativement compae dans C(ω,R). Or pour g ∈ C(ω,R), on a g|ω ∈ L^p(ω) et kg|ωk_Lp(ω) ≤ (λ(ω))^/pkgk_∞. Donc l’injeion deC(ω,R) dansL^p(ω) econtinue. Ainsi,F_nerelativement compae dansL^p(ω).



(b) Soitδassoci´e `aεetωpar la propri´et´e (ii). Soitn_≥δ^−. Pourn≥n_,f ∈ F etx∈ω, on a

f˜∗ρ_n(x)−f(x)

p =

Z

R

f˜(x−y)−f(x)

ρ_n(y)dy

p

≤ Z

R

f˜(x−y)−f(x)

pρ_n(y)dy

= Z

[−/n,/n]

|f(x−y)−f(x)|^pρ_n(y)dy, donc d’apr`es le th´eor`eme de Fubini-Tonelli,

kf˜∗ρ_n−fk^p

L^p(ω) ≤ Z

ω

Z

[−/n,/n]

|f(x−y)−f(x)|^pρ_n(y)dy dx

= Z

[−/n,/n]

Z

ω

|f(x−y)−f(x)|^pdx ρ_n(y)dy

= Z

[−/n,/n]

kτ_yf −fk^p

L^p(ω)ρ_n(y)dy

≤ ε^p Z

[−/n,/n]ρ_n(y)dy

= ε^p. On a donc montr´e que pourn≥n_,

sup

f∈F

kf˜∗ρ_n−fk

L^p(ω)≤ε.

(c) La familleF

n_erelativement compae dansL^p(ω) donc on peut la recouvrir par un nombre fini de boules de rayonε. D’apr`es la queion (b), ces mˆemes boules de rayonεrecouvrent F.

. CommeL^p(Ω) ecomplet, il suffit de montrer queF peut ˆetre recouvert par un nombre fini de boules de rayonεpour toutε >. Soitε >. Alors il exieω⊂⊂Ωtel que sup_f∈F kfk_Lp(Ω\ω)≤ε/.

Et d’apr`es la queion (),F_|ω peut ˆetre recouvert par des boulesB(g_i, ε/), i =, . . . , k (deL^p(ω)).

On noteG_i les fonionsg_i prolong´ees `aΩ par. Alors les boulesB(G_i, ε), i=, . . . , k(de L^p(Ω))

recouvrentF.

Fin

